本文将分析了几种用于制定保险费率的平滑技术。
- 保费没有细分
该价格应与纯溢价相关，而纯溢价与频率成正比，因为
没有协变量，预期频率应为
Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -0.5033 -0.3719 -0.2588 -0.1376 13.2700 Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -2.6201 0.0228 -114.9 <2e-16 *** \-\-\- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1) Null deviance: 12680 on 49999 degrees of freedom Residual deviance: 12680 on 49999 degrees of freedom AIC: 16353 Number of Fisher Scoring iterations: 6 > exp(coefficients(regglm0)) (Intercept) 0.07279295
因此，如果我们不想考虑到潜在的异质性，通常将其 
视为百分比，即概率，因为
即 
可以解释为没有索赔的可能性。让我们将其可视化为驾驶员年龄的函数，
> plot(a,yp0,type="l",ylim=c(.03,.12)) > segments(a\[k\],yp1\[k\],a\[k\],yp2\[k\],col="red",lwd=3)
我们确实会为所有驾驶员预测相同的频率，例如对于40岁的驾驶员，
> cat("Frequency =",yp0\[k\]," confidence interval",yp1\[k\],yp2\[k\]) Frequency = 0.07279295 confidence interval 0.07611196 0.06947393
现在我们考虑一种情况，其中我们尝试考虑异质性，例如按年龄，
- （标准）泊松回归
在（对数）泊松回归的想法是假设而不是的 
，我们应该有 
，其中
在这里，让我们只考虑一个解释变量，即
我们有
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R语言对巨灾风险下的再保险合同定价研究案例：广义线性模型和帕累托分布Pareto distributions分析
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对于我们40岁的驾驶员的年化索赔频率的预测现在为7.74％（比我们之前的7.28％略高）
> cat("Frequency =",yp0\[k\]," confidence interval",yp1\[k\],yp2\[k\]) Frequency = 0.07740574 confidence interval 0.08117512 0.07363636
不计算预期频率，而是计算比率 
。
在水平蓝线上方，溢价将高于未分段的溢价，而低于此水平。在这里，年龄小于44岁的驾驶员将支付更多的费用，而年龄大于44岁的驾驶员将支付较少的费用。在引言中，我们讨论了分段的必要性。如果我们考虑两家公司，一个细分市场，而另一个细分市场持平，那么年长的司机将去第一家公司（因为保险更便宜），而年轻的司机将去第二家公司（同样，它更便宜）。问题在于，第二家公司暗中希望老司机能弥补这一风险。但是由于它们已经不存在了，所以保险价格会太便宜了，公司也会放宽资金（如果没有破产的话）。因此，公司必须使用细分技术才能生存。现在，问题在于，我们不能确定溢价的这种指数衰减是溢价随年龄变化的正确方法。一种替代方法是使用非参数技术来可视化年龄对索赔频率的_真实_影响。
- 纯非参数模型
第一个模型可以是考虑每个年龄的保费。可以考虑将驾驶员的年龄作为回归_因素_，
> plot(a0,yp0,type="l",ylim=c(.03,.12)) > abline(v=40,col="grey")
在这里，我们40岁司机的预测略低于前一个，但置信区间要大得多（因为我们关注的是投资组合中很小的一类：年龄_恰好在_ 40 岁的司机）
Frequency = 0.06686658 confidence interval 0.08750205 0.0462311
在这里，我们认为类别太小，溢价也太不稳定了：溢价将从40岁到41岁下降20％，然后从41岁到42岁上升50％。
> diff(log(yp0\[23:25\])) 24 25 -0.2330241 0.5223478
公司没有机会采用这种策略来确保被保险人。保费的这种_不连续性_是这里的重要问题。
- 使用年龄段
另一种选择是考虑年龄段，从非常年轻的驾驶员到高级驾驶员。
> summary(regglmc1) Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -1.6036 0.1741 -9.212 < 2e-16 *** cut(ageconducteur, level1)(20,25\] -0.4200 0.1948 -2.157 0.0310 * cut(ageconducteur, level1)(25,30\] -0.9378 0.1903 -4.927 8.33e-07 *** cut(ageconducteur, level1)(30,35\] -1.0030 0.1869 -5.367 8.02e-08 *** cut(ageconducteur, level1)(35,40\] -1.0779 0.1866 -5.776 7.65e-09 *** cut(ageconducteur, level1)(40,45\] -1.0264 0.1858 -5.526 3.28e-08 *** cut(ageconducteur, level1)(45,50\] -0.9978 0.1856 -5.377 7.58e-08 *** cut(ageconducteur, level1)(50,55\] -1.0137 0.1855 -5.464 4.65e-08 *** cut(ageconducteur, level1)(55,60\] -1.2036 0.1939 -6.207 5.40e-10 *** cut(ageconducteur, level1)(60,65\] -1.1411 0.2008 -5.684 1.31e-08 *** cut(ageconducteur, level1)(65,70\] -1.2114 0.2085 -5.811 6.22e-09 *** cut(ageconducteur, level1)(70,75\] -1.3285 0.2210 -6.012 1.83e-09 *** cut(ageconducteur, level1)(75,80\] -0.9814 0.2271 -4.321 1.55e-05 *** cut(ageconducteur, level1)(80,85\] -1.4782 0.3371 -4.385 1.16e-05 *** cut(ageconducteur, level1)(85,90\] -1.2120 0.5294 -2.289 0.0221 * cut(ageconducteur, level1)(90,95\] -0.9728 1.0150 -0.958 0.3379 cut(ageconducteur, level1)(95,100\] -11.4694 144.2817 -0.079 0.9366 \-\-\- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 > lines(a,yp1,lty=2,type="s") > lines(a,yp2,lty=2,type="s")
在这里，我们获得以下预测，
对于我们40岁的驾驶员来说，现在的频率为6.84％。
Frequency = 0.0684573 confidence interval 0.07766717 0.05924742
我们应该考虑其他类别，以查看预测是否对值敏感，
对于我们40岁的司机来说，得出以下值：
Frequency = 0.07050614 confidence interval 0.07980422 0.06120807
所以在这里，我们没有消除_不连续性_问题。这里的一个想法是考虑_移动区域_：如果目标是预测40岁驾驶员的频率，则应该以40为中心。而对于35岁的驾驶员，间隔应该以35为中心。
- 移动平均
因此，考虑一些_局部_回归是很自然的，只应考虑年龄_接近_ 40 岁的驾驶员。这_几乎_与_带宽有关_。例如，介于35和45之间的驱动程序可以被认为接近40。在实践中，我们可以考虑子集函数，也可以在回归中使用权重
> value=40 > h=5
要查看发生了什么，让我们考虑一个动画，感兴趣的年龄在不断变化，
在这里，对于我们40岁的人来说，
Frequency = 0.06913391 confidence interval 0.07535564 0.06291218
我们获得了可以解释为_局部_回归的曲线。但是在这里，我们没有考虑到35没有像39那样接近40。这里的34假设与40距离很远。显然，我们可以改进该技术：可以考虑内核函数，即，越接近40，权重就越大。
> value=40 > h=5
在下面绘制
在这里，我们对40的预测是
Frequency = 0.07040464 confidence interval 0.07981521 0.06099408
这就是_核回归技术_的思想。但是，如幻灯片中所述，可以考虑其他非参数技术，例如样条函数。
- 用样条平滑
在R中，使用样条函数很简单（某种程度上比内核平滑器简单得多）
> library(splines)
现在对我们40岁司机的预测是
Frequency = 0.06928169 confidence interval 0.07397124 0.06459215
请注意，此技术与另一类_模型有关_，即所谓的广义相加模型，即GAM。
该预测与我们上面获得的预测非常接近（主要区别在于非常老的驾驶员）
Frequency = 0.06912683 confidence interval 0.07501663 0.06323702
- 不同模型的比较
无论哪种方式，所有这些模型都是有效的。所以也许我们应该比较它们，
在上图中，我们可以可视化这9个模型的预测上限和下限。水平线是不考虑异质性的预测值。
