本文将说明金融数学中的R 语言优化投资组合，Fama-French三因子（因素）模型的实现和使用。

具有单一市场因素的宏观经济因素模型

我们将从一个包含单个已知因子（即市场指数）的简单示例开始。该模型为

其中显式因子ft为S＆P 500指数。我们将做一个简单的最小二乘（LS）回归来估计截距α和加载β：

大多数代码行用于准备数据，而不是执行因子建模。让我们开始准备数据：

# 设置开始结束日期和股票名称列表
begin_date <- "2016-01-01"
end_date <- "2017-12-31"
# 从YahooFinance下载数据
data_set <- xts()
for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
  data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index], 
                                            from = begin_date, to = end_date, 
head(data_set)
#>                AAPL  AMD      ADI     ABBV AEZS        A       APD       AA       CF
#> 2016-01-04 98.74225 2.77 49.99239 49.46063 4.40 39.35598 107.89010 23.00764 35.13227
#> 2016-01-05 96.26781 2.75 49.62508 49.25457 4.21 39.22057 105.96097 21.96506 34.03059
#> 2016-01-06 94.38389 2.51 47.51298 49.26315 3.64 39.39467 103.38042 20.40121 31.08988
#> 2016-01-07 90.40047 2.28 46.30082 49.11721 3.29 37.72138  99.91463 19.59558 29.61520
#> 2016-01-08 90.87848 2.14 45.89677 47.77789 3.29 37.32482  99.39687 19.12169 29.33761
#> 2016-01-11 92.35001 2.34 46.98954 46.25827 3.13 36.69613  99.78938 18.95583 28.14919
head(SP500_index)
#>              index
#> 2016-01-04 2012.66
#> 2016-01-05 2016.71
#> 2016-01-06 1990.26
#> 2016-01-07 1943.09
#> 2016-01-08 1922.03
#> 2016-01-11 1923.67
plot(SP500_index)

# 计算股票和SP500指数的对数收益率作为显式因子
X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)
N <- ncol(X)  # 股票数量
T <- nrow(X)  # 天数

现在我们准备进行因子模型拟合。LS拟合很容易在R中实现，如下所示：

beta <- cov(X,f)/as.numeric(var(f))
alpha <- colMeans(X) - beta*colMeans(f)
sigma2 <- rep(NA, N)
print(alpha)
#>              index
#> AAPL  0.0003999086
#> AMD   0.0013825599
#> ADI   0.0003609968
#> ABBV  0.0006684632
#> AEZS -0.0022091301
#> A     0.0002810616
#> APD   0.0001786375
#> AA    0.0006429140
#> CF   -0.0006029705
print(beta)
#>          index
#> AAPL 1.0957919
#> AMD  2.1738304
#> ADI  1.2683047
#> ABBV 0.9022748
#> AEZS 1.7115761
#> A    1.3277212
#> APD  1.0239453
#> AA   1.8593524
#> CF   1.5702493

或者，我们可以使用矩阵表示法进行拟合，我们定义和扩展因子。然后最小化

t(X) %*% F_ %*% solve(t(F_) %*% F_)  
#>              alpha      beta
#> AAPL  0.0003999086 1.0957919
#> AMD   0.0013825599 2.1738304
#> ADI   0.0003609968 1.2683047
#> ABBV  0.0006684632 0.9022748
#> AEZS -0.0022091301 1.7115761
#> A     0.0002810616 1.3277212
#> APD   0.0001786375 1.0239453
#> AA    0.0006429140 1.8593524
#> CF   -0.0006029705 1.5702493
E <- xts(t(t(X) - Gamma %*% t(F_)), index(X))  # 残差

另外，我们可以简单地使用R为我们完成工作：

cbind(alpha = factor_model$alpha, beta = factor_model$beta)
#>              alpha     index
#> AAPL  0.0003999086 1.0957919
#> AMD   0.0013825599 2.1738304
#> ADI   0.0003609968 1.2683047
#> ABBV  0.0006684632 0.9022748
#> AEZS -0.0022091301 1.7115761
#> A     0.0002810616 1.3277212
#> APD   0.0001786375 1.0239453
#> AA    0.0006429140 1.8593524
#> CF   -0.0006029705 1.5702493

可视化协方差矩阵

有趣的是，可视化对数收益率[算术处理误差] 以及残差Ψ的估计协方差矩阵。让我们从对数收益率的协方差矩阵开始：

main = "单因子模型对数收益的协方差矩阵")

我们可以观察到所有股票都是高度相关的，这是市场因素的影响。为了检查股票相关关系，我们绘制相关图：

plot(cov2cor(Psi),
         main = "残差协方差矩阵")

cbind(stock_namelist, sector_namelist)  # 股票的行业
#>       stock_namelist sector_namelist         
#>  [1,] "AAPL"         "Information Technology"
#>  [2,] "AMD"          "Information Technology"
#>  [3,] "ADI"          "Information Technology"
#>  [4,] "ABBV"         "Health Care"           
#>  [5,] "AEZS"         "Health Care"           
#>  [6,] "A"            "Health Care"           
#>  [7,] "APD"          "Materials"             
#>  [8,] "AA"           "Materials"             
#>  [9,] "CF"           "Materials"

有趣的是，我们可以观察到对Ψ执行的自动聚类可以正确识别股票的行业。

评估投资资金

在此示例中，我们将基于因子模型评估几种投资基金的绩效。我们将标准普尔500指数作为明确的市场因素，并假设无风险收益为零 rf = 0。特别是，我们考虑六种交易所买卖基金（ETF）：

我们首先加载数据：

# 设置开始结束日期和股票名称列表
begin_date <- "2016-10-01"
end_date <- "2017-06-30"
# 从YahooFinance下载数据
data_set <- xts()
for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
  data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index], 
head(data_set)
#>                 SPY   XIVH     SPHB     SPLV     USMV      JKD
#> 2016-10-03 203.6610 29.400 31.38322 38.55683 42.88382 119.8765
#> 2016-10-04 202.6228 30.160 31.29729 38.10687 42.46553 119.4081
#> 2016-10-05 203.5195 30.160 31.89880 38.02249 42.37048 119.9421
#> 2016-10-06 203.6610 30.160 31.83196 38.08813 42.39899 120.0826
#> 2016-10-07 202.9626 30.670 31.58372 37.98500 42.35146 119.8296
#> 2016-10-10 204.0197 31.394 31.87970 38.18187 42.56060 120.5978
head(SP500_index)
#>              index
#> 2016-10-03 2161.20
#> 2016-10-04 2150.49
#> 2016-10-05 2159.73
#> 2016-10-06 2160.77
#> 2016-10-07 2153.74
#> 2016-10-10 2163.66
# 计算股票和SP500指数的对数收益率作为显式因子
X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)
N <- ncol(X)  # 股票数量
T <- nrow(X)  # 天数

现在我们可以计算所有ETF的alpha和beta：

#>              alpha      beta
#> SPY   7.142225e-05 1.0071424
#> XIVH  1.810392e-03 2.4971086
#> SPHB -2.422107e-04 1.5613533
#> SPLV  1.070918e-04 0.6777149
#> USMV  1.166177e-04 0.6511667
#> JKD   2.569578e-04 0.8883843

现在可以进行一些观察：

SPY是S＆P 500的ETF，如预期的那样，其alpha值几乎为零，beta值几乎为1：α= 7.142211×10-5和 β= 1.0071423。
XIVH是具有高alpha值的ETF，计算出的alpha值是ETF中最高的（高1-2个数量级）：α= 1.810392×10-3。
SPHB是一种ETF，据推测具有很高的beta，而计算出的beta却是最高的，但不是最高的：β= 1.5613531。有趣的是，计算出的alpha为负，因此，该ETF应谨慎。
SPLV是降低波动性的ETF，实际上，计算得出的beta偏低：β= 0.6777072。
USMV还是降低波动性的ETF，实际上，计算出的beta是最低的：β= 0.6511671。
JKD显示出很好的折衷。

我们可以使用一些可视化：

barplot(rev(alpha), horiz = TRUE, main = "alph

我们还可以使用例如Sharpe比率，以更系统的比较不同的ETF。回顾一种资产和一个因素的因子模型

我们获得

夏普比率如下：

假设。因此，基于Sharpe比率对不同资产进行排名的一种方法是根据α/β比率对它们进行排名：

print(ranking)
#>         alpha/beta         SR         alpha      beta
#> XIVH  7.249952e-04 0.13919483  1.810392e-03 2.4971086
#> JKD   2.892417e-04 0.17682677  2.569578e-04 0.8883843
#> USMV  1.790904e-04 0.12280053  1.166177e-04 0.6511667
#> SPLV  1.580189e-04 0.10887903  1.070918e-04 0.6777149
#> SPY   7.091574e-05 0.14170591  7.142225e-05 1.0071424
#> SPHB -1.551287e-04 0.07401566 -2.422107e-04 1.5613533

可以看到：

就α/β而言，XIVH最佳（α最大），而SPHB最差（α负）。
就夏普比率（更确切地说，是信息比率，因为我们忽略了无风险利率）而言，JDK是最好的，其次是SPY。这证实了大多数投资基金的表现不超过市场的观点。
显然，无论以哪种衡量标准，SPHB都是最差的：负α，负β比率和Sharpe比率。
JDK之所以能够取得最佳性能，是因为它的alpha值很好（尽管不是最好的），而同时具有0.88的中等beta值。
XIVH和SPHB有大量不同的beta，因此在市场上具有极端敞口。
USMV在市场上的曝光率最小，有可接受的alpha值，并且其Sharpe比率接近第二和第三高的位置。

Fama-French三因子模型

该示例将说明使用标准普尔500指数中的九种股票的Fama-French三因子模型。让我们从加载数据开始：

# 设置开始结束日期和股票名称列表
begin_date <- "2013-01-01"
end_date <- "2017-08-31"
# 从YahooFinance下载数据
data_set <- xts()
for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
  data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index], 
# 下载Fama-French因子
head(fama_lib)
#>            Mkt.RF   SMB   HML
#> 1926-07-01   0.10 -0.24 -0.28
#> 1926-07-02   0.45 -0.32 -0.08
#> 1926-07-06   0.17  0.27 -0.35
#> 1926-07-07   0.09 -0.59  0.03
#> 1926-07-08   0.21 -0.36  0.15
#> 1926-07-09  -0.71  0.44  0.56
tail(fama_lib)
#>            Mkt.RF   SMB   HML
#> 2017-11-22  -0.05  0.10 -0.04
#> 2017-11-24   0.21  0.02 -0.44
#> 2017-11-27  -0.06 -0.36  0.03
#> 2017-11-28   1.06  0.38  0.84
#> 2017-11-29   0.02  0.04  1.45
#> 2017-11-30   0.82 -0.56 -0.50
# 计算股票的对数收益率和Fama-French因子
X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)
N <- ncol(X)  #股票数量

现在我们在矩阵F中具有三个因子，并希望拟合模型，其中现在的载荷是一个beta矩阵：。我们可以做最小二乘拟合，最小化。更方便地，我们定义和扩展因子。然后可以将LS公式写为最小化

print(Gamma)
#>              alpha        b1          b2          b3
#> AAPL  1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858
#> AMD   6.181760e-04 1.4062105  0.80738336 -0.07240117
#> ADI  -2.285017e-05 1.2124008  0.09025928 -0.20739271
#> ABBV  1.621380e-04 1.0582340  0.02833584 -0.72152627
#> AEZS -4.513235e-03 0.6989534  1.31318108 -0.25160182
#> A     1.146100e-05 1.2181429  0.10370898 -0.20487290
#> APD   6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061  0.11060938
#> AA   -4.587722e-05 1.3391852  0.62590136  0.99858692
#> CF   -5.777426e-04 1.0387867  0.48430007  0.82014523

另外，我们可以使用R完成：

#>              alpha    Mkt.RF         SMB         HML
#> AAPL  1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858
#> AMD   6.181760e-04 1.4062105  0.80738336 -0.07240117
#> ADI  -2.285017e-05 1.2124008  0.09025928 -0.20739271
#> ABBV  1.621380e-04 1.0582340  0.02833584 -0.72152627
#> AEZS -4.513235e-03 0.6989534  1.31318108 -0.25160182
#> A     1.146100e-05 1.2181429  0.10370898 -0.20487290
#> APD   6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061  0.11060938
#> AA   -4.587722e-05 1.3391852  0.62590136  0.99858692
#> CF   -5.777426e-04 1.0387867  0.48430007  0.82014523

统计因子模型

现在让我们考虑统计因子模型或隐式因子模型，其中因子和载荷均不可用。调用具有 K因子的模型 XT =α1T+ BFT + ET的主成分方法：

PCA：

样本均值：
矩阵：
样本协方差矩阵：
特征分解：

估计：

更新特征分解：
重复步骤2-3，直到收敛为止。

#>              alpha                                        
#> AAPL  0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226
#> AMD   0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146  0.0114549515
#> ADI   0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139
#> ABBV  0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810
#> AEZS -0.0041576357 0.0769496344  0.002935950  0.0006249473
#> A     0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654
#> APD   0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394
#> AA    0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957
#> CF   -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661

同样，我们可以使用R完成工作：

#>              alpha      factor1      factor2       factor3
#> AAPL  0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226
#> AMD   0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146  0.0114549515
#> ADI   0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139
#> ABBV  0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810
#> AEZS -0.0041576357 0.0769496344  0.002935950  0.0006249473
#> A     0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654
#> APD   0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394
#> AA    0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957
#> CF   -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661

通过不同因子模型进行协方差矩阵估计的最终比较

我们最终将比较以下不同的因子模型：

样本协方差矩阵
宏观经济一因素模型
基本的三因素Fama-French模型
统计因素模型

我们在训练阶段估计模型，然后将估计的协方差矩阵与测试阶段的样本协方差矩阵进行比较。估计误差将根据PRIAL（平均损失提高百分比）进行评估：

加载训练和测试集：

# 设置开始结束日期和股票名称列表
begin_date <- "2013-01-01"
end_date <- "2015-12-31"
# 准备股票数据
data_set <- xts()
for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
  data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index], 
#   Fama-French 因子
mydata <- mydata[-nrow(mydata), 
# 准备指数
f_SP500 <- diff(log(SP500_index), na.pad = FALSE)
# 将数据拆分为训练数据和测试数据
T_trn <- round(0.45*T)
X_trn <- X[1:T_trn, ]
X_tst <- X[(T_trn+1):T, ]

现在让我们用训练数据估算不同的因子模型：

# 样本协方差矩阵
Sigma_SCM <- cov(X_trn)
# 单因素模型
Gamma <- t(solve(t(F_) %*% F_, t(F_) %*% X_trn))
E <- xts(t(t(X_trn) - Gamma %*% t(F_)), index(X_trn))
# Fama-French三因子模型
Sigma_FamaFrench <- B %*% cov(F_FamaFrench_trn) %*% t(B) + diag(diag(Psi))
# 统计单因子模型
while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {
  B <- eigSigma$vectors[, 1:K, drop = FALSE] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)
# 统计三因子模型
K <- 3
while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {
  B <- eigSigma$vectors[, 1:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)
  Psi <- diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))
Sigma_PCA3 <- Sigma
# 统计五因子模型
K <- 5
eigSigma <- eigen(Sigma)
while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {
  B <- eigSigma$vectors[, 1:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)
  Psi <- diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))

最后，让我们比较测试数据中的不同估计：

Sigma_true <- cov(X_tst)
barplot(error, main = "协方差矩阵估计误差",

PRIAL <- 100*(ref - error^2)/ref
barplot(PRIAL, main = "协方差矩阵估计的先验方法",

最终可以看到使用因子模型进行协方差矩阵估计会有所帮助。

R语言Fama-French三因子模型实际应用：优化投资组合

具有单一市场因素的宏观经济因素模型

可视化协方差矩阵

评估投资资金

Fama-French三因子模型

统计因子模型

通过不同因子模型进行协方差矩阵估计的最终比较

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