在保险业中，由于分散投资，通常会在合法的大型投资组合中提及大数定律。在一定时期内，损失“可预测”。当然，在标准的统计假设下，即有限的期望值和独立性。由于在保险业中，灾难通常很少发生，而且代价非常高昂，精算师可能有兴趣对少量事件的发生进行建模。背后的定理有时也被称为小数定律。

泊松分布

所谓的泊松分布（请参阅http://en.wikipedia.org/…）由SiméonPoisson于1837年进行了介绍。亚伯拉罕·德·莫伊夫（Abraham De Moivre）于1711年在De Mensura Sortis seu对其进行了定义。

如果考虑大量观察值，并且计算给定（小）区域中有多少观察值，则此类观察值的数量就是泊松分布。

n=1000












polygon(c(u,rev(u)),c(v,rev(-v)),col="yellow",border=NA)
I=(X^2+Y^2)<1
points(X[I],Y[I],cex=.6,pch=19,col="red")

如果我们进行一些模拟

>  n=1000
>  ns=100000
>  N=rep(NA,ns)
>
+
+
+
+
+
>
> mean(N)
[1] 31.41257

泊松分布的参数是黄色圆盘的面积，即正方形的面积，即

> lines(0:60-.5,dpois(0:60,lambda),type="b",col="red")

泊松过程

如上所述，当事件以某种方式随机且独立地随时间发生时，就会出现泊松分布。然后很自然地研究两次事件之间的时间（或在保险范围内两次索赔）。

泊松分布和索赔发生

既不是SiméonPoisson也不是De Moivre，而是Ladislaus Von Bortkiewicz首先提到了Poisson分布是小数定律。1898年，他研究了1875年至1894年间被马踢倒杀死的士兵的人数，其中有200个兵团。

他确实获得了以下分布（此处，泊松分布的参数为0.61，即每年的平均死亡人数）

在很多情况下，泊松分布都非常适合。例如，如果我们考虑1850年后在佛罗里达州的飓风数量，

泊松分布和回归期

返回期是由Emil Gumbel在水文学中介绍的，用于链接概率和持续时间。十年事件的发生概率为1/10。那么10是发生之前的平均等待时间。这并不意味着该事件不会在10年之前发生，或者必须在10年之前发生，通常用下表来总结此属性，

上表中的对角线非常有趣。似乎在某种程度上趋向极限值（此处为63.2％）。在n年内观察到的事件数量具有二项式分布。那么，没有灾难的概率为0.632。

稀有概率与泊松分布

计算稀有事件的概率时，泊松分布不断出现。例如，在50年的时间里，至少有一次在核电厂发生事故的可能性。假设在反应堆中发生事故的年概率  

很小，例如0.05％。

进一步假设反应堆在时间上相互独立。

>
>
[1] 0.1812733
>
[1] 0.1812692

这是具有参数为的泊松分布时为零 的概率  。

解决这个问题的另一种方法是基于以下思想：鉴于在对全球450座反应堆进行的45年观察中（，观察到了三起重大事故，包括“三哩岛”（1979年）和“福岛”（2011年），即两次事故之间的平均时间估计为16年。对于单个反应堆，我们可以假设事件发生之前等待的平均时间是16年的450倍，即7200年。或者，一个反应堆在一年内发生一次事件的概率是7200以上的事件之一（这是“返还期”概念背后的想法）。如果我们假设事故的到来是随机且彼此独立发生的（如上定义），则在50年内观察到的重大事故数量遵循参数为50 /（7200/80）的泊松分布。

即

>
[1] 0.4262466