再保险案例研究目的是为业务中断索赔定价一些非比例再保险合同。考虑以下数据集，
> db=read.xls( + "PE.xls", + sheet=1) Content type 'application/vnd.ms-excel' length 183808 bytes (179 Kb) open URL ================================================== downloaded 179 Kb
至于任何（标准）保险合同，定价中有两个部分
- 预期的索赔数量
- 个人索赔的平均费用
在这里，我们没有协变量（但是可以使用某些变量，例如行业的种类，地理位置等）。
让我们从每年的预期索赔数开始。这是每天的频率
是很久以前的数据，但是，这也是一件好事，因为十年后，我们可以预期大多数索赔已经解决。为了绘制上面的图，我们使用
> date=db$DSUR > D=as.Date(as.character(date),format="%Y%m%d") > vD=seq(min(D),max(D),by=1) > sD=table(D) > d1=as.Date(names(sD)) > d2=vD[-which(vD%in%d1)] > vecteur.date=c(d1,d2) > vecteur.cpte=c(as.numeric(sD),rep(0,length(d2))) > base=data.frame(date=vecteur.date,cpte=vecteur.cpte) > plot(vecteur.date,vecteur.cpte,type="h",xlim=as.Date(as.character( + c(19850101,20111231)),format="%Y%m%d"))
然后，我们可以使用（标准）Poisson回归来预测每日业务中断索赔的数量，例如，在2010年的任何一天（假设我们必须在几年前对再保险合同进行定价）
> pred2010 =predict(regdate,newdata=nd2010,type="response") > sum(pred2010) [1] 159.4757
观察使用旧数据有弊端，因为如果我们按时进行回归（包括一些可能的趋势），我们将面临更多不确定性。
假设我们在给定的一年中平均有160项声明。
> plot(D,db$COUTSIN,type="h")
现在让我们集中讨论这些索赔的费用。我们的数据集中有2,400个索赔要求适合模型（或至少估计了再保险合同可能给我们造成的损失）。假设我们想为我们的大额索赔购买再保险合同。在16年的时间里，该可执行文件的费用应接近1500万。
> quantile(db$COUTSIN,1-32/2400)/1e6 98.66667% 15.34579 > abline(h=quantile(db$COUTSIN,1-32/2400),col="blue")
因此，考虑一些免赔额为1500万的再保险合同。让我们假设再保险公司同意这种免赔额，但承保范围为3500万。
第一个想法是查看我们投资组合中的第一个成本，即该赔偿的经验平均值。
检查一些损失
> indemn(5) [1] 0 > indemn(20) [1] 5 > indemn(50) [1] 35
现在，如果计算再保险公司在16年内的平均还款额，
> mean(indemn(db$COUTSIN/1e6)) [1] 0.1624292
因此，根据索赔，再保险公司将平均支付162,430。每年有160项索赔，纯保费应接近2600万
> mean(indemn(db$COUTSIN/1e6))*160 [1] 25.98867
（同样，对于3,500万份保险，平均每年应发生两次的某些索赔）。正如我们看到的，再保险的标准模型是帕累托分布（或更具体地说，是广义帕累托分布），
这里有三个参数
- 阈值（我们将其视为固定阈值，但会看到其对再保险定价的影响）
- 比例参数
- 尾部指数
策略是考虑一个低于我们免赔额的门槛，例如1200万。然后，假设损失超过1200万，我们就可以拟合广义Pareto分布，
> gpd.PL xi beta 7.004147e-01 4.400115e+06
在这里，鉴于索赔超过1200万，平均还款额接近600万
> E(15e6,50e6,gpd.PL[1],gpd.PL[2],12e6) [1] 6058125
现在，我们必须考虑达到1200万的概率
> mean(db$COUTSIN>12e6) [1] 0.02639296
因此，如果总结一下，我们每年平均有160项索赔
> p [1] 159.4757
只有2.6％将超过1200万
> mean(db$COUTSIN>12e6) [1] 0.02639296
因此，每年发生1200万以上的频率为4.2
> p*mean(db$COUTSIN>12e6) [1] 4.209036
对于超过1200万的索赔，平均还款额为
> E(15e6,50e6,gpd.PL[1],gpd.PL[2],12e6) [1] 6058125
因此，纯溢价应接近
> p*mean(db$COUTSIN>12e6)*E(15e6,50e6,gpd.PL[1],gpd.PL[2],12e6) [1] 25498867
接近我们获得的经验值。实际上，也可以查看阈值参数的影响，很明显，中间值可以更改。
我们可以将纯溢价绘制为该阈值的函数，
> seuils=seq(1e6,15e6,by=1e6) > plot(seuils,Vectorize(esp)(seuils),type="b",col="red")
对于较大的阈值，该值在24到26之间。同样，这是第一步，我们可以为更高的再保险层定价，例如可抵扣额为5000万的再保险合同（我们之前有低于该门槛的索赔的再保险合同），而承保额为5000万。拥有参数模型变得有趣，该模型应该比经验平均值更健壮。
