介绍
在本节中,我将重点介绍使用集成嵌套 拉普拉斯近似方法的贝叶斯推理。
可以 估计贝叶斯 层次模型的后边缘分布。鉴于模型类型非常广泛,我们将重点关注用于分析晶格数据的空间模型。
数据集:纽约州北部的白血病
为了说明如何与空间模型拟合,将使用纽约白血病数据集。该数据集记录了普查区纽约州北部的许多白血病病例。数据集中的一些变量是:
Cases
:1978-1982年期间的白血病病例数。POP8
:1980年人口。PCTOWNHOME
:拥有房屋的人口比例。PCTAGE65P
:65岁以上的人口比例。AVGIDIST
:到最近的三氯乙烯(TCE)站点的平均反距离。
鉴于有兴趣研究纽约州北部的白血病风险,因此首先要计算预期的病例数。这是通过计算总死亡率(总病例数除以总人口数)并将其乘以总人口数得出的:
rate <- sum(NY8$Cases) / sum(NY8$POP8) NY8$Expected <- NY8$POP8 * rate
一旦获得了预期的病例数,就可以使用标准化死亡率(SMR)来获得原始的风险估计,该标准是将观察到的病例数除以预期的病例数得出的:
NY8$SMR <- NY8$Cases / NY8$Expected
疾病作图
在流行病学中,重要的是制作地图以显示相对风险的空间分布。在此示例中,我们将重点放在锡拉库扎市以减少生成地图的计算时间。因此,我们用锡拉丘兹市的区域创建索引:
# Subset Syracuse city syracuse <- which(NY8$AREANAME == "Syracuse city")
可以使用函数spplot
(在包中sp
)简单地创建疾病图:
library(viridis) ## Loading required package: viridisLite spplot(NY8[syracuse, ], "SMR", #at = c(0.6, 0.9801, 1.055, 1.087, 1.125, 13), col.regions = rev(magma(16))) #gray.colors(16, 0.9, 0.4)) ## Loading required package: viridisLite
可以轻松创建交互式地图
请注意,先前的地图还包括11个受TCE污染的站点的位置,可以通过缩小看到它。
混合效应模型
泊松回归
我们将考虑的第一个模型是没有潜在随机效应的Poisson模型,因为这将提供与其他模型进行比较的基准。
模型 :
请注意,它的glm
功能类似于该功能。在此,参数 E
用于预期的案例数。或 设置了其他参数来计算模型参数的边际
(使用control.predictor
)并计算一些模型选择标准 (使用control.compute
)。
接下来,可以获得模型的摘要:
summary(m1) ## ## Call: ## Time used: ## Pre = 0.368, Running = 0.0968, Post = 0.0587, Total = 0.524 ## Fixed effects: ## mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode kld ## (Intercept) -0.065 0.045 -0.155 -0.065 0.023 -0.064 0 ## AVGIDIST 0.320 0.078 0.160 0.322 0.465 0.327 0 ## ## Expected number of effective parameters(stdev): 2.00(0.00) ## Number of equivalent replicates : 140.25 ## ## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 948.12 ## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 418.75 ## Effective number of parameters .....................: 2.00 ## ## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 949.03 ## Effective number of parameters .................: 2.67 ## ## Marginal log-Likelihood: -480.28 ## Posterior marginals for the linear predictor and ## the fitted values are computed
具有随机效应的泊松回归
可以通过 在线性预测变量中包括iid高斯随机效应,将潜在随机效应添加到模型中,以解决过度分散问题。
现在,该模式的摘要包括有关随机效果的信息:
summary(m2) ## ## Call: ## Time used: ## Pre = 0.236, Running = 0.315, Post = 0.0744, Total = 0.625 ## Fixed effects: ## mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode kld ## (Intercept) -0.126 0.064 -0.256 -0.125 -0.006 -0.122 0 ## AVGIDIST 0.347 0.105 0.139 0.346 0.558 0.344 0 ## ## Random effects: ## Name Model ## ID IID model ## ## Model hyperparameters: ## mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode ## Precision for ID 3712.34 11263.70 3.52 6.94 39903.61 5.18 ## ## Expected number of effective parameters(stdev): 54.95(30.20) ## Number of equivalent replicates : 5.11 ## ## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 926.93 ## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 397.56 ## Effective number of parameters .....................: 61.52 ## ## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 932.63 ## Effective number of parameters .................: 57.92 ## ## Marginal log-Likelihood: -478.93 ## Posterior marginals for the linear predictor and ## the fitted values are computed
添加点估计以进行映射
这两个模型估计 可以被添加到 SpatialPolygonsDataFrame
NY8
NY8$FIXED.EFF <- m1$summary.fitted[, "mean"] NY8$IID.EFF <- m2$summary.fitted[, "mean"] spplot(NY8[syracuse, ], c("SMR", "FIXED.EFF", "IID.EFF"), col.regions = rev(magma(16)))
晶格数据的空间模型
格子数据涉及在不同区域(例如,邻里,城市,省,州等)测量的数据。出现空间依赖性是因为相邻区域将显示相似的目标变量值。
邻接矩阵
可以使用poly2nb
package中的函数来计算邻接矩阵 spdep
。如果其边界 至少在某一点上接触 ,则此功能会将两个区域视为邻居:
这将返回一个nb
具有邻域结构定义的对象:
NY8.nb ## Neighbour list object: ## Number of regions: 281 ## Number of nonzero links: 1624 ## Percentage nonzero weights: 2.056712 ## Average number of links: 5.779359
另外, 当多边形的重心 已知时,可以绘制对象:
plot(NY8) plot(NY8.nb, coordinates(NY8), add = TRUE, pch = ".", col = "gray")
回归模型
通常情况是,除了\(y_i \)之外,我们还有许多协变量 \(X_i \)。因此,我们可能想对\(X_i \)回归 \(y_i \)。除了 协变量,我们可能还需要考虑数据的空间结构。
可以使用不同类型的回归模型来建模晶格数据:
- 广义线性模型(具有空间随机效应)。
- 空间计量经济学模型。
线性混合模型
一种常见的方法(对于高斯数据)是使用
具有随机效应的线性回归:
\ [
Y = X \ beta + Zu + \ varepsilon
\]
随机效应的向量\(u \)被建模为多元正态分布:
\ [
u \ sim N(0,\ sigma ^ 2_u \ Sigma)
\]
\(\ Sigma \)的定义是,它会引起与相邻区域的更高相关性,\(Z \)是随机效果的设计矩阵,而
\(\ varepsilon_i \ sim N(0,\ sigma ^ 2),i = 1,\ ldots,n \)是一个误差项。
空间随机效应的结构
在\(\ Sigma \)中包括空间依赖的方法有很多:
- 同步自回归(SAR):
\ [
\ Sigma ^ {-1} = [(I- \ rho W)'(I- \ rho W)]
\]
- 条件自回归(CAR):
\ [
\ Sigma ^ {-1} =(I- \ rho W)
\]
- (ICAR):
\ [
\ Sigma ^ {-1} = diag(n_i)– W
\]
\(n_i \)是区域\(i \)的邻居数。 - \(\ Sigma_ {i,j} \)取决于\(d(i,j)\)的函数。例如:
\ [
\ Sigma_ {i,j} = \ exp \ {-d(i,j)/ \ phi \}
\]
- 矩阵的“混合”(Leroux等人的模型):
\ [
\ Sigma = [(1 – \ lambda)I_n + \ lambda M] ^ {-1}; \ \ lambda \ in(0,1)
\]
ICAR模型
第一个示例将基于ICAR规范。请注意, 使用f
-函数定义空间潜在效果。这将需要 一个索引来识别每个区域中的随机效应,模型的类型 和邻接矩阵。为此,将使用稀疏矩阵。
## ## Call: ## Time used: ## Pre = 0.298, Running = 0.305, Post = 0.0406, Total = 0.644 ## Fixed effects: ## mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode kld ## (Intercept) -0.122 0.052 -0.226 -0.122 -0.022 -0.120 0 ## AVGIDIST 0.318 0.121 0.075 0.320 0.551 0.324 0 ## ## Random effects: ## Name Model ## ID Besags ICAR model ## ## Model hyperparameters: ## mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode ## Precision for ID 3.20 1.67 1.41 2.79 7.56 2.27 ## ## Expected number of effective parameters(stdev): 46.68(12.67) ## Number of equivalent replicates : 6.02 ## ## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 904.12 ## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 374.75 ## Effective number of parameters .....................: 48.31 ## ## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 906.77 ## Effective number of parameters .................: 44.27 ## ## Marginal log-Likelihood: -685.70 ## Posterior marginals for the linear predictor and ## the fitted values are computed
BYM模型
Besag,York和Mollié模型包括两个潜在的随机效应:ICAR 潜在效应和高斯iid潜在效应。线性预测变量\(\ eta_i \)
为:
\ [
\ eta_i = \ alpha + \ beta AVGIDIST_i + u_i + v_i
\]
- \(u_i \)是iid高斯随机效应
- \(v_i \)是内在的CAR随机效应
## ## Call: ## Time used: ## Pre = 0.294, Running = 1, Post = 0.0652, Total = 1.36 ## Fixed effects: ## mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode kld ## (Intercept) -0.123 0.052 -0.227 -0.122 -0.023 -0.121 0 ## AVGIDIST 0.318 0.121 0.075 0.320 0.551 0.324 0 ## ## Random effects: ## Name Model ## ID BYM model ## ## Model hyperparameters: ## mean sd 0.025quant 0.5quant ## Precision for ID (iid component) 1790.06 1769.02 115.76 1265.24 ## Precision for ID (spatial component) 3.12 1.36 1.37 2.82 ## 0.975quant mode ## Precision for ID (iid component) 6522.28 310.73 ## Precision for ID (spatial component) 6.58 2.33 ## ## Expected number of effective parameters(stdev): 47.66(12.79) ## Number of equivalent replicates : 5.90 ## ## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 903.41 ## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 374.04 ## Effective number of parameters .....................: 48.75 ## ## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 906.61 ## Effective number of parameters .................: 45.04 ## ## Marginal log-Likelihood: -425.65 ## Posterior marginals for the linear predictor and ## the fitted values are computed
Leroux 模型
该模型是使用矩阵的“混合”(Leroux等人的模型)
定义的,以定义潜在效应的精度矩阵:
\ [
\ Sigma ^ {-1} = [(1-\ lambda)I_n + \ lambda M]; \ \ lambda \ in(0,1)
\]
为了定义正确的模型,我们应采用矩阵\(C \)如下:
\ [
C = I_n – M; \ M = diag(n_i)– W
\]
然后,\(\ lambda_ {max} = 1 \)和
\ [
\ Sigma ^ {-1} =
\ frac {1} {\ tau}(I_n- \ frac {\ rho} {\ lambda_ {max}} C)=
\ frac {1} {\ tau}(I_n- \ rho(I_n – M))= \ frac {1} {\ tau}((1- \ rho)I_n + \ rho M)
\]
为了拟合模型,第一步是创建矩阵\(M \):
我们可以检查最大特征值\(\ lambda_ {max} \)是一个:
max(eigen(Cmatrix)$values) ## [1] 1 ## [1] 1
该模型与往常一样具有功能inla
。注意,\(C \)矩阵使用参数
传递给f
函数Cmatrix
:
## ## Call: ## Time used: ## Pre = 0.236, Running = 0.695, Post = 0.0493, Total = 0.98 ## Fixed effects: ## mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode kld ## (Intercept) -0.128 0.448 -0.91 -0.128 0.656 -0.126 0.075 ## AVGIDIST 0.325 0.122 0.08 0.327 0.561 0.330 0.000 ## ## Random effects: ## Name Model ## ID Generic1 model ## ## Model hyperparameters: ## mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode ## Precision for ID 2.720 1.098 1.27 2.489 5.480 2.106 ## Beta for ID 0.865 0.142 0.47 0.915 0.997 0.996 ## ## Expected number of effective parameters(stdev): 52.25(13.87) ## Number of equivalent replicates : 5.38 ## ## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 903.14 ## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 373.77 ## Effective number of parameters .....................: 53.12 ## ## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 906.20 ## Effective number of parameters .................: 48.19 ## ## Marginal log-Likelihood: -474.94 ## Posterior marginals for the linear predictor and ## the fitted values are computed
空间计量经济学模型
空间计量经济学是通过 对空间建模略有不同的方法开发的。除了使用潜在效应,还可以对空间 依赖性进行显式建模。
同步自回归模型(SEM)
该模型包括协变量和误差项的自回归:
\ [
y = X \ beta + u; u = \ rho Wu + e; e \ sim N(0,\ sigma ^ 2)
\]
\ [
y = X \ beta + \ varepsilon; \ varepsilon \ sim N(0,\ sigma ^ 2(I- \ rho W)^ {-1}(I- \ rho W')^ {-1})
\]
空间滞后模型(SLM)
该模型包括协变量和响应的自回归:
\ [
y = \ rho W y + X \ beta + e; e \ sim N(0,\ sigma ^ 2)
\]
\ [
y =(I- \ rho W)^ {-1} X \ beta + \ varepsilon; \ \ varepsilon \ sim N(0,\ sigma ^ 2(I- \ rho W)^ {-1}(I- \ rho W')^ {-1})
\]
潜在影响slm
现在包括一个实验所谓的新的潜在影响slm
,以 符合以下模型:
\ [
\ mathbf {x} =(I_n- \ rho W)^ {-1}(X \ beta + e)
\]
该模型的元素是:
- \(W \)是行标准化的邻接矩阵。
- \(\ rho \)是空间自相关参数。
- \(X \)是协变量的矩阵,系数为\(\ beta \)。
- \(e \)是具有方差\(\ sigma ^ 2 \)的高斯iid误差。
该slm
潜效果的实验,它可以 与所述线性预测其他效果组合。
模型定义
为了定义模型,我们需要:
X
:协变量矩阵W
:行标准化的邻接矩阵Q
:系数\(\ beta \)的精确矩阵- 范围\(\ RHO \) ,通常由本征值定义
slm
潜在作用是通过参数传递 args.sm
。在这里,我们创建了一个具有相同名称的列表,以将 所有必需的值保存在一起:
#Arguments for 'slm' args.slm = list( rho.min = rho.min , rho.max = rho.max, W = W, X = mmatrix, Q.beta = Q.beta )
此外,还设置了精度参数\(\ tau \)和空间 自相关参数\(\ rho \)的先验:
#Prior on rho hyper.slm = list( prec = list( prior = "loggamma", param = c(0.01, 0.01)), rho = list(initial=0, prior = "logitbeta", param = c(1,1)) )
先前的定义使用具有不同参数的命名列表。参数 prior
定义了使用之前param
及其参数。在此,为 精度分配了带有参数\(0.01 \)和\(0.01 \)的伽玛先验值,而 为空间自相关参数指定了带有参数\(1 \) 和\(1 \)的beta先验值(即a间隔\(((1,1)\))中的均匀先验。
模型拟合
## ## Call: ## Time used: ## Pre = 0.265, Running = 1.2, Post = 0.058, Total = 1.52 ## Random effects: ## Name Model ## ID SLM model ## ## Model hyperparameters: ## mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode ## Precision for ID 8.989 4.115 3.709 8.085 19.449 6.641 ## Rho for ID 0.822 0.073 0.653 0.832 0.936 0.854 ## ## Expected number of effective parameters(stdev): 62.82(15.46) ## Number of equivalent replicates : 4.47 ## ## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 902.32 ## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 372.95 ## Effective number of parameters .....................: 64.13 ## ## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 905.19 ## Effective number of parameters .................: 56.12 ## ## Marginal log-Likelihood: -477.30 ## Posterior marginals for the linear predictor and ## the fitted values are computed
系数的估计显示为随机效应的一部分:
round(m.slm$summary.random$ID[47:48,], 4) ## ID mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode kld ## 47 47 0.4634 0.3107 -0.1618 0.4671 1.0648 0.4726 0 ## 48 48 0.2606 0.3410 -0.4583 0.2764 0.8894 0.3063 0
空间自相关以内部比例报告(即 0到1 之间),并且需要重新缩放:
## Mean 0.644436 ## Stdev 0.145461 ## Quantile 0.025 0.309507 ## Quantile 0.25 0.556851 ## Quantile 0.5 0.663068 ## Quantile 0.75 0.752368 ## Quantile 0.975 0.869702plot(marg.rho, type = "l", main = "Spatial autocorrelation")
结果汇总
NY8$ICAR <- m.icar$summary.fitted.values[, "mean"] NY8$BYM <- m.bym$summary.fitted.values[, "mean"] NY8$LEROUX <- m.ler$summary.fitted.values[, "mean"] NY8$SLM <- m.slm$summary.fitted.values[, "mean"] spplot(NY8[syracuse, ], c("FIXED.EFF", "IID.EFF", "ICAR", "BYM", "LEROUX", "SLM"), col.regions = rev(magma(16)) )
注意空间模型如何产生相对风险的更平滑的估计。
为了选择最佳模型, 可以使用上面计算的模型选择标准:
参考文献
Bivand, R., E. Pebesma and V. Gómez-Rubio (2013). Applied spatial data
analysis with R. Springer-Verlag. New York.