各位少年，我是博主那一脸阳光。今天分享给C语言重要的部分递归，递归的思想是把无数个问题化身为无数个小问题，让这道题便的简便比如说 X=3+1，这个三就可以划分为无数个子问题，3=1+1+1，从而实现这道题简便化，易解。
程序员巧遇“自恋”函数——递归世界的幽默探险
在C语言的世界里，递归是一种独特的编程艺术，它仿佛是程序设计中的魔法镜像，以一种自我参照、自我迭代的方式解决问题。这种优雅而富有哲理性的解题思路源自数学的递归定义，它允许函数直接或间接地调用自身来解决复杂问题。如同阿基米德发现测量王冠体积的秘密，或者汉诺塔游戏中的神秘书童所传授的移动法则，递归思想将大问题分解成与原问题结构相似但规模更小的子问题，直至达到基本情况可以立即解答。
通过C语言实现递归，开发者能够构建出简洁而强大的算法，如快速排序、阶乘计算、遍历树状结构等经典场景。然而，掌握递归亦是一把双刃剑，它要求程序员具备良好的逻辑思维和对系统资源管理的深刻理解，以防陷入无限循环或栈溢出的困境。正所谓“欲穷千里目，更上一层楼”，探索递归的魅力，不仅在于学习如何编写高效的递归代码，更在于领略计算机科学中深层次的抽象与归纳之美。让我们一起踏上这段奇妙之旅，在C语言的指引下揭开递归面纱，步入这一门深邃且实用的技术殿堂。
一探究竟！揭秘“自我复制”的魔法——递归的奇妙世界
(想象一下：在C语言的奇幻乐园中，有一种神秘而独特的魔法，名叫“递归”。想象一下你是一位程序世界的魔法师，手持法杖（函数），面对一个看似无解的大难题时，却突然灵光一闪：“嘿，如果我把自己召唤出来帮忙，是不是就搞定了？”于是乎，你开始了一场自嗨式的“自我召唤”大戏，一层又一层地复制自己去解决更小规模的问题，直到遇见那个最小的、容易对付的小怪兽（基本情况）。这就是传说中的“递归”，一种让人笑中带泪、又哭又笑的编程奇技。
举个例子，假设你要数清一座由无数层俄罗斯套娃组成的塔楼到底有多少个娃娃。正常人可能要崩溃了，但我们的C语言魔法师只需施展一记“递归咒语”，就能轻松搞定——打开最外层的娃娃看看里面有几个娃娃，然后对每个娃娃再重复这个过程，直至找到那些最小不能再拆的小娃娃为止。这神奇的过程就像一位搞笑版的哈利·波特，在霍格沃茨城堡里不断用镜子复制自己，只为统计那些淘气的魔法娃娃数量！
所以，亲爱的程序员朋友们，让我们一起拿起手中的“递归魔杖”，在这充满欢笑与智慧的C语言世界里，将一个个复杂问题化为一场场令人捧腹的“自导自演”的喜剧大片吧！)
递归的思想
把⼀个⼤型复杂问题层层转化为⼀个与原问题相似，但规模较⼩的⼦问题来求解；直到⼦问题不能再
被拆分，递归就结束了。所以递归的思考⽅式就是把⼤事化⼩的过程。
递归的限制条件
递归在书写的时候，有2个必要条件：
• 递归存在限制条件，当满⾜这个限制条件的时候，递归便不再继续。
• 每次递归调⽤之后越来越接近这个限制条件。
在下⾯的例⼦中，我们逐步体会这2个限制条件
递归的代码例子
#include <stdio.h> int main() { printf("hehe\n"); main(); return 0; }
请看上面的C语言代码，先打印呵呵以后，再次调用main函数，调用它本身，但这里没有递归的限制条件导致代码出现了死递归，所以出现了一次打印呵呵死循环的现状。所以我们说递归必须有限制条件，越来越接近这个点，不能出现上面代码没有条件无限递归问题，还有个蛮重要的问题内存布局栈溢出。我们发现调试的时候到main函数就会到这里就会报错，Stack overflow（
栈溢出）。
【内存综艺秀】：围观内存三雄争霸——“瞬间流转的栈时间旅者”、“恣意扩容的堆空间魔术师”与“恒久固定的静态区常青树”
咳咳，刚才我们刚刚穿越了递归那神秘而诱人的“时空隧道”，领略了它在程序世界中的种种神奇表现。现在，让我们转变视角，一起来探索支撑这一切魔法背后的“记忆宫殿”——内存世界，尤其是其中的三个关键区域：栈区、堆区和静态区，它们就像三个分工明确的魔法车间，各司其职，共同打造着程序运行的奇迹！
首先，闪亮登场的是“瞬息万变工坊”——栈区。它就像是一个魔法师的帽子，每当施展递归魔法时，就会源源不断地抽出兔子（函数调用产生的临时变量和返回地址）。递归每深入一层，就像魔法师将帽子一抖，一个新的兔子蹦跶出来。等递归完成使命，又会按照原来的顺序，依次把兔子收回帽子里（函数返回时释放栈帧）。这“帽子戏法”般的运作模式，成就了递归那神奇的时空穿梭效应。
接下来，是“随心所欲工作室”——堆区。这里的工作风格更为开放自由，就像一个可以随需求无限延展的魔法仓库，存储着那些大小不定、生命周期不受函数调用限制的变量。每当递归需要开辟一块新的场地存放长期物件时，堆区便会施展“空间拓展咒”，满足递归所需的各种材料存储需求。
最后，是我们稳如泰山的“永恒储藏室”——静态区。这里是存放那些不论何时何地都不会消失的“古老魔法典籍”（全局变量和静态变量）的地方。它们的存在就如同魔法学院里的基石，不论递归施展了多少次魔法，这些珍贵的典籍始终静静地躺在那儿，为整个程序世界提供恒久的支持。
所以，这三大内存区域就像是支撑起递归魔法的坚实后台，各有神通，相互协作，共同创造了程序运行中那些令人赞叹不已的精彩瞬间。下次当你在代码世界中施展递归魔法时，不妨多留意一下这三个神奇的魔法车间，你会更加深刻地体会到它们在背后默默付出的努力！
内存和硬盘的关系
内存和硬盘，就像是计算机内部的两位紧密合作的仓储专家，各自负责不同的职责，共同确保数据的安全存储与高效访问。
内存（RAM）： 内存好比计算机的短期记忆中枢，速度快如闪电，容量相对较小。当程序运行时，正在使用的数据和指令会被加载到内存中，方便CPU快速读取和处理。内存的特性是“易失性”，意味着一旦电源切断，其中的数据就会消失。内存的响应速度极快，但空间有限，主要用于暂时存放正在运行的程序及其数据。
硬盘（HDD或SSD）： 硬盘则是计算机的长期存储仓库，相当于计算机的长久记忆。硬盘的存储空间远大于内存，可以长期保存大量数据，包括操作系统、应用程序、个人文件等。无论是传统的机械硬盘（HDD）还是现代的固态硬盘（SSD），它们的数据在断电后依然能够保留下来。硬盘的访问速度相比内存慢很多，但容量大且成本较低。
两者关系：
内存与硬盘相辅相成，共同保障数据的正确管理和使用。
当计算机开机或运行程序时，操作系统会先把硬盘上的操作系统和程序的部分数据加载到内存中，以便CPU高效执行。
当内存中的数据需要持久保存时，会被写回到硬盘上。
内存作为硬盘与CPU之间的缓冲区，提高了数据读写的整体效率。
形象地说，内存是厨房中的操作台，食材（数据）在此快速加工处理；而硬盘则是巨大的仓库，储存着各种长期所需的食材原料。只有当需要烹饪时，才会从仓库取出食材放在操作台上。当一道菜（程序）烹饪完毕，多余的食材也可能被重新存回仓库，等待下一次的使用。
类比：就好比你背包里有一大堆东西，但是你手里一次只能拿哪些，然而计算机内存就好比哪一只手，硬盘或者栈区就好比哪背包，一旦手拿不动背包里的东西就会报错，出现问题。
分析代码和栈区
#include <stdio.h> int main() { printf("hehe\n"); main(); return 0; }
上面C语言因为递归没有限制条件，导致代码出现了一种死循环的状态，由于函数都是放在栈区里头，每一次main函数递归都会在栈区开辟一段空间，看上图，每递归一次main函数增加一次，如果栈区满了，则会出现栈溢出。（栈区一般只会在循环的时候满）。栈区保存局部变量和函数。
解释递归的魔法咒语（限制条件）
递归在书写的时候，有2个必要条件：
• 递归存在限制条件，当满⾜这个限制条件的时候，递归便不再继续。
• 每次递归调⽤之后越来越接近这个限制条件。
在下⾯的例⼦中，我们逐步体会这2个限制条件
递归举例
举例1：求n的阶乘
计算n的阶乘（不考虑溢出），n的阶乘就是1~n的数字累积相乘。
分析和代码实现
我们知道n的阶乘的公式： n！ = n ∗ (n − 1)!
举例：
5! = 5*4*3*2*1 4! = 4*3*2*1 所以:5! = 5*4!
这样的思路就是把⼀个较⼤的问题，转换为⼀个与原问题相似，但规模较⼩的问题来求解的。
n!---> n*(n-1)! (n-1)! ---> (n-1)*(n-2)!
直到n是1或者0时，不再拆解
再稍微分析⼀下，当 n<=1 的时候，n的阶乘是1，其余n的阶乘都是可以通过上述公式计算。
n的阶乘的递归公式如下：
#include <stdio.h> int Fact(int n) { if(n==0) return 1; else return n*Fact(n-1); } int main() { int n = 0; scanf("%d", &n); int ret = Fact(n); printf("%d\n", ret); return 0; }
我们发现上面的代码成功的算法n的阶乘，如果n==0就返回，这里提到一点0的阶乘就是1，如果是其他则要计算，我们计算一个五的阶乘，画个图并计算出它的阶乘
画图
具体来说，这段代码的工作流程如下：
定义了一个名为Fact的递归函数，它接受一个整数参数n。当n等于0时，根据阶乘的定义返回1，因为0的阶乘定义为1。
如果n不为0，则函数通过调用自身来计算n-1的阶乘，并将结果与当前的n相乘后返回。这就是递归的过程：问题被分解为规模更小的相同问题，直到达到基本情况（即n=0）为止。
main函数中首先定义了一个变量n并初始化为0，然后通过scanf从标准输入读取一个整数值并存储到n中。
计算n的阶乘，调用Fact(n)函数并将返回值赋给变量ret。
使用printf输出计算得到的阶乘结果。
main函数最后返回0，表示程序正常结束。
C语言题目
输⼊⼀个整数m，打印这个按照顺序打印整数的每⼀位。
⽐如：
输⼊：1234 输出：1 2 3 4
输⼊：520 输出：5 2 0
分析和代码实现
这个题⽬，放在我们⾯前，⾸先想到的是，怎么得到这个数的每⼀位呢？
如果n是⼀位数，n的每⼀位就是n⾃⼰
n是超过1位数的话，就得拆分每⼀位
1234%10就能得到4，然后1234/10得到123，这就相当于去掉了4
然后继续对123%10，就得到了3，再除10去掉3，以此类推
不断的 %10 和 \10 操作，直到1234的每⼀位都得到；
但是这⾥有个问题就是得到的数字顺序是倒着的
但是我们有了灵感，我们发现其实⼀个数字的最低位是最容易得到的，通过%10就能得到
Print(n) 如果n是1234，那表⽰为 Print(1234) //打印1234的每⼀位 其中1234中的4可以通过%10得到，那么 Print(1234)就可以拆分为两步： 1. Print(1234/10) //打印123的每⼀位 2. printf(1234%10) //打印4 完成上述2步，那就完成了1234每⼀位的打印 那么Print(123)⼜可以拆分为Print(123/10) + printf(123%10)
以此类推下去，就有
Print(1234) ==>Print(123) + printf(4) ==>Print(12) + printf(3) ==>Print(1) + printf(2) ==>printf(1)
`直到被打印的数字变成⼀位数的时候，就不需要再拆分，递归结束。
那么代码完成也就⽐较清楚：
void Print(int n) { if(n>9) { Print(n/10); } printf("%d ", n%10); }
int main() { int m = 0; scanf("%d", &m); Print(m); return 0; }
在这个解题的过程中，我们就是使⽤了⼤事化⼩的思路
把Print(1234) 打印1234每⼀位，拆解为⾸先Print(123)打印123的每⼀位，再打印得到的4
把Print(123) 打印123每⼀位，拆解为⾸先Print(12)打印12的每⼀位，再打印得到的3
直到Print打印的是⼀位数，直接打印就⾏。
递归是⼀种很好的编程技巧，但是很多技巧⼀样，也是可能被误⽤的，就像举例1⼀样，看到推导的公
式，很容易就被写成递归的形式：
int Fact(int n) { if(n<=0) return 1; else return n*Fact(n-1); }
Fact函数是可以产⽣正确的结果，但是在递归函数调⽤的过程中涉及⼀些运⾏时的开销。
在C语⾔中每⼀次函数调⽤，都要需要为本次函数调⽤在栈区申请⼀块内存空间来保存函数调⽤期间
的各种局部变量的值，这块空间被称为运⾏时堆栈，或者函数栈帧。
函数不返回，函数对应的栈帧空间就⼀直占⽤，所以如果函数调⽤中存在递归调⽤的话，每⼀次递归
函数调⽤都会开辟属于⾃⼰的栈帧空间，直到函数递归不再继续，开始回归，才逐层释放栈帧空间。
所以如果采⽤函数递归的⽅式完成代码，递归层次太深，就会浪费太多的栈帧空间，也可能引起栈溢
出（stack overflow）的问题。
注：
关于函数栈帧的详细内容，鹏哥录制了视频专⻔讲解的，下课导⼊课程，⾃⾏学习。
所以如果不想使⽤递归就得想其他的办法，通常就是迭代的⽅式（通常就是循环的⽅式）。
⽐如：计算n的阶乘，也是可以产⽣1~n的数字累计乘在⼀起的
```c int Fact(int n) { int i = 0; int ret = 1; for(i=1; i<=n; i++) { ret *= i; } return ret; }
上述代码是能够完成任务，并且效率是⽐递归的⽅式更好的。
事实上，我们看到的许多问题是以递归的形式进⾏解释的，这只是因为它⽐⾮递归的形式更加清晰，
但是这些问题的迭代实现往往⽐递归实现效率更⾼。
当⼀个问题⾮常复杂，难以使⽤迭代的⽅式实现时，此时递归实现的简洁性便可以补偿它所带来的运
⾏时开销。
举例：求第n个斐波那契数
我们也能举出更加极端的例⼦，就像计算第n个斐波那契数，是不适合使⽤递归求解的，但是斐波那契
数的问题通过是使⽤递归的形式描述的，如下：
看到这公式，很容易诱导我们将代码写成递归的形式，如下所⽰：
int Fib(int n) { if(n<=2) return 1; else return Fib(n-1)+Fib(n-2); } 测试代码： #include <stdio.h> int main() { int n = 0; scanf("%d", &n); Fib(n); printf("%d\n", ret); return 0; }
当我们n输⼊为50的时候，需要很⻓时间才能算出结果，这个计算所花费的时间，是我们很难接受的，
这也说明递归的写法是⾮常低效的，那是为什么呢？
其实递归程序会不断的展开，在展开的过程中，我们很容易就能发现，在递归的过程中会有重复计
算，⽽且递归层次越深，冗余计算就会越多。我们可以进行测试
这⾥我们看到了，在计算第40个斐波那契数的时候，使⽤递归⽅式，第3个斐波那契数就被重复计算了
39088169次，这些计算是⾮常冗余的。所以斐波那契数的计算，使⽤递归是⾮常不明智的，我们就得
想迭代的⽅式解决。
我们知道斐波那契数的前2个数都1，然后前2个数相加就是第3个数，那么我们从前往后，从⼩到⼤计
算就⾏了。
这样就有下⾯的代码：
int Fib(int n) { int a = 1; int b = 1; int c = 1; while(n>2) { c = a+b; a = b; b = c; n--; } return c; }
迭代的⽅式去实现这个代码，效率就要⾼出很多了。有时候，递归虽好，但是也会引⼊⼀些问题，所以我们⼀定不要迷恋递归，适可⽽⽌就好。
