一、树的概念
1、树：树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
*有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。
* 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
* 树是递归定义的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。（如下图）
2、树的相关概念：（部分）
*节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：D的为3
* 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：F、G、H、I、J节点为叶节点
*非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：B、C、D、E节点为分支节点
* 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
* 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
* 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟结点
* 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为3
* 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推
* 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
* 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
* 森林 ：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林
3、 树的表示：
既保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
typedef int DataType; struct Node { struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点 struct Node* NextBrother; // 指向其下一个兄弟结点 DataType _data; // 结点中的数据域 };
（中间为数据域，两边为指针域。C表示child, B表示brother）
二、二叉树概念及结构
1、一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合: 1. 或者为空 2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
注：1. 二叉树不存在度大于2的结点 。2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。
2、特殊的二叉树：
* 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^K - 1，则它就是满二叉树。
* 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。 注：满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
3、二叉树的性质：
*若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的 第i层上最多有 2^(i - 1)个结点。
*若规定根节点的层数为1，则 深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h - 1。
* 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为m, 度为2的分支结点个数为n,则有 m = n ＋1
* 若规定根节点的层数为1，具有 n个结点的满二叉树的深度， h = log(n + 1) 注：log是以2为底
4、 二叉树的链式存储结构：二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链。
如图：
用代码表示如下：
typedef int BTDataType; // 二叉链 struct BinaryTreeNode { struct BinTreeNode* left; // 指向当前节点左孩子 struct BinTreeNode* right; // 指向当前节点右孩子 BTDataType data; // 当前节点值域 } // 三叉链 struct BinaryTreeNode { struct BinTreeNode* parent; // 指向当前节点的双亲 struct BinTreeNode* left; // 指向当前节点左孩子 struct BinTreeNode* right; // 指向当前节点右孩子 BTDataType data; // 当前节点值域 }
三、二叉树链式结构的实现
先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于自己现在对二叉树结构掌握还不够深入，所以此处手动快速创建一棵简单的二叉树。
typedef int BTDataType; typedef struct BinaryTreeNode { struct BinaryTreeNode* left; struct BinaryTreeNode* right; BTDataType data; }BTNode; //创建一个节点 BTNode* BuyNode(BTDatatype x) { BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode)); assert(node); node->data = x; node->left = NULL; node->right = NULL; return node; } //创建一棵树 BTNode* CreatBinaryTree() { BTNode* node1 = BuyNode(1); BTNode* node2 = BuyNode(2); BTNode* node3 = BuyNode(3); BTNode* node3 = BuyNode(3); BTNode* node4 = BuyNode(4); BTNode* node5 = BuyNode(5); BTNode* node6 = BuyNode(6); node1->left = node2; node1->right = node4; node2->left = node3; node4->left = node5; node4->right = node6; return node1; }
注：上述代码并不是正确的创建二叉树的方式。
四、二叉树的相关操作实现（均以（三）中创建的二叉树为例）
1、二叉树的遍历：二叉树遍历是按照某种特定的规则，依次对二叉 树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。
* 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)：访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
即：根——左子树——右子树
// 二叉树前序遍历 void PreOrder(BTNode* root) { if(root == NULL) { printf("# "); return; } printf("%d ", root->data); PreOrder(root->left); PreOrder(root->right); }
*中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中。
即：左子树——根——右子树
// 二叉树中序遍历 void InOrder(BTNode* root) { if(root == NULL) { printf("# "); return; } InOrder(root->left) printf("%d ", root->data); InOrder(root->right); }
*后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。
即：左子树——右子树——根
void Postorder(BTNode* root) { if (root == NULL) { printf("# "); return; } Postorder(root->left); Postorder(root->right); printf("%d ", root->data); }
2、求二叉树结点个数：
// 二叉树节点个数 int BinaryTreeSize(BTNode* root) { if(root == NULL) return 0; int left = BinaryTreeSize(root->left); //左子树结点个数 int right = BinaryTreeSize(root->right); //右子树结点个数 return left + right + 1; }
3、求二叉树叶子节点个数：
//叶子节点个数 int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) { if(root == NULL) return 0; if(root->left == NULL && root->right == NULL) return 1; int left = BinaryTreeLeafSize(root->left); //左子树叶子结点个数 int right = BinaryTreeLeafSize(root->right); //右子树叶子结点个数 return left + right; }
4、求二叉树第K层节点个数：递归求子树的第K-1层节点个数，直到k为1
//第K层节点个数:递归求子树的第K-1层节点个数,直到k为1 int BinaryTreeLevelkSize(BTNode* root, int k) { if (root == NULL) return 0; if (k == 1) return 1; int left = BinaryTreeLevelkSize(root->left, k - 1); int right = BinaryTreeLevelkSize(root->right, k - 1); return left + right; }
5、二叉树查找结点值为x的结点
//二叉树查找结点值为x的结点 BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, int x) { if(root == NULL) return NULL; if(root->data == x) return root; return BinaryTreeFind(root->left, x) || BinaryTreeFind(root->right, x); }
6、二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode* root) { if(root == NULL) return; BinaryTreeDestory(root->left); BinaryTreeDestory(root->right); free(root); }
7、求树的深度 ：左子树深度与右子树深度的和
int TreeDepth(BTNode* root) { if(root == NULL) return 0; int leftDepth = TreeDepth(root->left); int rightDepth = TreeDepth(root->right); return leftDepth > rightDepth ? leftDepth + 1 : rightDepth + 1; }
8、层序遍历：层序遍历是指从最上层开始，一层一层的从左到右遍历，而不再是先左后右或先右后左。层序遍历和广度优先搜索的思路比较像。 这里我们就需要一个队列来帮助我们实现这个算法。
基本思路如下图所示 ：如果根不为空，则入队列。然后当队列不为空时，就取出并删除队头数据，打印，并判断其左子树和右子树为不为空，不为空就入队列，如此反复。直至队列为空。
* 我们先简单实现一个队列
typedef int Datatype; typedef struct QueueNode { struct QueueNode* next; Datatype data; }QNode; typedef struct Queue { QNode* head; QNode* tail; }Queue; //初始化 void QueueInit(Queue* pq) { assert(pq); pq->head = pq->tail = NULL; } //销毁 void QueueDestory(Queue* pq) { assert(pq); QNode* cur = pq->head; while (cur) { QNode* next = cur->next; free(cur); cur = next; } pq->head = pq->tail = NULL; } //队尾入队列 void QueuePush(Queue* pq, Datatype x) { assert(pq); QNode* newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode)); if (newnode == NULL) { printf("malloc is fail\n"); exit(-1); } newnode->data = x; newnode->next = NULL; if (pq->tail == NULL) { pq->head = pq->tail = newnode; } else { pq->tail->next = newnode; pq->tail = newnode; } } //队头出队列 void QueuePop(Queue* pq) { assert(pq); assert(pq->head); QNode* cur = pq->head->next; if (cur == NULL) { free(pq->head); pq->head = pq->tail = NULL; } else { free(pq->head); pq->head = cur; } } //取队头数据 Datatype QueueFront(Queue* pq) { assert(pq); assert(pq->head); return pq->head->data; } //取队尾的数据 Datatype QueueBack(Queue* pq) { assert(pq); assert(pq->head); return pq->tail->data; } //计算数据的个数 Datatype Queuesize(Queue* pq) { assert(pq); int size = 0; QNode* cur = pq->head; while (cur) { cur = cur->next; size++; } return size; } //判空 bool QueueEmpty(Queue* pq) { assert(pq); return pq->head == NULL; }
* 接着我们使用队列来实现二叉树的层序遍历
//层序遍历 void levelOrder(BTNode* root) { Queue q;//创建一个队列 QueueInit(&q); if(root) QueuePush(&q, root); while(!QueueEmpty(&q)) { BTNode* cur = QueueFront(&q); printf("%d ", cur->data); QueuePop(&q); if(root->left) QueuePush(&q, root->left); if(root->right) QueuePush(&q, root->right); } printf("\n"); QueueDestory(&q); }
9、判断二叉树是否是完全二叉树（也是使用层序遍历的思想）
//判断一个二叉树是不是完全二叉树 bool BinaryTreeComplete(BTNode* root) { Queue* q; QueueInit(&q); if(root) QueuePush(root); while(!QueueEmpty(&q)) { BTNode* front = QueueFront(&q); QueuePop(&q); //取队头数据，如果队头数据不为空，就将其左子树和右子树入队列 if(front) { QueuePush(front->left); QueuePush(front->right); } //遇到取出的数据为空，就结束层序遍历 else { break; } } //结束上个层序遍历后，我们就开始出队头数据 while(!QueueEmpty(&q)) { BTNode* front = QueueFront(&q); QueuePop(&q); if(front) return false; } //如果最后队列为空出循环了，就说明此树是完全二叉树 return true; QueueDestroy(&q); }
