开始
已多次看到“网络最大流问题”的字眼，一直不知道是什么，后来终于有一次打算仔细了解一下，期间我发现了一篇不错的博客：全面理解网络流中的最大流问题。在这篇博客的帮助下，我成功弄清楚了什么是网络流中的最大流问题，同时也明白了解决这个问题的基本思路。
基本思路：“反悔”机制
（这里不仔细介绍思路了，大家可以先看看前面那篇博客）
在前面提到的博客中，博主认为“借用”这个描述比“反悔”更为合适。然而在阅读的过程中，我反而理解了“反悔”这个概念，同时觉得还挺合适的。下面简单说说自己关于“反悔”的理解。
首先说说为什么会需要“反悔”。举个有点抽象的例子，在某个网络中，A只有一条路可走，B却率先占用了A唯一的路径，然而其实B还有其它空闲的路径可走，以至于网络的运载能力没有被充分利用，不是“最大流”。于是A告诉B：你挡着道了，B听到后就换了一条路走，A便也得以通过。
我们看看下面这个网络（来自前面提到的博客）：
如果选择路径的顺序为：
1、a -> e -> d = 8（有流量8通过这条路径）
2、a -> c = 2
那么从路径b过来的流量就被阻塞了。
而如果我们在通过路径e时，建立一条与通过流量相同的反向边 e’ ，表示走这条路径的选择是可以反悔的，最大可反悔流量为8。那么当流量A通过路径b后，发现了可反悔的路径e，就告诉以占用e的流量B：你挡着道了。于是B的两个流量就从 e’ 返回，然后通过c边到达了终点t。而路径d也腾出了2个流量，A就从原先流量B占用的路径通过。于是有：
3、b -> e’ -> c = 2
得到最大流 8 + 2 + 2 = 12
干活
我对于自己测试代码的能力不太自信，于是从洛谷上找了个题：P3376 【模板】网络最大流
尝试一：深度优先搜索
算法过程采用深度优先搜索，从 源点 开始，到每个点时记录流入该点的流量，然后将这些流量分向其它的点，通过边时就更新边的剩余流量，到达 汇点 时就累加更新最大流。对于有分叉出路的点，通过边的同时建立反向边。
算法过程采用深度优先搜索，从 源点 开始，到每个点时记录流入该点的流量，然后将这些流量分向其它的点，通过边时就更新边的剩余流量，到达 汇点 时就累加更新最大流。对于有分叉出路的点，通过边的同时建立反向边。
于是我遇到了一些问题：
- 不应当在搜索过程中刚经过一条边（一个点）时就更新它的剩余流量，因为实际通过流量会受后面的影响。（从源点到汇点一条路径的流量，由路径上流量最小的边决定）
- 解决方案：在遍历时记录走过的点，在达到汇点时再更新整条路径所有边（点）的剩余流量
结果在部分测试集上超时了。
尝试二：少走弯路
我起初并没有去查找其它的算法，而想自己在原来算法过程的基础上优化试试。于是我作出了一个假设：很多时间浪费在已经不可能的方向上。
于是我尝试引入一种点死亡机制，在搜索过程中，如果从一个点某次没能成功到达汇点，就判定这个点已经寄了，以后再也不走这里了。
但我后面发现了问题：
在搜索过程中判定点的死亡并不合适。因为在搜索时，我并不会再走已经走过的点，而一个被判定为寄了的点，可能经过那些已走过的点是可以达到汇点的。
解决方案（没想出来）：如果不在搜索路径的中途判定，而是单独判断从某个点到汇点是否联通的话，这个判断本身又会消耗太多的时间。
尝试三：最短增广路径，广度优先
我还是决定看看别人的算法，于是我找到了这篇博客：网络最大流算法，并计划使用Edmonds-Karp算法，即每次寻找一条从源点到汇点的最短路径，以此更新边的剩余流量、最大流。
使用广度优先搜索策略可用来寻找最短路径，从源点开始，在搜索的同时，构建出一个层次网络，到达汇点时停止搜索。然后从汇点逆向一直走，就可以得到一条从源点到汇点的路径。（如果想得到最短路径，可以给层次网络中的每个点标上层号）
99%
图中点2没有指向t是因为有一个点到达t时就可以停止搜索了。此时我们从t往回走，总能得到一条s与t之间的路径，它可能是：
t -> 1 -> s
t -> 1 -> 2 -> s
我们发现，在层次网络中往回走的过程中，每一步要么使所在层数降低，要么层数不变，但层次不会增大。（而如果你给每一点标记了层号，就可以限制每次都是向上一层走）残量网络：原来的网络，每次找到路径后会更新网络中每条边的剩余流量，故称为残量网络。
相比深度优先搜索：即使你不要求最短路径，也总能以不太大的代价找到一条路径，而不会陷入局部的泥沼。
还是没ac
在自己对代码测试一番后，就觉得可以了，然而还是有三个测试点没过。测试数据下载下来发现是200个点，5000条边（数据中有重复的边）的那种，调试感觉无从下手，我至今没有找到问题出在哪。
记两个小bug
1. 数组越界
忘记使用数组下标是从1开始的了，因此数组大小应定义为nNum+1。
2. 写错变量名
不是第一次，也不是第n次，是第n+1次了。初始化列表中应为t(_t)。
小结
在这个问题上花了好多时间，还是没得到一个好的结果。有时会有些后悔感，感觉那些时间花得不值得。我总喜欢了解一下算法大体思路后就自己去琢磨具体的细节和实现，而不愿意去阅读别人的源代码，好几次一个题的bug找很久。有时bug是思路上的，有时是写代码太粗心导致的错误。但是这样太花时间了。最近从其它方面得到一些感受，多观察是有益的。
最后一个版本的代码（C++）
定义类与函数
#include<iostream> #include<cstdio> #include<climits> #include<cstdlib> #include<queue> using namespace std; const int Len = 201; class Net { public: int net[Len][Len]; int *road; int iR; long long sum; int nNum; int s; int t; Net(int _nNum, int _s, int _t); void findRoad(); void upNet(); void forward(); }; //--------------------------- Net::Net(int _nNum, int _s, int _t) :net{} ,nNum(_nNum) ,s(_s) ,t(_t) { iR = 0; sum = 0; road = new int[nNum]{}; } //--------------------------- void Net::findRoad() { iR = 0; int net2[Len][Len]{};//层次网络 bool pass[nNum + 1]{};//走过为true queue<int> q;//辅助层次网络构建 q.push(s); //pass[s] = 1; //构建层次网络 while(1){ int front = q.front(); if(pass[front] == 1){ q.pop(); // 可能越界 if(q.empty()){ return; } front = q.front(); } pass[front] = 1; q.pop(); bool flag = 0; for(int i = 1; i <= nNum; i++){ if(net[front][i] > 0 && pass[i] == 0){ net2[front][i] = net[front][i]; q.push(i); if(i == t){ goto ROAD; } flag = 1; } } if(flag == 0 && q.empty() == true){ break; } } //得到从源点到汇点的路径 ROAD: for(int i = 1, now = t; i <= nNum; i++){ if(net2[i][now] > 0){ road[iR++] = now; if(i == s){ road[iR++] = i; break; } now = i; i = 0; } } } //--------------------------- void Net::upNet() { //1.找road最小值，更新最大流 int min(INT_MAX); for(int i = 0; i <= iR - 2; i++){ if(net[road[i + 1]][road[i]] < min){ min = net[road[i + 1]][road[i]]; } } sum += min; //2.更新net残量，建立反向边 for(int i = 0; i <= iR - 2; i++){ net[road[i + 1]][road[i]] -= min; net[road[i]][road[i + 1]] += min; } } //--------------------------- void Net::forward() { findRoad(); while(iR > 0){ upNet(); findRoad(); } }
主函数
int main(){ int n = 2; int m = 1; int s = 1; int t = 2; cin >> n >> m >> s >> t; Net netWork(n, s, t); for(int i = 1; i <= m; i++){ int a = 0, b = 0, w = 0; cin >> a >> b >> w; netWork.net[a][b] = w; } netWork.forward(); printf("%lld", netWork.sum); return 0; }
类与函数的调试版本
IDLE的调试工具我用得不多，比较习惯于通过输出中间结果进行debug，这里记录了含输出点的代码。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<climits> #include<cstdlib> #include<queue> using namespace std; const int Len = 201; class Net { public: int net[Len][Len]; int *road; int iR; long long sum; int nNum; int s; int t; Net(int _nNum, int _s, int _t); void findRoad(); void upNet(); void forward(); }; //--------------------------- Net::Net(int _nNum, int _s, int _t) :net{} ,nNum(_nNum) ,s(_s) ,t(_t) { iR = 0; sum = 0; road = new int[nNum]{}; } //--------------------------- void Net::findRoad() { iR = 0; int net2[Len][Len]{};//层次网络 bool pass[nNum + 1]{};//走过为true queue<int> q;//辅助层次网络构建 q.push(s); //pass[s] = 1; //构建层次网络 while(1){ int front = q.front(); if(pass[front] == 1){ // test pop 已过点 // printf("pop %d\n", front); //---------------------------end q.pop(); // 可能越界 if(q.empty()){ return; } front = q.front(); } pass[front] = 1; //test pop // printf("pop %4d\n", front); //--------------------end q.pop(); bool flag = 0; for(int i = 1; i <= nNum; i++){ if(net[front][i] > 0 && pass[i] == 0){ net2[front][i] = net[front][i]; //pass[i] = 1; //改在出队时进行 //test push // printf("push %4d\n", i); //--------------------end q.push(i); if(i == t){ goto ROAD; } flag = 1; } } if(flag == 0 && q.empty() == true){ break; } } ROAD: for(int i = 1, now = t; i <= nNum; i++){ //printf("ROAD i:%4d, now:%4d, e:%4d\n", i, now, net[i][now]); if(net2[i][now] > 0){ road[iR++] = now; //test ROAD // printf("road:"); // for(int i = iR - 1; i >= 0; i--){ // printf("%4d", road[i]); // } // printf("\n"); //--------------------end if(i == s){ //test t to road //printf("to ROAD\n"); //------------------end road[iR++] = i; break; } now = i; i = 0; } } //test 层次网络 // printf("层次网络：\n"); // for(int i = 1; i <= nNum; i++){ // for(int j = 1; j <= nNum; j++){ // printf("%4d", net2[i][j]); // } // printf("\n"); // } //--------------------end //test ROAD // printf("road:"); // for(int i = iR - 1; i >= 0; i--){ // printf("%4d", road[i]); // } // printf("\n"); //------------------end } //--------------------------- void Net::upNet() { //1.找road最小值，更新最大流 int min(INT_MAX); for(int i = 0; i <= iR - 2; i++){ if(net[road[i + 1]][road[i]] < min){ min = net[road[i + 1]][road[i]]; } } sum += min; //test min and sum // printf("min:%d\n", min); // printf("sum:%lld\n", sum); //---------------------------end //2.更新net残量，建立反向边 for(int i = 0; i <= iR - 2; i++){ net[road[i + 1]][road[i]] -= min; net[road[i]][road[i + 1]] += min; } //test 残量 // printf("残量网络：\n"); // for(int i = 1; i <= nNum; i++){ // for(int j = 1; j <= nNum; j++){ // printf("%4d", net[i][j]); // } // printf("\n"); // } //---------------------------end } //--------------------------- void Net::forward() { findRoad(); //test iR // printf("iR:%4d\n", iR); //---------------------------end while(iR > 0){ upNet(); findRoad(); //test iR // printf("iR:%4d\n", iR); //---------------------------end } }
