数据包络分析（DEA）——BCC模型

写在前面：

博主本人大学期间参加数学建模竞赛十多余次，获奖等级均在二等奖以上。为了让更多学生在数学建模这条路上少走弯路，故将数学建模常用数学模型算法汇聚于此专栏，希望能够对要参加数学建模比赛的同学们有所帮助。

1. 引言

  关于数据包络分析法的CCR模型已经在上文中进行了介绍，CCR模型是规模收益不变(CRS)假设下的径向EDA模型，即模型中的λ \lambdaλ满足λ ⩾ 0 \lambda \geqslant 0λ⩾0，具体的模型原理可参阅链接: 数据包络分析——CCR模型。

  但是在实际生产过程中，生产技术的规模收益并非CRS，若采用CRS假设，得出的技术效率并非完全是纯技术效率，而是包含了规模效率成分的综合效率。

一般来说，生产技术的规模收益要先后经历规模收益递增（IRS）、规模收益不变（CRS）、规模收益递减（DRS）三个阶段。如果无法确定研究样本处于哪个阶段，那么评价技术效率是应该选择可变规模收益（VRS）模型，即模型中的λ \lambdaλ满足∑ λ = 1 \sum \lambda=1∑λ=1。此时VRS模型得出的技术效率就是纯技术效率。

2. 模型建立

  BCC模型即规模收益可变(VRS)假设下的径向DEA模型。它与CCR模型的区别就是增加了等式约束∑ λ = 1 \sum \lambda=1∑λ=1。

  投入导向的BCC对偶模型：

min ⁡ θ \min \thetaminθs . t . { ∑ i = 1 n λ i x i j ⩽ θ x i j ∑ i = 1 n λ i y i r ⩾ y k r ∑ i = 1 n λ i = 1 λ i ⩾ 0 , j = 1 , ⋯   , m ; r = 1 , ⋯   , 3 q s.t.\left\{\begin{array}{c}\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i j} \leqslant \theta x_{i j} \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} y_{i r} \geqslant y_{k r} \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=1 \\ \lambda_{i} \geqslant 0, j=1, \cdots, m ; r=1, \cdots, 3 q\end{array}\right.s.t.⎩⎨⎧∑i=1nλixij⩽θxij∑i=1nλiyir⩾ykr∑i=1nλi=1λi⩾0,j=1,⋯,m;r=1,⋯,3q

其中，k = 1 , ⋯   , n k=1, \cdots, nk=1,⋯,n。

  产出导向的BCC对偶模型：

max ⁡ ϕ \max \phimaxϕs . t . { ∑ i = 1 n λ i x i j ⩽ x i j ∑ i = 1 n λ i y i r ⩾ ϕ y k r ∑ i = 1 n λ i = 1 λ i ⩾ 0 , j = 1 , ⋯   , m ; r = 1 , ⋯   , 3 q s.t.\left\{\begin{array}{c}\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i j} \leqslant x_{i j} \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} y_{i r} \geqslant \phi y_{k r} \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=1 \\ \lambda_{i} \geqslant 0, j=1, \cdots, m ; r=1, \cdots, 3 q\end{array}\right.s.t.⎩⎨⎧∑i=1nλixij⩽xij∑i=1nλiyir⩾ϕykr∑i=1nλi=1λi⩾0,j=1,⋯,m;r=1,⋯,3q其中，k = 1 , ⋯   , n k=1, \cdots, nk=1,⋯,n。

3. 模型求解

还是以下面这个问题为例：

  某市教委需要对六所重点中学进行评价，其相应的指标如表所示。表中的生均投入和非低收入家庭百分比是输入指标，生均写作得分和生均科技得分是输出指标。请根据这些指标，评价哪些学校是相对有效的。

根据上述建立的模型，编写投入导向的BCC模型的MATLAB程序如下:

%投入导向BCC
w=[];
for i=1:n
    f=[zeros(1,n) 1];
    A=[X -X(:,i); -Y zeros(q,1)];
    b=[zeros(1,m) -Y(:,i)']';
    Aeq=[ones(1,n) 0];
    beq=1;
    LB=[zeros(n+1,1)];
    UB=[];
    w(:,i)=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB);
end
BCC_IN=w(n+1,:)'

  得到的结果为：1，0.9804，1，0.9395，1，1

产出导向的BCC模型的MATLAB程序如下:

%产出导向BCC
w=[];
for i=1:n
    f=[zeros(1,n) -1];
    A=[X zeros(m,1); -Y Y(:,i)];
    b=[X(:,i)' zeros(1,q)]';
    Aeq=[ones(1,n) 0];
    beq=1;
    LB=[zeros(n+1,1)];
    UB=[];
    w(:,i)=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB);
end
BCC_OUT=1./w(n+1,:)'

  得到的结果为：1，0.9948，1，0.9466，1，1

  观察投入导向的BCC模型和产出导向的BCC模型结果可以发现，学校A、C、E、F这几个学校的投入产出是比较有效的。