引言

在之前的章节中，我们已经详细介绍了计算机硬件的组成部分，包括中央处理器（CPU）、内存、磁盘和总线等。因此，从今天开始，我们将深入探讨计算机内部的工作原理。首先，我们将从二进制这个简单而重要的概念开始讲解，因为计算机底层只能使用二进制来表示和处理信息。

二进制

我们都知道，计算机的底层使用二进制数据进行数据流传输。那么，为什么计算机要使用二进制表示呢？又什么是二进制数呢？更进一步地，我们如何使用二进制进行加减乘除运算呢？接下来，我们将一一解答这些问题。

什么是二进制数

那么，什么是二进制数呢？为了详细说明这个问题，我们先将一个二进制数 00100111 转换为十进制数进行观察。将二进制数转换为十进制数的方法是，直接将各个位置上的值乘以相应的位权，然后相加得到结果。那么，让我们来将上述的二进制数转换为十进制数。

根据转换规则，将二进制数 00100111 转换为十进制数，结果为 39。这里的 39 不是由数字 3 和 9 连在一起写成的，而是由 3 乘以位权 10 和 9 乘以位权 1 相加得到的。而这些位权，从高位到低位依次为 7、6、5、4、3、2、1、0。这些位权也可以被称为次幂，例如最高位的位权就是 2 的 7 次幂，第二位的位权就是 2 的 6 次幂，以此类推。

在二进制数的运算中，每次运算都是以基数 2 作为底数。而十进制数的基数则是 10。在任何情况下，位权的值都是数的位数减去 1。因此，第一位的位权为 1 - 1 = 0，第二位的位权为 2 - 1 = 1，以此类推。

移位运算和乘除的关系

在我们了解了二进制数之后，接下来让我们来探讨一下二进制数的运算。和十进制数一样，二进制数也可以进行加减乘除运算，只需要注意到逢二进位即可。二进制数的运算是计算机程序中的基础运算，因此了解二进制的运算是至关重要的。

首先，让我们来介绍一下移位运算。移位运算是指将二进制数的各个位置上的元素进行左移和右移操作。具体的操作可以参考下图：

移位运算在计算机中被广泛应用，可以用于快速进行乘以或除以2的幂次的运算。同时，移位运算也可以用来提取或插入二进制数中的特定位。

除了移位运算，还有其他的二进制运算，如按位与、按位或、按位异或等。这些运算可以用于处理和操作二进制数据，在计算机科学中有着重要的应用。

补数

刚才我们没有介绍右移的情况，是因为右移之后空出来的高位数值有两种形式：0和1。为了区分补0和补1的情况，我们需要了解二进制数表示负数的方法。

一般来说，二进制数中用最高位作为符号位来表示负数。符号位为0表示正数，为1表示负数。那么如何用二进制数表示-1呢？很多人可能会认为，因为1的二进制是0000 0001，最高位是符号位，所以-1应该表示为1000 0001。但是这个答案是否正确呢？

实际上，计算机中没有减法运算，计算机在做减法时实际上是通过加法来实现的，即用加法来表示减法运算。例如100-60，在计算机中实际上看作是100+(-60)。为了表示负数，我们需要使用二进制补码，即用正数表示负数。

为了得到补码，我们需要将二进制的各位数值全部取反，然后再加1。记住这个结论因为他适用于所有负数，下面我们来演示一下。

具体来说，要获取某个数值的二进制补码，需要先获取该数值的二进制表示，然后对每一位进行取反操作（0变为1，1变为0），最后再将取反后的数值加1，这样就得到了补码。

尽管补码的获取可能在直观上不容易理解，但在逻辑上是非常严谨的。举个例子，我们来看一下1-1的过程。我们先用上面提到的1000 0001（我们假设它是1的补码，如果不了解，请参考前文，先不管补码是否是对的）来表示一下。

奇怪，1 - 1 为什么会变成 130 而不是 0？这个结果看起来很奇怪，我们来分析一下。

对于正数 1，它的二进制表示是 0000 0001。现在我们将其转成补码。首先取反各位得到 1111 1110，然后加1，得到补码 1111 1111，即 -1 的补码表示。

接下来，我们来验证一下 -1 的补码表示是否正确。

我们可以观察到，1 - 1 实际上是 1 + (-1) 的运算。对于 -1，我们可以使用上面提到的方法来求其补码表示。通过取反 + 1 的过程，我们得到了补码 1111 1111。然后，将补码 1111 1111 与 1 进行加法运算。

在加法运算中，我们会得到一个九位的结果 1 0000 0000。然而，在计算机中，发生了溢出的情况下，会直接忽略掉溢出位，即最高位的 1。因此，结果变为 0000 0000，即 0。所以，我们得出的结果是正确的，1111 1111 表示的是 -1。

综上所述，负数的二进制表示是通过先求其补数，即对原始数值的二进制数各位取反，然后将结果加1。这样可以得到正确的负数的二进制表示。

算数右移和逻辑右移的区别

在了解了补数的概念之后，我们需要重新考虑一下右移这个问题。右移操作会导致最高位出现两种情况，即0和1。

当我们将二进制数作为带符号的数值进行右移运算时，移位后需要在最高位填充移位前的符号位的值（0或1）。这种右移方式被称为算术右移。如果数值是负数且使用补码表示，那么右移后需要在最高位补1，这样才能正确地表示数值的1/2、1/4、1/8等运算结果。而如果是正数，则直接在最高位补0即可。

下面我们来看一个右移的例子，将-4右移两位，大家可以参考移位示意图来理解。

根据上图所示，当进行逻辑右移操作时，-4右移两位会变成63，显然这不是它的1/4，因此逻辑右移不适用于这种情况。而在算数右移的情况下，-4右移两位会变为-1，显然这是它的1/4，所以我们选择采用算数右移。

因此，我们可以得出一个结论：在左移操作中，无论是正数还是负数，只需要将低位补0即可；而在右移操作中，需要根据具体情况判断是应该进行逻辑右移还是算数右移。

现在我要介绍一下符号扩展的概念。符号扩展是为了在保持数值不变的前提下，增加数据的位数，以满足某些指令对操作数位数的要求。它可以用于使被除数比除数位数更长，或者用于增加数据位数以减少计算过程中的误差。

以8位二进制数为例，符号扩展的目标是将其转换为16位或32位二进制数，而保持数值不变。对于一个8位正数二进制数0111 1111，很容易得到正确的16位结果0000 0000 0111 1111。但对于一个用补码表示的负数，比如补码1111 1111，我们该如何处理呢？我们只需要直接将其表示为16位二进制数1111 1111 1111 1111。换句话说，无论是正数还是补码表示的负数，只需要在高位填充0或1即可。

总结

通过本文的学习，我们深入了解了计算机内部工作原理中的二进制数、移位运算、补数表示、算术右移和逻辑右移等重要概念。我们了解到计算机底层使用二进制来表示和处理信息的原因，并学习了二进制数的转换方法和位权的概念。我们还探讨了移位运算和二进制数的运算，并介绍了移位运算在计算机中的应用。此外，我们学习了二进制补数的概念和计算方法，以及符号扩展的原理和应用。最后，我们讨论了算术右移和逻辑右移的区别，并总结了在左移和右移操作中应该采用的补位方法。通过本文的学习，我们对计算机内部工作原理有了更深入的了解，为进一步学习和研究计算机科学打下了坚实的基础。