本文涉及的基础知识点
C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频
动态规划，日后完成。
题目
给定三个整数 n、m 和 k 。考虑使用下图描述的算法找出正整数数组中最大的元素。
请你构建一个具有以下属性的数组 arr ：
arr 中包含确切的 n 个整数。
1 <= arr[i] <= m 其中 (0 <= i < n) 。
将上面提到的算法应用于 arr 之后，search_cost 的值等于 k 。
返回在满足上述条件的情况下构建数组 arr 的 方法数量 ，由于答案可能会很大，所以 必须 对 10^9 + 7 取余。
示例 1：
输入：n = 2, m = 3, k = 1
输出：6
解释：可能的数组分别为 [1, 1], [2, 1], [2, 2], [3, 1], [3, 2] [3, 3]
示例 2：
输入：n = 5, m = 2, k = 3
输出：0
解释：没有数组可以满足上述条件
示例 3：
输入：n = 9, m = 1, k = 1
输出：1
解释：唯一可能的数组是 [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
提示：
1 <= n <= 50
1 <= m <= 100
0 <= k <= n
暴力解法
分析
时间复杂度O(nmk*m)。第一层循环，枚举res[i]，时间复杂度O(n)。第二层第三层循环状态,最大值和search_cost的值。第四层循环，当前值。
核心代码
emplate class C1097Int { public: C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD) { } C1097Int operator+(const C1097Int& o)const { return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD); } C1097Int& operator+=(const C1097Int& o) { m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD; return this; } C1097Int& operator-=(const C1097Int& o) { m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD; return this; } C1097Int operator-(const C1097Int& o) { return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD); } C1097Int operator(const C1097Int& o)const { return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD; } C1097Int& operator=(const C1097Int& o) { m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD; return *this; } bool operator<(const C1097Int& o)const { return m_iData < o.m_iData; } C1097Int pow(long long n)const { C1097Int iRet = 1, iCur = *this; while (n) { if (n & 1) { iRet *= iCur; } iCur *= iCur; n >>= 1; } return iRet; } C1097Int PowNegative1()const { return pow(MOD - 2); } int ToInt()const { return m_iData; } private: int m_iData = 0;; }; template int operator+(int iData, const C1097Int& int1097) { int iRet = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt(); return iRet; } template int& operator+=(int& iData, const C1097Int& int1097) { iData = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt(); return iData; } template int operator*(int iData, const C1097Int& int1097) { int iRet = int1097.operator*(C1097Int<>(iData)).ToInt(); return iRet; } template int& operator*=(int& iData, const C1097Int& int1097) { iData = int1097.operator*(C1097Int<>(iData)).ToInt(); return iData; } class Solution { public: int numOfArrays(int n, int m, int k) { vector<vector<C1097Int<>>> pre(k + 1, vector<C1097Int<>>(m+1));//pre[k][j]表示res[0,i)的 最大值为j且search_cost 为k的数量 pre[0][0] = 1; for (int i = 0; i < n; i++) { vector<vector<C1097Int<>>> dp(k + 1, vector<C1097Int<>>(m + 1)); for (int preMax = 0; preMax <= m; preMax++) { for (int preK = 0; preK <= k; preK++) { for (int cur = 1; cur <= m; cur++) { const int iNewK = (cur <= preMax) ? preK : preK + 1; if (iNewK > k) { continue; } dp[iNewK][max(cur, preMax)] += pre[preK][preMax]; } } } pre.swap(dp); } auto bi = std::accumulate(pre[k].begin(), pre[k].end(), C1097Int<>()); return bi.ToInt(); } };
测试用例
template void Assert(const vector& v1, const vector& v2) { if (v1.size() != v2.size()) { assert(false); return; } for (int i = 0; i < v1.size(); i++) { assert(v1[i] == v2[i]); } } template void Assert(const T& t1, const T& t2) { assert(t1 == t2); } int main() { int res = Solution().numOfArrays(2,3,1); Assert(6, res); res = Solution().numOfArrays(20, 30, 5); Assert(266034711, res); res = Solution().numOfArrays(30, 20, 4); Assert(835697098, res); //CConsole::Out(res); }
前缀和优化
分析
dp[curK][curMax]的来源有两种 ，见下表
| preMax < curMax | k加1 | pre[curK-1][0,curMax) 之和，前缀和。 |
| preMax >= curMax | k不变 | cur取[1,curMax]都是pre[curK][curMax]，故pre[curK][curMax]*curMax。 |
代码
class Solution { public: int numOfArrays(int n, int m, int k) { vector<vector<C1097Int<>>> pre(k + 1, vector<C1097Int<>>(m+1));//pre[k][j]表示res[0,i)的 最大值为j且search_cost 为k的数量 pre[0][0] = 1; for (int i = 0; i < n; i++) { vector<vector<C1097Int<>>> dp(k + 1, vector<C1097Int<>>(m + 1)); for (int curK = 1; curK <= k; curK++) { C1097Int<> bi = 0; for (int curMax = 1; curMax <= m; curMax++) { //preMax < curMax bi += pre[curK-1][curMax - 1]; dp[curK][curMax] = bi; // dp[curK][curMax] += pre[curK][curMax] * (curMax); } } pre.swap(dp); } auto bi = std::accumulate(pre[k].begin(), pre[k].end(), C1097Int<>()); return bi.ToInt(); } };
扩展阅读
视频课程
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https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快
速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
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相关下载
想高屋建瓴的学习算法，请下载《闻缺陷则喜算法册》doc版
https://download.csdn.net/download/he_zhidan/88348653
| 鄙人想对大家说的话 |
| 闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。 |
| 墨家名称的来源：有所得以墨记之。 |
| 如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛 |
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境：
VS2022 C++17
