数学建模——确定性时间序列分析方法（一）

介绍

  将预测对象按照时间顺序排成一组序列，称为时间序列。从时间序列过去的变化规律，推断今后变化的可能性及变化趋势、变化规律，这就是时间序列预测法。

  时间序列模型，其实也是一种回归模型。其基本原理是，一方面承认事物发展的延续性，运用过去时间序列进行统计分析就能推断事物发展趋势；另一方面又充分考虑到偶然因素影响产生的随机性，为了消除随机波动的影响，利用历史数据，进行统计分析，并对数据做适当的处理，进行趋势预测。

• 优点：简单易行，便于掌握，能重复利用时间序列各项数据，计算速度快，对模型参数动有态确定能力，精度较好。
• 缺点 ： 不能反映事物内在联系，不能分析两个因素的相关关系，只适合作短期预测。

确定性时间序列分析方法

1、时间序列的常见趋势

（1）长期趋势

时间序列朝着一定的方向持续上升或下降或留在某个水平的倾向。它反映了客观事物主要变化趋势，记为Tt；

（2）季节变动

序列按时间呈现短周期变化的规律，记为St；

（3）循环变动

通常是周期为一年以上的，由非季节因素一起的起伏波相似的波动，记为Ct；

（4）不规则变动

通常分为突然变动和随机扰动（变动），记为Rt。

常见的时间序列模型有以下几类

• 加法模型   yt=Tt+St+Ct+Rt；（常用）
• 乘法模型   yt=Tt×St×Ct×Rt；
• 混合模型   yt=Tt×St+Rt；yt=St+Tt×Ct×Rt；

其中，yt为观测值，随机变动Rt满足

如果在预测时间范围内，无突然变动或者随机波动的方差σ2较小，并且有理由认为现在的演变趋势将持续发展到未来，可用一些经验方法进行预测。

2、时间序列预测的具体方法

2.1 移动平均法

设观测时间序列为y1,y2,…,yT。

一次移动平均值计算公式：

二次移动平均值计算公式：

这里N<T,一般5≤N≤200.

（1）当预测目标的基本趋势在某一水平上下波动时，采用一次移动平均方法计算预测，即

（2）当预测目标的基本趋势与某一直线相吻合时，采用二次移动平均法.

以上预测标准误差为

一般来说，N取多少为好，S越小越好。如果数据自带周期，N最好取周期值。

案例1

某企业1-11月的销售收入时间序列如表1所列，试用一次移动平均法预测12月的销售收入。

表1 1-11月销售收入记录

【符号说明】

• t  时间变量t=1,2,…,11
• yt 销售量记录值
• n  移动平均项数
• Mt 一次移动平均值,t=n,n+1,…,11
• y(1) 预测值，t=5,6,…,12

【预测模型】

一次移动平均预测模型为：

针对n=3，4，5，都做一次移动平均预测，将计算结果和误差都反映在表2.

先编写一个时间序列为yt,移动平均项n的预测与误差的程序yd1.m，再调用此函数计算不同n值的预测与误差，存放在表2进行对比

表2 n分别取3,4,5的预测对比

function [M1,s]=yd1(yt,n)
t=length(yt);
yt1=[];
for k=n:t
    yr=yt(k-n+1:k);
    yr1=mean(yr);
    yt1=[yt1,yr1];
end
M1=[zeros(1,n-1),yt1];
yt21=yt(n+1:t);
yt22=M1(n+1:t);
yts=yt22-yt21;
s=(sum(yts.^2)/(t-n))^0.5;

yt=[533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7];
n=5;
[m1,s1]=yd1(yt,3);
[m2,s2]=yd1(yt,4);
[m3,s3]=yd1(yt,5);
S=[0,s1,s2,s3];
Y=[yt;m1;m2;m3];
B=[Y,S'];
xlswrite('d:\yidong1.xlsx',B);

由表2可见，n=3比n=4预测效果好，n=4比n=5预测效果好。用n=3的计算作预测，12月份销售量为1027.23.

2.2 一次指数平滑预测法

（1）预测模型

设时间序列为y1,y2,…,yt,…，α为加权系数，0<α<1，一次指数平滑公式为

预测模型为

（2）加权系数的选择

（1）如果时间序列波动不大，比较平稳，则α取小一点，0.1-0.5，减小修正幅度，使预测模型包含较长的序列信息；

（2）如果序列具有迅速增加的变动趋势，α取大一点，0.6-0.8，使得预测模型灵敏度高一些，以便迅速跟上数据的变化。

（3）初始值的确定

一般选取最初几期实际值的平均值作为初始值。

案例2

就案例1中问题，用指数平滑预测法预测12月销售量。

就α=0.2,0.5,0.8分别作一次指数平滑预测，初始值为

即

按照预测模型 计算不同α预测结果与误差，计入表3，进行对比做出决策。

function [s1,s]=expph1(yt,a)
n=length(yt);
s1(1)=mean(yt(1:2));
for k=2:n
    s1(k)=a*yt(k)+(1-a)*s1(k-1);
end
y11=s1-yt;
s=std(y11);

yt=[533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7];
[m1,s1]=expph1(yt,0.2);
[m2,s2]=expph1(yt,0.5);
[m3,s3]=expph1(yt,0.8);
s=[0,s1,s2,s3];
m=[yt;m1;m2;m3];
B=[m,s'];
xlswrite('d:\yd1.xlsx',B);

表3 不同权系数的指数平滑预测及其标准误差

由表3可以看出，α=0.8误差最小，选择系数α=0.8进行预测，12月份的销售量为

                                                 图2  预测值与实际值对比

从表2、表3和图2可以看出，预测值总是滞后于实际值。原因就是数据不满足模型要求（平稳型）。