实验1-误差传播与算法稳定性
问题提出
考虑一个简单的由积分定义的序列
实验内容
由递推关系式（2）可以得到积分序列
的两种算法。
实验要求
从程序观察两种算法的稳定性，再从理论验证。
程序
function f2 %编写算法1和算法2的运行程序，得出序列值和误差 %绘图比较两种算法 Step=str2num(char(inputdlg('输入迭代步数n，要求n大于等于1','步数'))); if Step<1 errordlg('输入迭代步数n，要求n大于等于1'); return end Sd=str2num(char(inputdlg('输入有效数字','有效数字'))); format long; %用库函数integral计算 for n=1:Step fun=@(x)x.^n.*exp(x-1); func(n)=integral(fun,0,1); end %算法一 digits(Sd); func1(1)=vpa(1/exp(1)); for n=2:Step func1(n)=vpa(1-n*func1(n-1)); end err1=abs(func1-func); %算法二 digits(Sd); func2(Step)=0; for n=Step:-1:2 func2(n-1)=vpa((1-func2(n)/n)); end err2=abs(func2-func); clf subplot(1,2,1) plot([1:Step],func,'b-'); hold on plot([1:Step],func1,'g-'); grid on hold on plot([1:Step],func2,'r--'); xlabel('n');ylabel('En'); text(2,func1(2),'func1');text(4,func2(4),'func2');text(1,func2(1),'func'); subplot(1,2,2) plot([1:Step],err1,'-'); grid on hold on plot([1:Step],err2,'r--'); text(2,err1(2),'err1');text(4,err2(4),'err2'); xlabel('n');ylabel('Err');
运行程序
当迭代步数为10，有效数字为7时
当迭代步数为50，有效数字为7时
可见，迭代次数比较小时，算法一的误差波动比较大。当迭代次数比较大时，算法一的误差会越大。相比下，算法二更为稳定。
理论
明显可见，当n越大，算法一的误差越大，而相反算法二的误差越小。
实验2-多项式插值的震荡和样条插值的收敛
问题提出
考虑在一个固定区间上用插值逼近一个函数，显然Lagrange插值中使用的节点越多，插值多项式的次数越高。那么，当插值多项式的次数增加时，插值多项式是否也更加逼近函数呢？下面给出一个例子模拟Runge震荡现象。同时也对比样条插值的收敛情况。
实验内容
设区间[-5,5]上函数
在区间上做等距划分，分点为
则拉格朗日多项式为
实验要求
（1）选择不断增大的分点数数目，画出原函数f ( x )，插值多项式函数
及3次样条插值函数在[-5,5]上的图像
（2）选择其他函数，例如定义在区间[-5,5]上的函数
（3）样条插值最早产生于工业部门，考虑如下问题，某汽车制造商用3次样条插值设计车门的曲线，其中一段的数据如下所示
程序
（1）
function f2 %选择不同的函数和多项式次数，输出原函数、拉格朗日插值函数和三次样条插值函数的图像。 n=str2num(char(inputdlg('输入插值多项式的次数N:'))); Nb=char(inputdlg('请选择函数，f(x)、g(x)、h(x)分别对应f、g、h')); switch Nb case 'f' func=@(x)1./(1+25*x.^2); case 'h' func=@(x)x./(1+x.^4); case 'g' func=@(x)atan(x); end if n<1 errordlg('插值多项式的次数输入错误'); return; end x0=linspace(-5,5,n+1); y0=feval(func,x0); x=-5:0.1:5; %拉格朗日插值 Lg=lagrange(x0,y0,x); %样条插值插值 Sp=interp1(x0,y0,x,'spline'); %作图 clf; subplot(1,2,1); fplot(func,[-5,5],'r-'); hold on; plot(x,Lg,'b--'); xlabel('x');ylabel('y');title('拉格朗日插值'); subplot(1,2,2); fplot(func,[-5,5],'r-'); hold on; plot(x,Sp,'b--'); xlabel('x');ylabel('y');title('样条插值'); function Lg=lagrange(x0,y0,x) %x0为节点的x坐标 %y0为节点的y坐标 %x为插值点的x坐标 if (nargin==3)%当输入参数为3个时，输出对应的插值 n=length(x0); m=length(x); for i=1:m l=0; for k=1:n s=1; for j=1:n if k~=j s=s*(x(i)-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end l=l+s*y0(k); end Lg(i)=l; end elseif (nargin==2)%当输入参数为2个时，输出插值多项式 syms x; n=length(x0); l=0; for k=1:n s=1; for j=1:n if k~=j s=s*(x-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end Lg=l+s*y0(k); Lg=collect(Lg); Lg = vpa(Lg,6); end end
（2）
x0=0:10; y0=[0.8,0.0,0.79,1.53,2.19,2.71,3.03,3.27,2.89,3.06,3.19,3.29,0.2]; x=0:0.1:10; cs=spline(x0,y0);%当端点斜率已知时，可以用两个额外元素指定值向量 y（一个元素在起点，一个元素在终点）以定义端点斜率。 y=ppval(cs,x);%ppval计算在插值区间中各点上的样条拟合。 plot(x,y)
运行程序
（1）选择函数f(x)
显然可见，当多项式次数越高，拉格朗日插值函数在区间两段发生明显的偏离，而使用三次样条插值函数则会无限逼近原函数。
（2）
总结
提示：这里对文章进行总结：
例如：以上就是今天要讲的内容，本文仅仅简单介绍了pandas的使用，而pandas提供了大量能使我们快速便捷地处理数据的函数和方法。
