SVM概述
支持向量机的目标是拟合获得最大边缘的超平面(两个类中最近点的距离)。可以直观地表明，这样的超平面(A)比没有最大化边际的超平面(B)具有更好的泛化特性和对噪声的鲁棒性。
为了实现这一点，SVM通过求解以下优化问题找到超平面的W和b:
它试图找到W,b，使最近点的距离最大化，并正确分类所有内容(如y取±1的约束)。这可以被证明相当于以下优化问题:
可以写出等价的对偶优化问题
这个问题的解决方案产生了一个拉格朗日乘数，我们假设数据集中的每个点的大小为m:(α 1， α 2，…，α _n)。目标函数在α中明显是二次的，约束是线性的，这意味着它可以很容易地用二次规划求解。一旦找到解，由对偶的推导可知:
注意，只有具有α>0的点才定义超平面(对和有贡献)。这些被称为支持向量。因此当给定一个新例子x时，返回其预测y=±1的预测方程为:
这种支持向量机的基本形式被称为硬边界支持向量机（hard margin SVM），因为它解决的优化问题(如上所述)强制要求训练中的所有点必须被正确分类。但在实际场景中，可能存在一些噪声，阻止或限制了完美分离数据的超平面，在这种情况下，优化问题将不返回或返回一个糟糕的解决方案。
软边界支持向量机（soft margin SVM）通过引入C常数(用户给定的超参数)来适应优化问题，该常数控制它应该有多“硬”。特别地，它将原优化问题修改为:
它允许每个点产生一些错误λ(例如，在超平面的错误一侧)，并且通过将它们在目标函数中的总和加权C来减少它们。当C趋于无穷时(一般情况下肯定不会)，它就等于硬边界。与此同时，较小的C将允许更多的“违规行为”(以换取更大的支持;例如，更小的w (w)。
可以证明，等价对偶问题只有在约束每个点的α≤C时才会发生变化。
由于允许违例，支持向量(带有α>0的点)不再都在边界的边缘。任何错误的支持向量都具有α=C，而非支持向量(α=0)不能发生错误。我们称潜在错误(α=C)的支持向量为“非错误编剧支持向量”和其他纯粹的支持向量(没有违规;“边界支持向量”(0<α<C)。
这样推理方程不变:
现在(xₛ，yₛ)必须是一个没有违规的支持向量，因为方程假设它在边界的边缘。
软边界支持向量机扩展了硬边界支持向量机来处理噪声，但通常由于噪声以外的因素，例如自然非线性，数据不能被超平面分离。软边界支持向量机可以用于这样的情况，但是最优解决方案的超平面，它允许的误差远远超过现实中可以容忍的误差。
例如，在左边的例子中，无论C的设置如何，软边界支持向量机都找不到线性超平面。但是可以通过某种转换函数z=Φ(x)将数据集中的每个点x映射到更高的维度，从而使数据在新的高维空间中更加线性(或完全线性)。这相当于用z替换x得到:
在现实中，特别是当Φ转换为非常高维的空间时，计算z可能需要很长时间。所以就出现了核函数。它用一个数学函数(称为核函数)的等效计算来取代z，并且更快(例如，对z进行代数简化)。例如，这里有一些流行的核函数(每个都对应于一些转换Φ到更高维度空间):
这样，对偶优化问题就变成:
直观地，推理方程(经过代数处理后)为:
上面所有方程的完整推导，有很多相关的文章了，我们就不详细介绍了。
Python实现
对于实现，我们将使用下面这些库：
import numpy as np # for basic operations over arrays
from scipy.spatial import distance # to compute the Gaussian kernel
import cvxopt # to solve the dual opt. problem
import copy # to copy numpy arrays
定义核和SVM超参数，我们将实现常见的三个核函数：
class SVM:
linear = lambda x, xࠤ , c=0: x @ xࠤ.T
polynomial = lambda x, xࠤ , Q=5: (1 + x @ xࠤ.T)**Q
rbf = lambda x, xࠤ, γ=10: np.exp(-γ*distance.cdist(x, xࠤ,'sqeuclidean'))
kernel_funs = {'linear': linear, 'polynomial': polynomial, 'rbf': rbf}
为了与其他核保持一致，线性核采用了一个额外的无用的超参数。kernel_funs接受核函数名称的字符串，并返回相应的内核函数。
继续定义构造函数:
class SVM:
linear = lambda x, xࠤ , c=0: x @ xࠤ.T
polynomial = lambda x, xࠤ , Q=5: (1 + x @ xࠤ.T)**Q
rbf = lambda x, xࠤ, γ=10: np.exp(-γ*distance.cdist(x, xࠤ,'sqeuclidean'))
kernel_funs = {'linear': linear, 'polynomial': polynomial, 'rbf': rbf}
def __init__(self, kernel='rbf', C=1, k=2):
# set the hyperparameters
self.kernel_str = kernel
self.kernel = SVM.kernel_funs[kernel]
self.C = C # regularization parameter
self.k = k # kernel parameter
# training data and support vectors (set later)
self.X, y = None, None
self.αs = None
# for multi-class classification (set later)
self.multiclass = False
self.clfs = []
SVM有三个主要的超参数，核(我们存储给定的字符串和相应的核函数)，正则化参数C和核超参数(传递给核函数);它表示多项式核的Q和RBF核的γ。
为了兼容sklearn的形式，我们需要使用fit和predict函数来扩展这个类，定义以下函数，并在稍后将其用作装饰器:
SVMClass = lambda func: setattr(SVM, func.__name__, func) or func
拟合SVM对应于通过求解对偶优化问题找到每个点的支持向量α:
设α为可变列向量(α₁α₂…α _n);y为标签(y₁α₂…y_N)常数列向量;K为常数矩阵，其中K[n,m]计算核在(x, x)处的值。点积、外积和二次型分别基于索引的等价表达式:
可以将对偶优化问题写成矩阵形式如下:
这是一个二次规划，CVXOPT的文档中解释如下:
可以只使用(P,q)或(P,q,G,h)或(P,q,G,h, A, b)等等来调用它(任何未给出的都将由默认值设置，例如1)。
对于(P, q, G, h, A, b)的值，我们的例子可以做以下比较:
为了便于比较，将第一个重写如下:
现在很明显(0≤α等价于-α≤0):
我们就可以写出如下的fit函数:
@SVMClass
def fit(self, X, y, eval_train=False):
# if more than two unique labels, call the multiclass version
if len(np.unique(y)) > 2:
self.multiclass = True
return self.multi_fit(X, y, eval_train)
# if labels given in {0,1} change it to {-1,1}
if set(np.unique(y)) == {0, 1}: y[y == 0] = -1
# ensure y is a Nx1 column vector (needed by CVXOPT)
self.y = y.reshape(-1, 1).astype(np.double) # Has to be a column vector
self.X = X
N = X.shape[0] # Number of points
# compute the kernel over all possible pairs of (x, x') in the data
# by Numpy's vectorization this yields the matrix K
self.K = self.kernel(X, X, self.k)
### Set up optimization parameters
# For 1/2 x^T P x + q^T x
P = cvxopt.matrix(self.y @ self.y.T * self.K)
q = cvxopt.matrix(-np.ones((N, 1)))
# For Ax = b
A = cvxopt.matrix(self.y.T)
b = cvxopt.matrix(np.zeros(1))
# For Gx <= h
G = cvxopt.matrix(np.vstack((-np.identity(N),
np.identity(N))))
h = cvxopt.matrix(np.vstack((np.zeros((N,1)),
np.ones((N,1)) * self.C)))
# Solve
cvxopt.solvers.options['show_progress'] = False
sol = cvxopt.solvers.qp(P, q, G, h, A, b)
self.αs = np.array(sol["x"]) # our solution
# a Boolean array that flags points which are support vectors
self.is_sv = ((self.αs-1e-3 > 0)&(self.αs <= self.C)).squeeze()
# an index of some margin support vector
self.margin_sv = np.argmax((0 < self.αs-1e-3)&(self.αs < self.C-1e-3))
if eval_train:
print(f"Finished training with accuracy{self.evaluate(X, y)}")
我们确保这是一个二进制问题，并且二进制标签按照支持向量机(±1)的假设设置，并且y是一个维数为(N,1)的列向量。然后求解求解(α₁α₂…α _n) 的优化问题。
使用(α₁α₂…α n) 来获得在与支持向量对应的任何索引处为1的标志数组，然后可以通过仅对支持向量和(xₛ，yₛ)的边界支持向量的索引求和来应用预测方程。我们确实假设非支持向量可能不完全具有α=0，如果它的α≤1e-3，那么这是近似为零(CVXOPT结果可能不是最终精确的)。同样假设非边际支持向量可能不完全具有α=C。
下面就是预测的方法，预测方程为:
@SVMClass
def predict(self, X_t):
if self.multiclass: return self.multi_predict(X_t)
# compute (xₛ, yₛ)
xₛ, yₛ = self.X[self.margin_sv, np.newaxis], self.y[self.margin_sv]
# find support vectors
αs, y, X= self.αs[self.is_sv], self.y[self.is_sv], self.X[self.is_sv]
# compute the second term
b = yₛ - np.sum(αs * y * self.kernel(X, xₛ, self.k), axis=0)
# compute the score
score = np.sum(αs * y * self.kernel(X, X_t, self.k), axis=0) + b
return np.sign(score).astype(int), score
我们还可以实现一个评估方法来计算精度(在上面的fit中使用)。
@SVMClass
def evaluate(self, X,y):
outputs, _ = self.predict(X)
accuracy = np.sum(outputs == y) / len(y)
return round(accuracy, 2)
最后测试我们的完整代码：
from sklearn.datasets import make_classification
import numpy as np
# Load the dataset
np.random.seed(1)
X, y = make_classification(n_samples=2500, n_features=5,
n_redundant=0, n_informative=5,
n_classes=2, class_sep=0.3)
# Test Implemented SVM
svm = SVM(kernel='rbf', k=1)
svm.fit(X, y, eval_train=True)
y_pred, _ = svm.predict(X)
print(f"Accuracy: {np.sum(y==y_pred)/y.shape[0]}") #0.9108
# Test with Scikit
from sklearn.svm import SVC
clf = SVC(kernel='rbf', C=1, gamma=1)
clf.fit(X, y)
y_pred = clf.predict(X)
print(f"Accuracy: {sum(y==y_pred)/y.shape[0]}") #0.9108
多分类SVM
我们都知道SVM的目标是二元分类，如果要将模型推广到多类则需要为每个类训练一个二元SVM分类器，然后对每个类进行循环，并将属于它的点重新标记为+1，并将所有其他类的点重新标记为-1。
当给定k个类时，训练的结果是k个分类器，其中第i个分类器在数据上进行训练，第i个分类器被标记为+1，所有其他分类器被标记为-1。
@SVMClass
def multi_fit(self, X, y, eval_train=False):
self.k = len(np.unique(y)) # number of classes
# for each pair of classes
for i in range(self.k):
# get the data for the pair
Xs, Ys = X, copy.copy(y)
# change the labels to -1 and 1
Ys[Ys!=i], Ys[Ys==i] = -1, +1
# fit the classifier
clf = SVM(kernel=self.kernel_str, C=self.C, k=self.k)
clf.fit(Xs, Ys)
# save the classifier
self.clfs.append(clf)
if eval_train:
print(f"Finished training with accuracy {self.evaluate(X, y)}")
然后，为了对新示例执行预测，我们选择相应分类器最自信(得分最高)的类。
@SVMClass
def multi_predict(self, X):
# get the predictions from all classifiers
N = X.shape[0]
preds = np.zeros((N, self.k))
for i, clf in enumerate(self.clfs):
_, preds[:, i] = clf.predict(X)
# get the argmax and the corresponding score
return np.argmax(preds, axis=1), np.max(preds, axis=1)
完整测试代码：
from sklearn.datasets import make_classification
import numpy as np
# Load the dataset
np.random.seed(1)
X, y = make_classification(n_samples=500, n_features=2,
n_redundant=0, n_informative=2,
n_classes=4, n_clusters_per_class=1,
class_sep=0.3)
# Test SVM
svm = SVM(kernel='rbf', k=4)
svm.fit(X, y, eval_train=True)
y_pred = svm.predict(X)
print(f"Accuracy: {np.sum(y==y_pred)/y.shape[0]}") # 0.65
# Test with Scikit
from sklearn.multiclass import OneVsRestClassifier
from sklearn.svm import SVC
clf = OneVsRestClassifier(SVC(kernel='rbf', C=1, gamma=4)).fit(X, y)
y_pred = clf.predict(X)
print(f"Accuracy: {sum(y==y_pred)/y.shape[0]}") # 0.65
绘制每个决策区域的图示，得到以下图:
可以看到，我们的实现与Sci-kit Learn结果相当，说明在算法实现上没有问题。注意：SVM默认支持OVR(没有如上所示的显式调用)，它是特定于SVM的进一步优化。
总结
我们使用Python实现了支持向量机(SVM)学习算法，并且包括了软边界和常用的三个核函数。我们还将SVM扩展到多分类的场景，并使用Sci-kit Learn验证了我们的实现。希望通过本文你可以更好的了解SVM。
https://avoid.overfit.cn/post/0b2410e6737a4911be507ca29cb3136c
作者：Essam Wisam
