协方差矩阵
由上，我们已经知道：协方差是衡量两个随机变量的相关程度。且随机变量 
之间的协方差可以表示为:
故根据已知的样本值可以得到协方差的估计值如下：
可以进一步地简化为：
如此，便引出了所谓的协方差矩阵：
主成成分分析
尽管从上面看来，协方差矩阵貌似很简单，可它却是很多领域里的非常有力的工具。它能导出一个变换矩阵，这个矩阵能使数据完全去相关(decorrelation)。从不同的角度看，也就是说能够找出一组最佳的基以紧凑的方式来表达数据。这个方法在统计学中被称为主成分分析(principal components analysis，简称PCA)，在图像处理中称为Karhunen-Loève 变换(KL-变换)。
根据wikipedia上的介绍，主成分分析PCA由卡尔·皮尔逊于1901年发明，用于分析数据及建立数理模型。其方法主要是通过对协方差矩阵进行特征分解，以得出数据的主成分（即特征矢量）与它们的权值（即特征值）。PCA是最简单的以特征量分析多元统计分布的方法。其结果可以理解为对原数据中的方差做出解释：哪一个方向上的数据值对方差的影响最大。
然为何要使得变换后的数据有着最大的方差呢？我们知道，方差的大小描述的是一个变量的信息量，我们在讲一个东西的稳定性的时候，往往说要减小方差，如果一个模型的方差很大，那就说明模型不稳定了。但是对于我们用于机器学习的数据（主要是训练数据），方差大才有意义，不然输入的数据都是同一个点，那方差就为0了，这样输入的多个数据就等同于一个数据了。
简而言之，主成分分析PCA，留下主成分，剔除噪音，是一种降维方法，限高斯分布，n维眏射到k维，
- 减均值，
- 求特征协方差矩阵，
- 求协方差的特征值和特征向量，
- 取最大的k个特征值所对应的特征向量组成特征向量矩阵，
投影数据=原始样本矩阵x特征向量矩阵。其依据为最大方差，最小平方误差或坐标轴相关度理论，及矩阵奇异值分解SVD（即SVD给PCA提供了另一种解释）。
也就是说，高斯是0均值，其方差定义了信噪比，所以PCA是在对角化低维表示的协方差矩阵，故某一个角度而言，只需要理解方差、均值和协方差的物理意义，PCA就很清晰了。
再换言之，PCA提供了一种降低数据维度的有效办法；如果分析者在原数据中除掉最小的特征值所对应的成分，那么所得的低维度数据必定是最优化的（也即，这样降低维度必定是失去讯息最少的方法）。主成分分析在分析复杂数据时尤为有用，比如人脸识别。
