霍纳法则（Horner's Rule）是一种求解线性方程组的迭代算法，是由英国数学家威廉·霍纳（William Horner）在 1839 年发现的。该算法是一种高斯消元法的简化版本，适用于具有特定条件的三元一次方程组。
霍纳法则的基本思想是将方程组写成关于一个变量的二次方程，然后求解这个二次方程，得到一个近似解。之后，用这个近似解去代替原方程组中的一个变量，从而将原方程组转化为一个新的方程组。重复这个过程，直到方程组收敛为止。
霍纳法则的使用方法如下：
- 首先，写出三元一次方程组：
a1 x + a2 y + a3 z = b1
a2 x + a3 y + a1 z = b2
a3 x + a1 y + a2 * z = b3
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令 u = x - y，将方程组中的 x 表示为 y 的函数：
a1 (u + y) + a2 y + a3 z = b1
a2 (u + y) + a3 y + a1 z = b2
a3 (u + y) + a1 y + a2 * z = b3
CopyCopy将上述方程组化简为一个关于 y 和 z 的二次方程：
au^2 + (a1 + a2) u y + (a1 y^2 + a2 y z + a3 z) = b1
a u^2 + (a2 + a3) u y + (a2 y^2 + a3 y z + a1 z) = b2
a u^2 + (a1 + a3) u y + (a3 y^2 + a1 y z + a2 z) = b3
CopyCopy求解这个二次方程，得到 y 和 z 的近似解。
- 用得到的近似解去代替原方程组中的 y 和 z，从而得到一个新的方程组。重复步骤 1-4，直到方程组收敛为止。
霍纳法则适用于具有特定条件的三元一次方程组，例如系数 a1、a2 和 a3 之间存在某种关系。在实际应用中，霍纳法则可以用于求解线性方程组，例如在数值计算、插值法等领域。
Demo：
我们使用霍纳法则求解以下三元一次方程组：
2x + 3y + z = 10
3x + 4y + 2z = 15
4x + 5y + 3z = 20
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- 首先，写出方程组：
2x + 3y + z = 10
3x + 4y + 2z = 15
4x + 5y + 3z = 20
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- 令 u = x - y，将方程组中的 x 表示为 y 的函数：
2(u + y) + 3y + z = 10
3(u + y) + 4y + 2z = 15
4(u + y) + 5y + 3z = 20
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- 将上述方程组化简为一个关于 y 和 z 的二次方程：
2u^2 + 5u y + 3y^2 + 3y z + z = 10
3u^2 + 7u y + 4y^2 + 2y z + 2z = 15
4u^2 + 9u y + 5y^2 + 3y z + 3z = 20
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- 求解这个二次方程，得到 y 和 z 的近似解。
- 用得到的近似解去代替原方程组中的 y 和 z，从而得到一个新的方程组。重复步骤 1-4，直到方程组收敛为止。
注意：霍纳法则仅适用于特定条件下的三元一次方程组，对于一般的线性方程组，可以使用高斯消元法、LU 分解等方法求解。
