分享一道收藏的好题
我收藏的这道题是一道红题，来自洛谷 P2623，题目名为「计数」。这道题的难度大概在紫到黑的样子，我当初收藏它是因为它是一道奇怪的计数题，有点格雷码的感觉。这道题给定两个整数 a 和 b，问有多少个 x∈[a,b]，满足x⊕(x+1)∈[a,b]，其中 ⊕ 表示按位异或操作。
一开始看到这道题，我一脸懵逼。因为我稍微做过一些计数题，但是好像从没见过按位异或的题。于是我开始思考如何解决这道题。我尝试画图，分析一些规律，但是一直都没能得到正确的答案。
后来我在网上查找资料，看到了一篇题解，介绍了一种非常巧妙的做法。这个做法基于一个性质：如果两个数按位异或后得到的二进制表示中，某一位为 1，则这两个数在这一位上的二进制位一个为 0 一个为 1。这样我们可以对于每一位来统计答案。
具体地，我们可以考虑从高位到低位，类似于二分的操作，不断将区间一分为二。具体地，我们假设当前二进制位为第k 位，我们设L 为a 和b 按照当前位所对应的二进制为止的数，而R 则是 L+1。例如，如果当前位是第 3 位，a 的二进制表示为 101110，b 的二进制表示为 100011，则L 为 101000，而R 则为 101001。这样，我们就把区间一分为二。
接下来，我们考虑 x∈[L,R−1] 的情况，这样对于 x+1，它肯定是在[L+1,R] 中。于是我们可以递归地计算[L,R−1] 和 [L+1,R] 中满足条件的x 的个数，然后把两个区间的答案加起来即可。
当然，在具体的计算中，我们还需要考虑一些特殊情况，例如当L=0 时，x 就不能取 0，而当 L=R−1 时，我们就不需要递归地计算，直接返回答案即可。
总体而言，这道题的计数方法非常巧妙，值得好好思考和学习。
