我们在做聚类分析的时候，有时候比较困惑的是如何确定最佳聚类簇数，比如k-means的k到底取多少？比较流行的方法是用手肘法，观察SSE的拐点处，这个需要通过直观观察去判定，人的直观判定总是会存在误差。
轮廓系数是判定聚类的k值比较好的一个指标，它是聚类效果好坏的一种评价方式。最早由Peter J. Rousseeuw在1986提出，它结合内聚度和分离度两种因素，可以用来在相同原始数据的基础上用来评价不同算法、或者算法不同运行方式对聚类结果所产生的影响。
轮廓系数公式
轮廓系数的概念和公式
轮廓系数用于衡量聚类结果的紧密度和分离度。轮廓系数的公式为：
s = (b-a)/max(a,b)，
假设我们已经通过一定算法，将待分类数据进行了聚类。常用的比如使用K-means ，将待分类数据分为了 k 个簇 。对于簇中的每组向量数据，分别计算它们的轮廓系数。 对于其中的一个点 i 来说：计算 a(i)=average(i向量到所有它属于的簇中其它点的距离)
- 计算 b(i) =min(i向量到某一不包含它的簇内的所有点的平均距离)。
- 其中，a是簇内不相似度的平均值，称为内聚度；b是簇间不相似度的平均值，称为分离度。
- 最后计算每个向量数据的轮廓系数，并求平均值就是整个模型分类后的轮廓系数。
轮廓系数的意义
可根据轮廓系数的大小判定，分类的结果的合理性。
- 轮廓系数的值在-1到1之间，值越大表示聚类结果越好。
- 当值为负数时，表示聚类结果不佳，数据点更适合被分配到其他簇。
- 当值接近0时，表示聚类结果不明显，数据点的分配可能不太合理。
- 当值接近1时，表示聚类结果很好，数据点与所在簇的其他数据点很相似，与其他簇的数据点很不相似。
kmeans算法流程
- 1、选择K个点作为初始质心。
- 2、将每个点指派到最近的质心，形成K个簇。
- 3、对于上一步聚类的结果，进行平均计算，得出该簇的新的聚类中心。
- 4、重复上述两步/直到迭代结束：质心不发生变化。
轮廓系数计算
直接调包计算
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.metrics import silhouette_score
import numpy as np
# 生成数据集
np.random.seed(1)
X= np.random.uniform(1,10, size=(50, 2))
# 定义不同的K值进行聚类
for k in range(2, 8):
kmeans = KMeans(n_clusters=k, random_state=42)
kmeans.fit(X)
labels = kmeans.labels_
# 计算轮廓系数
score = silhouette_score(X, labels)
print(f"K={k}, 轮廓系数={score:.2f}")
输出结果
sklearn里有自己的函数silhouette_score可以直接计算轮廓系数。根据结果是k=3轮廓系数最大，因此建议分3类。
手工计算
为了更清楚的了解轮廓系数原理，现在手动编写轮廓系数的计算过程，还是以kmeans每次最后聚类的结果数据为输入数据，计算轮廓系数。
1）内聚度
a=np.sum([np.linalg.norm(X[m] - center) for center in X[a11[j]]])/(len(a11[j])-1)
2）分离度
##轮廓系数b的计算
c=[]#存储平均数据
for j2 in arr_1:
c1=np.sum([np.linalg.norm(X[m] - center) for center in X[a11[j2]]])/(len(a11[j2]))
c.append(c1)
b=min(c)
3）每个点的轮廓系数
s.append((b-a)/max(a,b))#把每点轮廓系数都存储起来，后续对s求平均值即可
4）完整代码及输出
可以观察到，结果跟kmeans调包计算的轮廓系数结果一致。当然轮廓系数也有一些缺点：比如对于簇结构为凸的数据轮廓系数值高，而对于簇结构非凸需要使用DBSCAN进行聚类的数据，轮廓系数值低，因此，不同聚类算法之间不应该以轮廓系数来评价。
