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一、AVL树的定义
AVL树，全称 平衡二叉搜索（排序）树。

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

平衡因子（Balance Factor，简写为bf）
平衡因子（bf）：结点的左子树的深度减去右子树的深度。也可以是右子树的深度减去左子树的深度。看个人实现而异。

即： 结点的平衡因子 = 左子树的高度 - 右子树的高度。
或者 节点的平衡因子 = 右子树的高度 - 左子树的高度。

AVL树本质上是一颗二叉查找树，但是它又具有以下特点：

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
这就是一颗AVL树

二、AVL树的作用
有一颗二叉树，他有n个节点，如果他是一颗二叉搜索树，他形状多样，可能会形成单枝树，高度为n,那么在这颗搜索树中查找元素的最坏时间复杂度为O(n),最好时间复杂度是O(l o g 2 n log_2 nlog
2

n)。
如果他是一颗AVL树，他的高度稳定为l o g 2 n log_2 nlog
2

n,查找元素的时间复杂度为O(l o g 2 n log_2 nlog
2

n)。
由上图可知，同样的结点，由于插入方式不同导致树的高度也有所不同。特别是在带插入结点个数很多且正序的情况下，会导致二叉树的高度是O(N)，而AVL树就不会出现这种情况，树的高度始终是O(lgN).高度越小，对树的一些基本操作的时间复杂度就会越小。这也就是我们引入AVL树的原因。

三、AVL树的插入操作
插入——平衡因子的更新
在插入一个元素的时候，必然会引起平衡因子的变化，所以我们需要在插入的时候把平衡因子同时更新，在平衡因子大于1或者小于-1时，我们则需要进行旋转操作，进行调整，使平衡因子再次正常，从而保证这颗二叉树一直是一颗AVL树。
 
使用平衡因子计算： 右子树高度 - 左子树高度

情况一：

在插入元素后，需要更新父节点的平衡因子，在父节点的左子树插入元素，父节点的平衡因子-1，在父节点的左子树插入元素，父节点的平衡因子+1，如果父节点的平衡因子更新过后变为1或者-1，则需继续往上更新至根节点，因为1或者-1表示该节点的高度发生改变，需往上更新。

情况2：

在插入元素后，需要更新父节点的平衡因子，在父节点的左子树插入元素，父节点的平衡因子-1，在父节点的左子树插入元素，父节点的平衡因子+1，如果父节点的平衡因子更新过后变为0，则不需要继续向上更新，因为变为0只能说明该树高度没有变化，只是相对于原来变得平衡。

如果在更新平衡因子后，平衡因子不在(-1/0/1)范围时，则需旋转操作，下面讲解如何进行旋转操作

由于插入需要旋转的情况较多，大致可以分为四大类

插入——左单旋
动图演示

情况一
右子树高时，在右子树的右侧插入元素，此时需要左单旋

插入——右单旋
动图演示

情况二、
左子树较高时，在左子树的左侧插入元素，此时需要右单旋

插入——左右双旋
情况三、左子树较高时，在左子树的右侧插入元素，此时需要左右双旋，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋

插入——右左双旋
情况四、右子树较高时，在右子树的左侧插入元素，此时需要右左双旋，即：先对90进行右单旋，然后再对30进行左单旋