6.3 二叉搜索树

如果利用二叉树作为索引结构，那么磁盘的IO次数和索引树的高度是相关的

1.二叉搜索树的特点

• 一个节点只能有两个子节点，也就是一个节点度不能超过2
• 左子节点<本节点;右子节点>=本节点，比我大的向右，比我小的向左

2.查找规则

先来看下最基础的二叉搜索树(Binary Search Tree)，搜索某个节点和插入节点的规则一样，假设搜索插入的数值为key :

1. 如果key大于根节点，则在右子树中进行查找
2. 如果 key小于根节点,则在左子树中进行查找
3. 如果key等于根节点，也就是找到了这个节点，返回根节点即可。

举个例子，对数列(34，22，89，5，23，77，91)创造出来的二分查找树如下图所示:

但是存在特殊的情况，就是有时候二叉树的深度非常大。比如给出的数据顺序是(5,22,23,34,77,89,91)，创造出来的二分搜索树如下图所示:


上面第二棵树也属于二分查找树，但是性能上已经退化成了一条链表，查找数据的时间复杂度变成了O(n)。可以看出来第一个树的深度是3，也就是说最多只需3次比较，就可以找到节点，而第二个树的深度是7，最多需要7次比较才能找到节点。

为了提高查询效率，就需要减少磁盘IO数。为了减少磁盘IO的次数，就需要尽量低树的高度，需要把原来"瘦高"“的树结构变的“矮胖”，树的每层的分叉越多越好。

6.4 AVL树

为了解决上面二叉查找树退化成链表的问题，人们提出了平衡二叉搜索树(Balanced Binary Tree)，又称为AVL树(有别于AVL算法)，它在二叉搜索树的基础上增加了约束，具有以下性质:
它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

这里说一下，常见的平衡二叉树有很多种，包括了平衡二叉搜索树、红黑树、数堆、伸展树。平衡二叉搜索树是最早提出来的自平衡二叉搜索树，当提到平衡二叉树时一般指的就是平衡二叉搜索树。事实上，第一棵树就属于平衡二叉搜索树，搜索时间复杂度就是O(log2n)。

数据查询的时间主要依赖于磁盘I/O的次数，如果我们采用二叉树的形式，即使通过平衡二叉搜索树进行了改进，树的深度也是O(log2n)，当n比较大时，深度也是比较高的，比如下图的情况;

每访问一次节点就需要进行一次磁盘I/O操作，对于上面的树来说，需要进行5次I/O操作。虽然平衡二叉树的效率高，但是树的深度也同样高，这就意味着磁盘I/O操作次数多，会影响整体数据查询的效率。

针对同样的数据，如果把二叉树改成M叉树(M>2）呢?当M=3时，同样的31个节点可以由下面的三叉树来进行存储:

可以看到此时树的高度降低了，当数据量N大的时候，以及树的分叉数M大的时候，M叉树的高度会远小于二叉树的高度(M>2)。所以，我们需要把树从"瘦高"变"矮胖”。

6.5 B-Tree

B树的英文是Balance Tree，也就是多路平衡查找树。简写为B-Tree (注意横杠表示这两个单词连起来的意思，不是减号)。它的高度远小于平衡二叉树的高度。

B树的结构如下图所示:

B树作为多路平衡查找树，它的每一个节点最多可以包括M个子节点，M称为B树的阶。每个磁盘块中包括了关键字和子节点的指针。如果一个磁盘块中包括了x个关键字，那么指针数就是x+1。对于一个100阶的B树来说，如果有3层的话最多可以存储约100万的索引数据。对于大量的索引数据来说，采用B树的结构是非常适合合的，因为树的高度要远小于二叉树的高度。

一个M阶的B树(M>2)有以下的特性:

1.根节点的儿子数的范围是[2,M]。

2.每个中间节点包含k-1个关键字和k个孩子，孩子的数量=关键字的数量+1，k的取值范围为[ceil(M/2),M]。

3.叶子节点包括 k-1个关键字(叶子节点没有孩子)，k的取值范围为[ceil(M/2),M]。

4.假设中间节点节点的关键字为:Key[1],Key[2]… Key|k-1]，且关键字按照升序排序，即Key[i]<Key[i+1]。此时k-1个关键字相当于划分了k个范围，也就是对应着k个指针，即为: P[1],P[2]…P[K]，其中 P[1]指向关键字小于Key[1]的子树，P[i]指向关键字属于(Key[i-1], Key[i])的子树，P[K]指向关键字大于Key[k-1]的子树。

5.所有叶子节点位于同一层。

上面那张图所表示的B树就是一棵3阶的B树。可以看一下磁盘块2，里面的关键字为(8，12)，它有3个孩子(3，5)，(9，10)和(13，15)，能看到(3，5)小于8，(9，10)在8和12之间，而(13，15)大于12，刚好符合刚才给出的特征。

然后来看一下如何用B树进行查找。假设想要查找的关键字是9，那么步骤可以分为以下几步:

1.与根节点的关键字(17，35)进行比较，9小于17那么得到指针P1

2.按照指针P1找到磁盘块2，关键字为(8，12)，因为9在8和12之间，所以得到指针P2

3.按照指针P2找到磁盘块6，关键字为(9，10)，然后找到了关键字9

能看出来在B树的搜索过程中，比较的次数并不少，但如果把数据读取出来然后在内存中进行比较，这个时间就是可以忽略不计的。而读取磁盘块本身需要进行I/O操作，消耗的时间比在内存中进行比较所需要的时间要多，是数据查找用时的重要因素。B树相比于平衡二叉树来说磁盘I/O操作要少，在数据查询中比平衡二叉树效率要高。所以只要树的高度足够低，IO次数足够少。就可以提高查询性能。

小结:

1. B树在插入和删除节点的时候如果导致树不平衡，就通过自动调整节点的位置来保持树的自平衡
2. 关键字集合分布在整棵树中,即叶子节点和非叶子节点都存放数据。搜索有可能在非叶子节点结束
3. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找

再举例1:

6.6 B+Tree

B+树也是一种多路搜索树，基于B树做出了改进，主流的DBMS都支持B+树的索引方式，比如 MysQL。相比于B-Tree,B+Tree适合文件索引系统

• Mysql官网说明
  
  B+ 树和 B 树的差异在于以下几点：
  
  有 k 个孩子的节点就有 k 个关键字。也就是孩子数量 = 关键字数，而 B 树中，孩子数量 = 关键字数+1。

非叶子节点的关键字也会同时存在在子节点中，并且是在子节点中所有关键字的最大（或最

小）。

非叶子节点仅用于索引，不保存数据记录，跟记录有关的信息都放在叶子节点中。而 B 树中， 非叶子节点既保存索引，也保存数据记录 。

所有关键字都在叶子节点出现，叶子节点构成一个有序链表，而且叶子节点本身按照关键字的大小从小到大顺序链接。

下图就是一棵B+树，阶数为3，根节点中的关键字1、18、35分别是子节点(1，8，14)， (18，24，31)和(35，41，53)中的最小值。每一层父节点的关键字都会出现在下一层的子节点的关键字中，因此在叶子节点中包括了所有的关键字信息，并且每一个叶子节点都有一个指向下一个节点的指针，这样就形成了一个链表

比如，想要查找关键字16，B+树会自顶向下逐层进行查找:

1.与根节点的关键字(1，18，35)进行比较，16在1和18之间。得到指针P1(指向磁盘块2)

2.找到磁盘块2，关键字为(1，8，14)，因为16大于14，所以得到指针P3(指向磁盘块7)

3.找到磁盘块7，关键字为(14，16，17)，然后找到了关键字16，所以可以找到关键字16所对应的数据。

整个过程一共进行了3次I/O操作，看起来B+树和B树的查询过程差不多，但是B+树和B树有个根本的差异在于，B+树的中间节点并不直接存储数据。这样的好处都有什么呢?


首先，B+树查询效率更稳定。因为B+树每次只有访问到叶子节点才能找到对应的数据，而在B树中，非叶子节点也会存储数据，这样就会造成查询效率不稳定的情况，有时候访问到了非叶子节点就可以找到关键字，而有时点需要访问到叶子节点才能找到关键字


其次，B+树的查询效率更高。这是因为B树非叶子节点也要存储数据，B+树非叶子节点不用存储数据。对于相同大小的页，B+树存储的目录项更多，故通常情况下B+树比B树更矮胖(阶数更大，深度更低)，查询所需要的磁盘I/O也会更少。同样的磁盘页大小，B+树可以存储更多的节点关键字。


不仅是对单个关键字的查询上，在查询范围上，B+树的效率也比B树高。这是因为所有关键字都出现在B+树的叶子节点中，叶子节点之间会有指针，数据又是递增的，这使得范围查找可以通过指针连接查找。而在B树中则需要通过中序遍历才能完成查询范围的查找。效率要低很多


B 树和 B+ 树都可以作为索引的数据结构，在 MySQL 中采用的是 B+ 树。

但B树和B+树各有自己的应用场景，不能说B+树完全比B树好，反之亦然。

思考题一

思考题：为了减少IO，索引树会一次性加载吗？
1、数据库索引是存储在磁盘上的，如果数据量很大，必然导致索引的大小也会很大，超过几个G。

2、当利用索引查询的时候，是不可能将全部几个G的索引都加载进内存的，我们能做的只能是:逐一加载每一个磁盘页，因为磁盘页对应着索引树的节点。

思考题二

思考题：B+树的存储能力如何？为何说一般查找行记录，最多只需1~3次磁盘IO


InnoDB存储引擎中页的大小为16KB，一般表的主键类型为INT(占用4个字节）或BIGINT(占用8个字节)，指针类型也一般为4或8个字节，也就是说一个页(B+Tree中的一个节点)中大概存储16KB/(8B+8B)=1K个键值(因为是估值，为方便计算，这里的K取值为 103 。也就是说一个深度为3的B+Tree索引可以维护103 *103 * 103 =10亿条记录。(这里假定一个数据页也存储103 条行记录数据了)

实际情况中每个节点可能不能填充满，因此在数据库中，B+Tree的高度一般都在2-4层。MySQL的InnoDB存储引擎在设计时是将根节点常驻内存的，也就是说查找某一键值的行记录时最多只需要1~3次磁盘1/O操作。

思考题三

思考题：为什么说B+树比B-树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引？

1、B+树的磁盘读写代价更低

B+树的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对B树更小。如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO读写次数也就降低了。

2、B+树的查询效率更加稳定

由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。

思考题四

思考题：Hash 索引与 B+ 树索引的区别

之前讲到过B+树索引的结构，Hash索引结构和B+树的不同，因此在索引使用上也会有差别。

1、Hash索引不能进行范围查询，而B+树可以。这是因为Hash索引指向的数据是无序的，而B+树的叶子节点是个有序的链表。

2、Hash索引不支持联合索引的最左侧原则（即联合索引的部分索引无法使用)，而B+树可以。对于联合索引来说，Hash索引在计算 Hash值的时候是将索引键合并后再一起计算 Hash值，所以不会针对每个索引单独计算Hash值。因此如果用到联合索引的一个或者几个索引时，联合索引无法被利用。

3、Hash索引不支持ORDER BY排序，因为Hash索引指向的数据是无序的，因此无法起到排序优化的作用，而B+树索引数据是有序的，可以起到对该字段ORDER BY排序优化的作用。同理，我们也无法用 Hash索引进行模糊查询，而B+树使用LIKE进行模糊查询的时候，LIKE后面后模糊查询(比如%结尾)的话就可以起到优化作用。

4、InnoDB不支持哈希索引

思考题五

思考题：Hash 索引与 B+ 树索引是在建索引的时候手动指定的吗？

如果使用的是MySQL的话，需要了解MysQL的存储引擎都支持哪些索引结构，如下图所示（参考来源 https://dev.mysqL.com/doc/refman/8.o/en/create-index.html)。如果是其他DBMS，可以参考相关的DBMS文档。



你能看到，针对InnoDB和MyISAM存储引擎，都会默认采用B+树索引，无法使用Hash 索引。InnoDB提供的自适应Hash是不需要手动指定的。如果是Memory/Heap和NDB存储引擎，是可以进行选择Hash 索引的。

6.7 R树

R-Tree在MySQL很少使用，仅支持geometry数据类型 ，支持该类型的存储引擎只有myisam、bdb、innodb、ndb、archive几种。举个R树在现实领域中能够解决的例子：查找20英里以内所有的餐厅。如果没有R树你会怎么解决？一般情况下我们会把餐厅的坐标(x,y)分为两个字段存放在数据库中，一个字段记录经度，另一个字段记录纬度。这样的话我们就需要遍历所有的餐厅获取其位置信息，然后计算是否满足要求。如果一个地区有100家餐厅的话，我们就要进行100次位置计算操作了，如果应用到谷歌、百度地图这种超大数据库中，这种方法便必定不可行了。R树就很好的解决了这种高维空间搜索问题。它把B树的思想很好的扩展到了多维空间，采用了B树分割空间的思想，并在添加、删除操作时采用合并、分解结点的方法，保证树的平衡性。因此，R树就是一棵用来 存储高维数据的平衡树 。相对于B-Tree，R-Tree的优势在于范围查找。

6.8 小结

使用索引可以帮助我们从海量的数据中快速定位想要查找的数据，不过索引也存在一些不足，比如占用存储空间、降低数据库写操作的性能等，如果有多个索引还会增加索引选择的时间。当我们使用索引时，需要平衡索引的利(提升查询效率）和弊(维护索引所需的代价)。

在实际工作中，还需要基于需求和数据本身的分布情况来确定是否使用索引，尽管索引不是万能的，但数据量大的时候不使用素引是不可想象的，毕竟索引的本质。是帮助我们提升数据检索的效率。

附录：算法的时间复杂度

同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法

2022/8/1 17:52

最后

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