1.算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算

机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计

算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度 。

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知

道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个

分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

举例：

Q：计算一下Func1中++count语句执行了多少次？

void Func1(int N)
{
  int count = 0;
  for (int i = 0; i < N ; ++ i)
  {
    for (int j = 0; j < N ; ++ j)
    {
      ++count;
    }
  }
  for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
  {
    ++count;
  }
  int M = 10;
  while (M--)
  {
    ++count;
  }
    printf("%d\n", count);
}

Func1 的时间复杂度：F(N) = N*N + 2*N + 10

N = 10 F(N) = 130

N = 100 F(N) = 10210

N = 1000 F(N) = 1002010
实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

2.2 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶 。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为 N 数组中搜索一个数据 x

最好情况：1 次找到

最坏情况：N 次找到

平均情况：N/2 次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)。

注：时间复杂度是不固定的，时间复杂度表示的是最坏的情况。

举例：

Q：计算下面代码的时间复杂度

void Func3(int N, int M)
{
  int count = 0;
  for (int k = 0; k < M; ++ k)
  {
    ++count;
  }
  for (int k = 0; k < N ; ++ k)
  {
    ++count;
  }
  printf("%d\n", count);
}

A：时间复杂度：O(M+N)

分析：

这里除非说明过 M >> N 或 N >> M ,远小于的那个字母就可以不表示。

Q：计算下面代码的时间复杂度

void Func4(int N)
{
  int count = 0;
  for (int k = 0; k < 100; ++ k)
  {
    ++count;
  }
  printf("%d\n", count);
}

A：时间复杂度：O(1)。

分析：这里的1不是一次，是代表常数次，常数次用 O(1) 表示，写为一亿也是常数。

3、常见时间复杂度计算举例

3.1 冒泡排序

void BubbleSort(int* a, int n)
{
  assert(a);
  for (size_t end = n; end > 0; --end)
  {
    int exchange = 0;
    for (size_t i = 1; i < end; ++i)
    {
      if (a[i - 1] > a[i])
      {
        Swap(&a[i - 1], &a[i]);
        exchange = 1;
      }
    }
    if (exchange == 0)
      break;
  }
}

分析：


因此，冒泡排序的时间复杂度：O(N^2)。

3.2 二分查找

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
  assert(a);
  int begin = 0;
  int end = n - 1;
  // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
  while (begin <= end)
  {
    int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
    if (a[mid] < x)
      begin = mid + 1;
    else if (a[mid] > x)
      end = mid - 1;
    else
      return mid;
  }
  return -1;
}

分析：



因此，二分查找的时间复杂度：O(log N)。

3.3 阶乘递归

long long Fac(size_t N)
{
  if (0 == N)
    return 1;
  return Fac(N - 1) * N;
}

分析：


因此，递归阶乘的时间复杂度：O(N)。

总结：在递归调用的时候，函数内部的时间复杂度为 O(1)，递归后的整体时间复杂度就是递归的次数。函数内部的时间复杂度为O(N)，递归后的整体时间复杂度为O(N*M)。这里的M是次数。

3.4 斐波那契数列

long long Fib(size_t N)
{
  if (N < 3)
    return 1;
  return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

分析：


因此，斐波那契数列的时间复杂度：O(2^N)。