🐌 一.树的概念及其结构

🦋（1）树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点

除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

🐛（2）树的相关概念

 🐜（3）树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，树的每个结点的孩子个数不确定，所以树的结点在常规表示的时候也是非常的麻烦。

typedef int DataType;
struct Node
{
  struct Node* Child1; // 第一个孩子
  struct Node* Child2; // 第二个孩子
  //
  // ...... 不能确定孩子数
  //
  DataType data; // 结点中的数据域
};

但是这个问题也有很好的解决办法。既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
    struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
    DataType _data; // 结点中的数据域
};

说明：左孩子右兄弟表示法，仅仅只用了两个指针，就解决了树的孩子分支不确定的情况下，树的表示问题。

🐝（4）树在实际中的应用

                                                             Linux树状目录结构

🪲 二.二叉树的概念及其结构

🐞（1）二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

  从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

🦗（2）现实中的二叉树

🕷（3） 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

🌸(4)二叉树的性质

1.若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1) 个结点.

2.若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 .2^h - 1.

3.对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0 ＝n2 ＋1.

4.若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h = .

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：    

若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子

若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

性质练习：

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）

A.不存在这样的二叉树

B.200

C.198

D.199

答案：B

[分析]：叶子结点也就是度为 0 的结点，由 性质3 n0 = n2 + 1，所以叶子节点数比度为2的节点数多一。也就是199+1=200。

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）

A. n

B. n+1

C. n-1

D n/2

答案：A

[分析]：我们设 此完全二叉树的度为0的结点树为n0，度为1的结点数为n1，度为2的结点个数为n2，所以存在n0 + n1 + n2 = 2n.由于 性质3 n0 = n2 + 1。所以 n2 = n0 -1，所以 2n0 + n1 -1 = 2n，由于是完全二叉树，完全二叉树度为1的结点，只有两种可能 1，0。如果n1 = 0，n0就不在是整数，不合实际。当n1 = 1 的时候，n0 = n，成立。所以叶子结点的数目为 n。

3.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）

A. 11

B. 10

C. 8

D. 12

答案：B

[分析]：完全二叉树处除了倒数第一层之外，其他层的都是满的。所以如果树的前n-1 层都是满的当n-1=9时，结点数为 2^9-1=511，2^10-1=1023.所以说树的前九层都是满的，第十层不是满的，所以树的高度是10.

🌻最后：

青春由磨砺而出彩，人生因奋斗而升华！