Cholesky分解（Matlab代码实现）

💥1 概述

Cholesky分解是一种将对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵和其转置的方法。对于一个对称正定矩阵A，可以将其分解为A = LL^T，其中L是一个下三角矩阵。

Cholesky分解的步骤如下：

1.对于一个对称正定矩阵A，找到一个下三角矩阵L，使得A = LL^T。

2.从左上角开始，计算L的每个元素。对于第i行第j列的元素L(i,j)，有以下公式：

1.如果i = j，计算L(i,j) = sqrt(A(i,j) - sum(L(i,k)^2, k=1 to i-1))。

2.如果i > j，计算L(i,j) = (A(i,j) - sum(L(i,k)*L(j,k), k=1 to j-1)) / L(j,j)。

3.如果i < j，L(i,j) = 0。

1.重复步骤2，直到计算完所有的L(i,j)。

Cholesky分解的优点是计算效率高，尤其适用于解线性方程组和计算矩阵的逆。由于分解后的矩阵L是下三角矩阵，求解线性方程组Ax = b时，可以通过前代法和后代法分别求解Ly = b和L^Tx = y，从而得到解x。

Cholesky分解的一个重要应用是在金融领域中的风险管理和投资组合优化中，用于计算协方差矩阵的逆。

Cholesky分解法又叫平方根法，是求解对称正定线性方程组最常用的方法之一。对于一般矩阵，为了消除LU分解的局限性和误差的过分积累，采用了选主元的方法，但对于对称正定矩阵而言，选主元是不必要的。

更详细知识点，这个博主讲解很清晰，超棒：

矩阵Cholesky分解，及其在求解线性方程组、矩阵逆的应用

📚2 运行结果

部分代码：

for i=1:N
    W3(:,i)=randn(2,1); 
end
for i=1:N
    WW3(:,i)=wblrnd(9.0,2.15,2,1); 
end
Z3=R3*W3;
ccc03=corrcoef(W3');
ccc03
ccc13=corrcoef(Z3');
ccc13
aa3=zeros(2,N);
Ls3=zeros(2,N);
for p=1:2
hig=max(Z3(p,:));
k=1;
for i=1:N
[b c]=min(Z3(p,:));
Ls3(p,c)=k;
k=k+1;
Z3(p,c)=hig+1;
end
end
LLs3=Ls3;
x=zeros(2,N);
for i=1:N
    tt=(i-0.5)/N;
    x3(1,i)=wblinv(tt,9.0,2.15);
    x3(2,i)=wblinv(tt,9.0,2.15);   
end
for i=1:2
y3=x3(i,:);
bb3=LLs3(i,:);
hig1=max(y3);
hig2=max(bb3);
for p=1:N
[C1 D1]=min(y3);
[C2 D2]=min(LLs3(i,:));
bb3(1,D2)=C1;
y3(1,D1)=hig1+1;
LLs3(i,D2)=hig2+1;
end
yy3(i,:)=bb3;
end

🎉3 参考文献

部分理论来源于网络，如有侵权请联系删除。

[1]李辉,郝如江.基于不完全Cholesky分解相关熵双谱的轴承故障诊断[J].振动与冲击,2022,41(11):123-132

[2]笪涵,胡圣波.基于Cholesky矩阵分解的贝叶斯压缩感知信号处理[J].贵州师范大学学报：自然科学版,2021,39(1):72-76

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