博弈论(二)完全信息静态博弈

 完全信息静态博弈(static games of complete information)。其中假设参与人是理性的(Rationality)，也就是参与人的目的是使得自己收益最大化，参与人是完美的计算者。并且参与人知道其它参与人是理性的。

Prisoners’ Dilemma

  上述例子就是完全信息静态博弈的例子。同时行动(simultaneous move)指的是每个参与人在选择他的策略时不知道其他参与人的选择。完全信息(complete information)指的是每个参与人的策略和收益函数都是所有参与人的共同知识(common konwledge)。

Normal-form (or strategic-form) representation

  一个博弈G GG的标准式(或策略式)包括：

2-player game

  如只有两个player，且每个player的策略有限，则可以用双变量矩阵来表示这个博弈：

  行和列表示策略可选策略，矩阵中的单元格表示策略组合。

Prisoners’ Dilemma

  在囚徒困境这个例子中参与人集合可表示为：{ P r i s o n e r 1 , P r i s o n e r 2 } ，策略集合S 1 = S 2 = { M u m , C o n f e s s } 收益函数可表示为：

  那么其双变量矩阵可表示为：

Iterated elimination of strictly dominated strategies

• 证明：https://www.bilibili.com/video/BV1wV411Z7Tr

Nash equilibrium

  纳什均衡是一个策略组合。其中，每个参与人选择的策略都是针对其他参与人选择策略的最优反应。

  更一般地考虑2-player game with strategies。S 1 = { s 11 , s 12 , s 13 } ，S 2 = { s 21 , s 22 }，如果u 1 ( s 11 , s 21 ) ≥ u 1 ( s 12 , s 21 ) ，且u 1 ( s 11 , s 21 ) ≥ u 1 ( s 13 , s 21 )。那么player1的策略s 11 是他对player2策略s 21 的最优反应。

  在一个两个参与人的博弈中，当且仅当两个参与人所选策略都为对方所选策略的最优反应时，那么这个策略是一个纳什均衡。

  在一个纳什均衡的策略组合上，每个参与人给定对方策略选择时最大化自己的收益了，不会有任何动机偏离当前的策略选择。

  再看一个纳什均衡解的问题：

Best Response Function

  最优反应(Best Response Function)定义：在标准式博弈(normal-form game) { S 1 , S 2 , ⋯   , S n , u 1 , u 2 , ⋯   , u n } 中，如果其它玩家1 , 2 , ⋯   , i − 1 , i + 1 , ⋯   , n 选择策略s 1 , ⋯   , s i − 1 , s i + 1 , ⋯   , s n ，对于参与人i 来说，如果策略s i s_{i}si带给他的收益不小于他在任何其它策略带给他的收益，那么这个策略s i 就是对于其他参与人所选策略的最优反应：

或者定义为一个最大化问题：

依据最优反应定义纳什均衡

Applications of Nash equilibrium

最优反应求解纯策略纳什均衡

严格剔除劣策略纳什均衡

Mixed strategy Nash equilibrium

  混合策略是指定一个实际行动，它是从纯策略集中以某些指定的概率被随机选择出来的。伴随着策略选择的随机化是参与人收益的随机化。因此需要引入期望收益(expected payoff)