1315：【例4.5】集合的划分

1315：【例4.5】集合的划分

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【题目描述】

设S是一个具有n个元素的集合，S＝〈a1，a2，……，an〉，现将S划分成k个满足下列条件的子集合S1，S2，……，Sk ，且满足：

1．Si≠∅

2．Si∩Sj＝∅  (1≤i，j≤k，i≠j)

3．S1∪S2∪S3∪…∪Sk＝S

则称S1，S2，……，Sk是集合S的一个划分。它相当于把S集合中的n个元素a1，a2，……，an放入k个(0＜k≤n＜30)无标号的盒子中，使得没有一个盒子为空。请你确定n个元素a1，a2，……，an放入k个无标号盒子中去的划分数S(n,k)。

【输入】

给出n和k。

【输出】

n个元素a1，a2，……，an放入k个无标号盒子中去的划分数S(n,k)。

【输入样例】

10 6

【输出样例】

22827

【来源】

No

【算法分析】

对于任一个元素an，则必然出现以下两种情况：    

1、｛an｝是k个子集中的一个，于是我们只要把a1，a2，……，an-1 划分为k－1子集，便解决了本题，这种情况下的划分数共有S(n－1，k－1)个；    

2、｛an｝不是k个子集中的一个，则an必与其它的元素构成一个子集。则问题相当于先把a1，a2，……，an-1 划分成k个子集，这种情况下划分数共有S(n－1，k)个；然后再把元素an加入到k个子集中的任一个中去，共有k种加入方式，这样对于an的每一种加入方式，都可以使集合划分为k个子集，因此根据乘法原理，划分数共有k * S(n－1，k)个。

    综合上述两种情况，应用加法原理，得出n个元素的集合｛a1，a2，……，an｝划分为k个子集的划分数为以下递归公式：S(n，k)＝S(n－1，k－1) + k * S(n－1，k) (n>k，k>0)。    

   下面，我们来确定S(n，k)的边界条件,首先不能把n个元素不放进任何一个集合中去，即k=0时，S(n，k)＝0；也不可能在不允许空盒的情况下把n个元素放进多于n的k个集合中去，即k＞n时,S(n，k)＝0；再者，把n个元素放进一个集合或把n个元素放进n个集合，方案数显然都是1，即k=1或k=n时，S(n,k)=1。

   因此，我们可以得出划分数S(n，k)的递归关系式为：

   S(n，k)＝S(n－1，k－1) + k * S(n－1，k)      (n>k，k>0)

   S(n，k)＝0                         (n<k)或(k＝0)

   S(n，k)＝1                         (k=1)或(k＝n)

1. #include<bits/stdc++.h>
2. using namespace std;
3. long long s(int n,int k){  
4.  if((n<k)||(k==0)) return 0;
5.  if((n==k)||(k==1)) return 1;
6.  return s(n-1,k-1)+k*s(n-1,k);
7. }
8. int main()
9. {
10.   int n,k;
11.   cin>>n>>k;
12.   cout<<s(n,k);
13.   return 0;
14.  }