8.1 理论基础

8.1.1 量子遗传算法概述

量子遗传算法(quantum genetic algorithm,QGA)是量子计算与遗传算法相结合的产物，是一种新发展起来的概率进化算法。遗传算法是处理复杂优化问题的一种方法，其基本思想是模拟生物进化的优胜劣汰规则与染色体的交换机制，通过选择、交叉、变异三种基本操作寻找最优个体。由于GA不受问题性质、优化准则形式等因素的限制，仅用目标函数在概率引导下进行全局自适应搜索，能够处理传统优化方法难以解决的复杂问题，具有极高鲁棒性和广泛适用性，因而得到了广泛应用并成为跨学科研究的热点。但是，若选择、交叉、变异的方式不当，GA会表现出迭代次数多、收敛速度慢、易陷入局部极值的现象。

量子计算中采用量子态作为基本的信息单元，利用量子态的叠加、纠缠和干涉等特性，通过量子并行计算可以解决经典计算中的NP问题。1994年Shor提出第一个量子算法，求解了大数质因子分解的经典计算难题，该算法可用于公开密钥系统RSA;1996年Grover提出随机数据库搜索的量子算法，在量子计算机上可实现对未加整理的数据库√N量级的加速搜索，量子计算正以其独特的计算性能迅速成为研究的热点。

量子遗传算法就是基于量子计算原理的一种遗传算法。将量子的态矢量表达引入遗传编码，利用量子逻辑门实现染色体的演化，实现了比常规遗传算法更好的效果。量子遗传算法建立在量子的态矢量表示的基础之上，将量子比特的几率幅表示应用于染色体的编码，使得一条染色体可以表达多个态的叠加，并利用量子逻辑门实现染色体的更新操作，从而实现了目标的优化求解。

8.1.2 量子比特编码

在量子计算机中，充当信息存储单元的物理介质是一个双态量子系统，称为量子比特。量子比特与经典位不同就在于它可以同时处在两个量子态的叠加态中，比如：

在量子遗传算法中，采用量子比特存储和表达一个基因。该基因可以为“0”态或“1”态，或它们的任意叠加态。即该基因所表达的不再是某一确定的信息，而是包含所有可能的信息，对该基因的任一操作也会同时作用于所有可能的信息。

采用量子比特编码使得一个染色体可以同时表达多个态的叠加，使得量子遗传算法比经典遗传算法拥有更好的多样性特征。采用量子比特编码也可以获得较好的收敛性，随着|α|²或|β|²趋于0或1,量子比特编码的染色体将收敛到一个单一态。

8.1.3 量子门更新

量子门作为演化操作的执行机构，可根据具体问题进行选择，目前已有的量子门有很多种，根据量子遗传算法的计算特点，选择量子旋转门较为合适。量子旋转门的调整操作为

8.2 案例背景

8.2.1 问题描述

复杂二元函数求最值

matlab代码及该函数的图形如下。

x = linspace(0, 12.1, 200);
y = linspace(4.1, 5.8, 200);
[x, y] = meshgrid(x,y);
f = 21.5+x.*sin(4*pi*x)+y.*sin(20*pi*y);
figure;
surf(x,y,f);
colormap(gca, 'jet')
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('f(x,y)');
title('函数图像')

从图8-1中可以看出，该非线性函数在给定范围内分布着许多局部极值，通常的寻优算法极易陷入局部极值或在各局部极值间振荡，比较适用于验证量子遗传算法的性能。

8.2.2 解题思路及步骤

1.量子遗传算法流程

量子遗传算法的算法流程如下：

(1)初始化种群Q(t0),随机生成n个以量子比特为编码的染色体；

(2)对初始种群Q(t0)中的每个个体进行一次测量，得到对应的确定解P(t0);

(3)对各确定解进行适应度评估；

(4)记录最优个体和对应的适应度；

(5)判断计算过程是否可以结束，若满足结束条件则退出，否则继续计算；

(6)对种群Q(t)中的每个个体实施一次测量，得到相应的确定解；

(7)对各确定解进行适应度评估；

(8)利用量子旋转门U(t)对个体实施调整，得到新的种群Q(t+1);

(9)记录最优个体和对应的适应度；

(10)将迭代次数t加1,返回步骤(5)。

对应的流程图如图8-2所示。

随后，算法进入循环迭代阶段，随着迭代的进行，种群的解逐渐向最优解收敛。在每一次迭代中，首先对种群进行测量，以获得一组确定解P(t),然后计算每个解的适应度值，再根据当前的演化目标和事先确定的调整策略，利用量子旋转门对种群中的个体进行调整，获得更新后的种群，记录下当前的最优解，并与当前的目标值进行比较，如果大于当前目标值，则以新的最优解作为下一次迭代的目标值，否则保持当前的目标值不变。

2.量子遗传算法实现

(1)量子比特编码

采用遗传算法中的二进制编码，对存在多态的问题进行量子比特编码，如两态用一个量子比特进行编码，四态用两个量子比特进行编码。该方法的优点是通用性好，且实现简单。采用多量子比特编码m个参数的基因如下：

(2)量子旋转门

量子遗传算法中，旋转门是最终实现演化操作的执行机构。这里使用一种通用的、与问题无关的调整策略，如表8-1所列。

8.3 MATLAB程序实现

8.3.1 种群初始化

种群初始化函数InitPop,得到初始种群的量子比特编码矩阵chrom。

function chrom=InitPop(M,N)
%% 初始化种群-量子比特编码
% M:为种群大小×2，(α和β)
% N:为量子比特编码长度
for i=1:M
    for j=1:N
        chrom(i,j)=1/sqrt(2);
    end
end

8.3.2 测量函数

对种群实施一次测量，得到二进制编码，函数名为collapse。

function binary=collapse(chrom)
%% 对种群实施一次测量 得到二进制编码
% 输入chrom ：为量子比特编码
% 输出binary：二进制编码
[M,N]=size(chrom);  %得到种群大小 和编码长度
M=M/2;  % 种群大小
binary=zeros(M,N);  %二进制编码大小初始化
for i=1:M
    for j=1:N
        pick=rand;  %产生【0,1】随机数
        if pick>(chrom(2.*i-1,j)^2)    % 随机数大于α的平方
            binary(i,j)=1;
        else
            binary(i,j)=0;
        end
    end
end

8.3.3 量子旋转门函数

旋转门是最终实现演化操作的执行机构，量子旋转门函数为Qgate。

function chrom=Qgate(chrom,fitness,best,binary)
%% 量子旋转门调整策略
% 输入  chrom：更新前的量子比特编码
%     fitness：适应度值
%        best：当前种群中最优个体
%      binary：二进制编码
% 输出  chrom：更新后的量子比特编码
sizepop=size(chrom,1)/2;
lenchrom=size(binary,2);
for i=1:sizepop
    for j=1:lenchrom
        A=chrom(2*i-1,j);   % α
        B=chrom(2*i,j);     % β
        x=binary(i,j);
        b=best.binary(j);
        if ((x==0)&(b==0))||((x==1)&(b==1))
            delta=0;                  % delta为旋转角的大小
            s=0;                        % s为旋转角的符号，即旋转方向
        elseif (x==0)&(b==1)&(fitness(i)<best.fitness)
            delta=0.01*pi;
            if A*B>0
                s=1;
            elseif A*B<0
                s=-1;
            elseif A==0
                s=0;
            elseif B==0
                s=sign(randn);
            end
        elseif (x==0)&(b==1)&(fitness(i)>=best.fitness)
            delta=0.01*pi;
            if A*B>0
                s=-1;
            elseif A*B<0
                s=1;
            elseif A==0
                s=sign(randn);
            elseif B==0
                s=0;
            end
        elseif (x==1)&(b==0)&(fitness(i)<best.fitness)
            delta=0.01*pi;
            if A*B>0
                s=-1;
            elseif A*B<0
                s=1;
            elseif A==0
                s=sign(randn);
            elseif B==0
                s=0;
            end
        elseif (x==1)&(b==0)&(fitness(i)>=best.fitness)
            delta=0.01*pi;
            if A*B>0
                s=1;
            elseif A*B<0
                s=-1;
            elseif A==0
                s=0;
            elseif B==0
                s=sign(randn);
            end
        end
        e=s*delta;       % e为旋转角
        U=[cos(e) -sin(e);sin(e) cos(e)];      % 量子旋转门
        y=U*[A B]';        % y为更新后的量子位
        chrom(2*i-1,j)=y(1);
        chrom(2*i,j)=y(2);
    end
end

8.3.4 适应度函数

这里以求解最大值问题为例进行说明，如果是求解最小值问题，可以转变成求最大值问题(加个负号即可),目标值越大的个体，其适应度值也应该越大，所以可以直接将所优化的目标函数作为适应度函数。适应度主函数FitnessFunction的代码：

function [fitness,X]=FitnessFunction(binary,lenchrom)
%% 适应度函数
% 输入  binary：二进制编码
%     lenchrom：各变量的二进制位数
% 输出 fitness：适应度
%            X：十进制数（待优化参数）
sizepop=size(binary,1);
fitness=zeros(1,sizepop);
num=size(lenchrom,2);
X=zeros(sizepop,num);
for i=1:sizepop
    [fitness(i),X(i,:)]=Objfunction(binary(i,:),lenchrom);         % 使用目标函数计算适应度
end

其中，函数Objfunction是待优化的目标函数，这里以8.2.1节中的函数为例进行说明。函数Objfunction的代码：

function [Y,X]=Objfunction(x,lenchrom)
%% 目标函数
% 输入     x：二进制编码
%   lenchrom：各变量的二进制位数
% 输出     Y：目标值
%          X：十进制数
bound=[-3.0 12.1;4.1 5.8];   % 函数自变量的范围
%% 将binary数组转化成十进制数组
X=bin2decFun(x,lenchrom,bound);
%% 计算适应度-函数值
Y=sin(4*pi*X(1))*X(1)+sin(20*pi*X(2))*X(2);

其中，函数bin2decFun是将二进制编码转换成十进制数，其代码如下：

function X=bin2decFun(x,lenchrom,bound)
%% 二进制转化成十进制
% 输入      x：二进制编码
%    lenchrom：各变量的二进制位数
%       bound：各变量的范围
% 输出      X：十进制数
M=length(lenchrom);
n=1;
X=zeros(1,M);
for i=1:M
    for j=lenchrom(i)-1:-1:0
        X(i)=X(i)+x(n).*2.^j;
        n=n+1;
    end
end
X=bound(:,1)'+X./(2.^lenchrom-1).*(bound(:,2)-bound(:,1))';

8.3.5 量子遗传算法主函数

量子遗传算法主函数代码如下：

clc;
clear all;
close all;
%----------------参数设置-----------------------
MAXGEN=200;                        % 最大遗传代数
sizepop=40;                        % 种群大小
lenchrom=[20 20];          % 每个变量的二进制长度
trace=zeros(1,MAXGEN);
%--------------------------------------------------------------------------      
best=struct('fitness',0,'X',[],'binary',[],'chrom',[]);   % 最佳个体 记录其适应度值、十进制值、二进制编码、量子比特编码
%% 初始化种群
chrom=InitPop(sizepop*2,sum(lenchrom));
%% 对种群实施一次测量 得到二进制编码
binary=collapse(chrom); 
%% 求种群个体的适应度值，和对应的十进制值
[fitness,X]=FitnessFunction(binary,lenchrom);         % 使用目标函数计算适应度
%% 记录最佳个体到best
[best.fitness bestindex]=max(fitness);     % 找出最大值
best.binary=binary(bestindex,:);
best.chrom=chrom([2*bestindex-1:2*bestindex],:);
best.X=X(bestindex,:);
trace(1)=best.fitness;
fprintf('%d\n',1)
%% 进化
for gen=2:MAXGEN
    fprintf('%d\n',gen)  %提示进化代数
    %% 对种群实施一次测量
    binary=collapse(chrom);
    %% 计算适应度
    [fitness,X]=FitnessFunction(binary,lenchrom);
    %% 量子旋转门
    chrom=Qgate(chrom,fitness,best,binary);
    [newbestfitness,newbestindex]=max(fitness);    % 找到最佳值
    % 记录最佳个体到best
    if newbestfitness>best.fitness
        best.fitness=newbestfitness;
        best.binary=binary(newbestindex,:);
        best.chrom=chrom([2*newbestindex-1:2*newbestindex],:);
        best.X=X(newbestindex,:);
    end
    trace(gen)=best.fitness;
end
%% 画进化曲线
plot(1:MAXGEN,trace);
title('进化过程');
xlabel('进化代数');
ylabel('每代的最佳适应度');
%% 显示优化结果
disp(['最优解X：',num2str(best.X)])
disp(['最大值Y:',num2str(best.fitness)]);