本章重点
（1）算法效率（2）时间复杂度（3）空间复杂度（4）常见的时间复杂度以及复杂度oj练习
衡量一个算法的好坏，是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。时间复杂度主要衡量一个算法运行的快慢，空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。
一 时间复杂度
2.1 时间复杂度的概念
算法的时间复杂度是一个函数（指的是数学函数），算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
1. void Func1(int N) 2. { 3. int count = 0; 4. for (int i = 0; i < N; ++i) 5. { 6. for (int j = 0; j < N; ++j) 7. { 8. ++count; 9. } 10. } 11. //N*N 12. for (int k = 0; k < 2 * N; ++k) 13. { 14. ++count; 15. } 16. //2*N 17. int M = 10; 18. while (M--) 19. { 20. ++count; 21. } 22. //M=10 23. printf("%d\n", count); 24. }
（1）时间复杂度表达式为：F（N） = N*N+2 * N + 10
（2）大O渐进表示法：O(N^2)
这个函数的基本操作次数是：F（N） = N*N+2 * N + 10，随着N的增大，后两项对整个影响的结果变可以忽略不计小。当N无限大的时候，后两项对结果的影响
实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。
2.2 大O的渐进表示法
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
4.另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况： 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界) ；平均情况：任意输入规模的期望运行次数 ；最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)；在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
2.3 常见的时间复杂度的计算
代码一：
1. void Func4(int N) 2. { 3. int count = 0; 4. for (int k = 0; k < 100; ++k) 5. { 6. ++count; 7. } 8. printf("%d\n", count); 9. }
时间复杂度为O（1）【因为大O的渐进表示法的第一条用常数1取代运行时间中的所有加法常数。】（我们可以看到执行次数为100）（所以，看到大O的渐进表示法，并不是让我们只能执行一次）（常数都是1）
代码二：
1. void Func2(int N) 2. { 3. int count = 0; 4. for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k) 5. { 6. ++count; 7. } 8. int M = 10; 9. while (M--) 10. { 11. ++count; 12. } 13. printf("%d\n", count); 14. }
时间复杂度为O(N)[大O的渐进表示法，第三条：如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。【实际的执行次数是：2*N+10】
代码三：
1. void Func3(int N, int M) 2. { 3. int count = 0; 4. for (int k = 0; k < M; ++k) 5. { 6. ++count; 7. } 8. for (int k = 0; k < N; ++k) 9. { 10. ++count; 11. } 12. printf("%d\n", count); 13. }
时间复杂度为O(N+M);如果给出N远大于M，就可以写成O(N)；如果给出N和M差不多就可以写成O(N)或者O(M)；该代码什么都没有给，所以就是O(M+N)；
代码4
1. const char* strchr(const char* str, int character) 2. { 3. while (*str) 4. { 5. if (*str == character) 6. return str; 7. else 8. ++str; 9. } 10. return NULL; 11. }
时间复杂度为O(N)；因为不确定什么时候被找到，第四条：在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
关于时间复杂度，我们要准确分析时间复杂度，一定要去看思想，不能仅仅去看程序是几层循环，主要是要看代码的思想。比如：冒泡排序（O(N^2)），就是N-1,N-2,N-3……2,1,是一个等差数列（N-1+1）(N-1)/2=N(N-1)【这是最差情况】，N-1【最好的情况】。
二分查找的时间复杂度：O(㏒₂N )【最好的情况：O(1)一次找到； 最差的情况(找不到的情况）：O(log2 N ) （1*2*2*2…2)^X(次）= N(从找不到的时候，向前思想】
时间复杂度，会把O（㏒₂N）简写成O(logN).有些书籍也会写成O(lgN)（这个是不正规的）
代码5
1. long long Fac(size_t N) 2. {//阶乘 3. if (0 == N) 4. return 1; 5. 6. return Fac(N - 1) * N; 7. }
时间复杂度为O(N)，；实际上是N+1
代码6
1. long long Fac(size_t N) 2. { 3. if (0 == N) 4. return 1; 5. for (size_t i = 0; i < N; ++i) 6. { 7. printf("%d", i); 8. } 9. printf("\n"); 10. 11. return Fac(N - 1) * N; 12. }
时间复杂度为O(N^2)，；实际上是(N-1)+（n-2）+……+1+0
递归算法的时间复杂度：1、每次函数调用如果是是O(1)，那么就看他的递归次数（递归次数是多少，时间复杂度就是多少)（代码5）
2、如果不是O(1)，那么就看他的递归调用次数的累加（每次递归，函数调用的累加）（代码6）
代码7
1. long long Fib(size_t N) 2. { 3. if(N < 3) 4. return 1; 5. 6. return Fib(N-1) + Fib(N-2); 7. } 8. //斐波那契数列 9. //符合递归算法的第一种
时间复杂度为O(2^N)，第一层调用一次，第二层 调用2次，第三层调用4次 ，一直到Fib（3）分成Fib（2）+Fib（1），那就是N-1层（假设每一层都是满的，起始并不是每一层都是满的），那最后一层就是2^(N-1)，然后就是等比数列相加，就是(2^n-1)-1,
二 空间复杂度
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度算的是变量的个数,空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。 注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定
代码一：
1. void BubbleSort(int* a, int n) 2. { 3. assert(a); 4. for (size_t end = n; end > 0; --end) 5. { 6. int exchange = 0; 7. for (size_t i = 1; i < end; ++i) 8. { 9. if (a[i - 1] > a[i]) 10. { 11. Swap(&a[i - 1], &a[i]); 12. exchange = 1; 13. } 14. } 15. if (exchange == 0) 16. break; 17. } 18. }
空间复杂度为O(1)，临时占用储存空间的变量有i、exchange、end，一共三个。
代码2
1. long long* Fibonacci(size_t n) 2. { 3. if (n == 0) 4. return NULL; 5. 6. long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long)); 7. fibArray[0] = 0; 8. fibArray[1] = 1; 9. for (int i = 2; i <= n; ++i) 10. { 11. fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2]; 12. } 13. return fibArray; 14. }
空间复杂度为O(N)，临时占用储存空间有指针开辟的空间n+1个,指针fibArray,i;一共n+3个
代码3
1. long long Fac(size_t N) 2. { 3. if(N == 0) 4. return 1; 5. 6. return Fac(N-1)*N; 7. }
空间复杂度为O(N)， 递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)
代码4
1. long long Fib(size_t N) 2. { 3. if(N < 3) 4. return 1; 5. 6. return Fib(N-1) + Fib(N-2); 7. }
时间复杂度为O(2^N),空间复杂度为O(N)，会误认为空间复杂度也是O(2^N),但是递归的调用的函数，调用完之后就销毁了，把空间还给系统了，下次调用的时候，再次开辟，空间又被使用，空间是可以重复利用。所以仍然是那一份空间。（局部变量存在栈上面，函数结束，局部变量也就销毁了）
知识点：时间一去不复返，是累积的，空间回收以后，可以重复利用。
三 常见复杂度对比
一些常见的复杂度
四 复杂度的oj练习
4.1 消失的数字
数组nums包含从0到n的所有整数，但其中缺了一个。请编写代码找出那个缺失的整数。(时间复杂度为O(N)
输入：[3,0,1]输出：2；
思路一:先排序，然后进行遍历（冒泡O(N^2），看是否是前一个数字+1得到的值（但是时间复杂度不符合题意）
思路二:映射方式（首先定义一个数组，里面的值全部赋值成-1，然后输入的数组，每一个值是多少，就作为下标对应的位置写多少）（时间复杂度为：O(N)）
思路三:异或（用一个val和0-N的数字异或，再和数据中的数字异或，最后cal中得知就是缺失的值）（O(N)）
思路三:等差数列(O(N))
代码1展示：（思路三）函数接口型
1. int missingNumber(int* nums, int numsSize){ 2. int x = 0; 3. for (int i = 0; i < numsSize; ++i) 4. { 5. x ^= nums[i]; 6. } 7. for (int i = 0; i < numsSize + 1; ++i) 8. { 9. x ^= i; 10. } 11. return x; 12. 13. }
4.2 旋转数字
给定一个整数数组 nums，将数组中的元素向右轮转 k 个位置，其中 k 是非负数。输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 3输出: [5,6,7,1,2,3,4]解释:向右轮转 1 步: [7,1,2,3,4,5,6]向右轮转 2 步: [6,7,1,2,3,4,5]向右轮转 3 步: [5,6,7,1,2,3,4]
思路一:右旋K次（每次右旋一次）【时间复杂度为O(N*K)；空间复杂度为O(1)】（时间复杂度的k最大为N-1），最坏的结果为O(N^2)）
思路二:开设一个新的数组，把后k个放到新数组的前面，前面的依次放到后面【时间复杂度O(N),空间复杂度O(N)】 (这种方法比第一种，就是时间换取空间的算法）
思路三:三趟逆置【时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)】
(思路一和思路三在C语言进阶栏目-C进阶习题里面有详细说明 http://t.csdn.cn/sFLCM）
思路三：（函数接口型）
1. void reverse(int* arr,int left, int right) 2. { 3. while (left < right) 4. { 5. int tmp = arr[left]; 6. arr[left] = arr[right]; 7. arr[right] = tmp; 8. ++left; 9. --right; 10. } 11. } 12. void rotate(int* nums, int numsSize, int k){ 13. int m = k % numsSize; 14. reverse(nums, 0, numsSize - m - 1); 15. reverse(nums, numsSize - m, numsSize - 1); 16. reverse(nums, 0, numsSize -1); 17. }
