I.树的概念及结构
树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由 n（n >= 0）个有限节点组成的一个具有层次关系的集合。
那么为什么叫 "树" 呢？
我们之所以把它成为 "树"，是因为它很像我们现实生活中的树。只是它是倒过来的，根朝上叶子朝下。
树的结构
特点：
有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的。
注意：
- 树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。
- 除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点。
- 一颗N个结点的树由N-1条边。
树的专有名词
专有名词：
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；
最近公共祖先：距离某些结点最近的祖先，比如P和Q的最近公共祖先为J，K和F的最近公共祖先为F。结点本身也可以成为自己的祖先
树的表示
以前学单链表时只有一个指针，双链表两个指针，但是树有多少个指针是不确定的，因为树没有规定一个节点最多有多少个孩子。那我们该如何定义结构呢？
如若知道树的度，那就很好定义了:
//假设指定树的度，可以直接定义 #define N 5 struct TreeNode { int data; struct TreeNode* subs[N]; //指针数组，每个结点存5个 };
但是又有一个缺陷，既然树的度为5，但是你这样设定只会导致每个结点的度均为5，可实际上只要保证每个结点的度<=5即可，由此可见，此法开辟造成空间浪费。此外，如果不知道树的度，那么用上述方法定义就比较困难了
问题点：
① 可能会存在不少的空间浪费。
② 万一没有限定树的度为多少呢？这个方式就废了。
树的表示最佳方法：孩子兄弟表示法
typedef int DataType; struct Node { struct Node* _firstChind1; // 永远指向第一个孩子 struct Node* _pNextBrother; // 指向孩子右边的兄弟 DataType _data; };
既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
假设我们要表示如下的树就可以如下图注意理解
物理结构如下：
原理：
由上图代码图画演示及树的样子得知，根结点A是有B和C两个孩子的，永远让A的leftchild指向第一个孩子B，A的其它孩子C让B的兄弟指针去指向，C没有兄弟了，直接指向NULL。同理，B有3个孩子，让leftchild指针指向第一个孩子D，再让D的兄弟指针指向下一个E，以此类推……
解读：
无论你有多少个孩子，它都只存两个指针。一个指针永远指向第一个孩子，另一个指针指向孩子右边的兄弟（亲兄弟）。这个树的度无论为多少，也不需要用顺序表存，但是你任何一个节点有多少个孩子都能给你表示出来，通过第一个孩子把所有孩子都找出来。不复杂也没有浪费，只用两个指针就把链接关系都表示出来了
树在实际中的运用
文件系统的目录树结构、网络拓扑，最短路径问题，搜索引擎、思维导图等
II.二叉树的概念及结构
二叉树的概念
二叉树：度为2的树，一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
- 或者为空
- 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
从上图可以看出：
- 二叉树不存在度大于2的结点
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
特殊的二叉树
满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2^k -1 ，则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
简单来说，满二叉树的每个结点的度均为2，满二叉树是完全二叉树的特殊情况。当深度为K时，完全二叉树就是在【1，k-1】层的区间内均为满二叉树，只有最后一层第K层不满，但是最后一层是从左往右连续的。图示：
二叉树的性质
性质1：若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.
性质2：若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h - 1 .
性质3：对任何一棵非空二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有n0 ＝n2 ＋1
性质4：若规定根节点的层数为1，具有N个结点的满二叉树的深度，h= log2(N+1) .
性质5：对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子
满二叉树计算公式：
- 已知层数求总数：
- 已知总数求层数：
完全二叉树小知识：
- 完全二叉树中，度为 1 的最多只有 1 个。
- 高度为
的完全二叉树节点范围是 
对于性质5计算左右孩子：
假设 
是父节点在数组中的下标，此公式仅适用于完全二叉树：
① 求左孩子： 
② 求右孩子：
③ 求父亲（假设不关注是左孩子还是右孩子）： 
④ 判断是否有左孩子： 
⑤ 判断是否由右孩子： 
解析：
由图中不难发现，所有左孩子的下标均为奇数，而右孩子下标均为偶数，所以不难得出左右孩子的表达式。相反可以推出父亲的表达式。
- 但是父亲的式子中，只是(child - 1) / 2，并没有区分左右孩子，这是为什么呢？
这里我们假设leftchild和rightchild的下标均为3，算出来的parent下标不难发现均为1，同理左右孩子下标均为4时，父亲的下标算出来都是1，由此规律可得知直接用child下标表示父亲即可，无需区分左右孩子。
III.例题巩固
1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A. 不存在这样的二叉树
B. 200
C. 198
D. 199
解：
由性质可知n0总是比n2度为2的结点多1，所以n0=200，选B
2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A. n
B. n+1
C. n-1
D. n/2
解：
设度为i的节点个数为ni，那么结点总个数就是这些结点的总和，即n=n0+n1+n2+n3+……+n(i-1)+n(i)
所以总节点数2n=n0+n1+n2
由性质n0-1=n2，则式子变为n0-1+n1+n0=2n
又因为是完全二叉树，n不可能出现小数，所以n1=1
综上，n0=n，选A
3. 一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A. 11
B. 10
C. 8
D. 12
解：
已知层数求总数：
1024=2^10;
512=2^9;
易知h大于9层不足10层，选B
5. 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A. 383
B. 384
C. 385
D. 386
解：
n=n0+n1+n2
n0-1=n2
因完全二叉树，n1只能为0或1，又要确保结果是整数,所以n1=0
选B
6. 在一颗度为3的树中，度为3的结点有2个，度为2的结点有1个，度为1的结点有2个,则叶子结点有（）个
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
解：
由结点总数和边数的关系：结点总数是n，那么边数就是n-1；
设度为i的节点个数为ni，那么结点总个数就是这些结点的总和，即n=n0+n1+n2+n3+……+n(i-1)+n(i)
因为是度为3的数:n=n0+n1+n2+n3
总边数与度之间的关系为n-1=0*n0+1*n1+2*n2+3*n3
根据题意：n3=2，n2=1，n1=2
联立两个方程求解,可以得到n0 = n2 + 2n3 + 1, n0=6
所以选C
