1 梯度下降算法原理
梯度下降是一种常用的优化算法，可以用来求解许包括线性回归在内的许多机器学习中的问题。前面讲解了直接使用公式求解θ \thetaθ (最小二乘法的求解推导与基于Python的底层代码实现)，但是对于复杂的函数来说，可能较难求出对应的公式，因此需要使用梯度下降。
假设我们要求解的线性回归公式是：
其中 y 是因变量，β i \beta_iβ i 是回归系数，x i x_ix i 是自变量，ϵ \epsilonϵ 是误差项我们的目标是找到一组回归系数 β i \beta_iβ i使得模型能够最小化误差。
使用梯度下降算法求解线性回归可以分为以下步骤：
随机初始化回归系数 β i \beta_iβ i
计算模型的预测值 y ^ \hat{y}
计算误差（或损失函数）：
其中 m 是样本数量，y i y_iy i 是第 i ii 个样本的真实值，y i ^ \hat{y_i} 是对应的预测值。
计算误差对于每个回归系数的偏导数：
其中 x i j x_{ij}x ij 是第 i ii 个样本的第 j jj 个特征值。
使用梯度下降更新回归系数
其中 α \alphaα 是学习率，用来控制更新的步长。
重复步骤 2-5多次，直到误差达到某个预定的阈值或者达到预设的迭代次数。
梯度下降算法会不断迭代，直到误差最小化。通过不断更新回归系数，模型逐渐拟合数据，从而得到最终的结果。
（非常经典的图，已经要盘包浆了）
2 一元函数梯度下降示例代码
导入此次代码所需的包，设置绘图时正常处理中文字符。
import numpy as np import matplotlib as mpl import matplotlib.pyplot as plt mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei'] mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
定义本次要模拟的函数。为了方便起见，这里直接对函数的导数进行了定义。也可根据需要调包求梯度或者自己写一个求偏导的类。
# 一维原始图像 def f1(x): return 0.5 * (x - 2) ** 2 # 导函数 def h1(x): return 0.5 * 2 * (x - 2)
初始化梯度下降中的参数
GD_X = [] GD_Y = [] x = 4 alpha = 0.1 f_change = 1 f_current = f1(x) GD_X.append(x) GD_Y.append(f_current) iter_num = 0
此处GD_X与GD_Y两个列表分别用于存储梯度下降的每一步取值，用于后面的画图。x是梯度下降的起点，可设置为随机数。f_change用于存储执行每次循环之后，y的变化值。此处赋值的意义仅在于确保能进入下面的循环而不会报错。iter_num用于记录循环执行的次数。alpha学习率，取值过大容易难以收敛，取值过小容易增加计算量。
4. 梯度下降步骤的循环
while f_change > 1e-10 and iter_num < 1000: iter_num += 1 x = x - alpha * h1(x) tmp = f1(x) f_change = np.abs(f_current - tmp) f_current = tmp GD_X.append(x) GD_Y.append(f_current)
循环结束的标准为：两次循环的y值变化（即f_change）小于1e-10或循环次数大于100。
每次循环，x的变化量都是学习率乘以这一点的梯度。之后计算变化后x对应的y和变化前x对应的外，获得两次y的差值。并将每次运行的结果使用append保存到列表之中。
5. 结果输出
print(u"最终结果为:(%.5f, %.5f)" % (x, f_current)) print(u"迭代次数:%d" % iter_num) 1
2
大概100次后，我们找到了损失函数最小值所对应的x。
6. 结果绘图
X = np.arange(-2, 6, 0.05) Y = np.array(list(map(lambda t: f1(t), X))) plt.figure(facecolor='w') plt.plot(X, Y, 'r-', linewidth=2) plt.plot(GD_X, GD_Y, 'bo--', linewidth=2) plt.title(f'函数$y=0.5 * (θ - 2)^2$ \n学习率:{alpha:.3f} 最终解:x={x:.3f} y={f_current:.3f} 迭代次数:{iter_num}') plt.show()
可以自行尝试不同的起点，不同的学习速率对结果的影响。
3 多元函数梯度下降示例代码
当变量数为2时，梯度下降可以使用3维绘图展示。当变量书超过2时，损失函数变为超平面难以展示，因此此处以二元函数为例。
定义本次要模拟的函数。
# 二元函数定义 def f2(x, y): return (x - 2) ** 2 + 2* (y + 1) ** 2 # 偏导数 def hx2(x, y): return 2*(x - 2) def hy2(x, y): return 4*(y + 1) 1
与一元函数相同，我们对函数的偏导数直接定义，减少非本博客相关的代码。
2. 初始化梯度下降中的参数
GD_X1 = [] GD_X2 = [] GD_Y = [] x1 = 4 x2 = 4 alpha = 0.01 f_change = 1 f_current = f2(x1, x2) GD_X1.append(x1) GD_X2.append(x2) GD_Y.append(f_current) iter_num = 0
这里与一元函数的参数基本相同，只是多了一个用于存储额外维度的listGD_X2。
3. 梯度下降步骤的循环
while f_change > 1e-10 and iter_num < 1000: iter_num += 1 prex1 = x1 prex2 = x2 x1 = x1 - alpha * hx2(prex1, prex2) x2 = x2 - alpha * hy2(prex1, prex2) tmp = f2(x1, x2) f_change = np.abs(f_current - tmp) f_current = tmp GD_X1.append(x1) GD_X2.append(x2) GD_Y.append(f_current) print(u"最终结果为:(%.3f, %.3f, %.3f)" % (x1, x2, f_current)) print(u"迭代次数:%d" % iter_num)
此处的逻辑与一元函数基本相同。对于每一个x，都使用对应的偏导数乘以学习速率，从而获得新的x值。如果是二元以上的多元函数同理。
运行结果为：
绘图
X1 = np.arange(-5, 5, 0.2) X2 = np.arange(-5, 5, 0.2) X1, X2 = np.meshgrid(X1, X2) Y = np.array(list(map(lambda t: f2(t[0], t[1]), zip(X1.flatten(), X2.flatten())))) Y.shape = X1.shape fig = plt.figure(facecolor='w') ax = Axes3D(fig) ax.plot_surface(X1, X2, Y, rstride=1, cstride=1, cmap=plt.cm.jet, alpha=0.8) ax.plot(GD_X1, GD_X2, GD_Y, 'ko-') ax.set_xlabel('x') ax.set_ylabel('y') ax.set_zlabel('z') plt.show()
对于三维数据，我们使用meshgrid构建了绘图网格，用于绘制函数图像。在绘制完函数图像的基础上，绘制梯度下降每一步的图像。绘制折线图时，ko-代表黑色、圆点、虚线。
（3D图像建议设置为单独显示，方便拖动视角查看）
实际上，梯度下降的种类也有很多，比如随机梯度下降、批量梯度下降，小批量梯度下降。这些内容将会在下一篇博客中进行讲解。
