6.1.概述
二叉搜索树存在一个问题，就是树的姿态和数据的插入顺序是有关系的，有时候树会变成某一边的子树高度过高，甚至直接退化成斜二叉树，使得查找从二分查找跌落为顺序查找：
保证任意结点左右子树的高度一致，便可以保证树的查询效率为最优，但是此种情况过于理想，难以达到，因此允许左右子树的高度间存在差异，于是出现了平衡二叉树，即任意结点左右子树高度差不超过1：
每次操作后出现有结点的左右子树高度差超过1的情况时，树会自己进行调整姿态，重新达到平衡。
平衡二叉树只是一种思想，有很多种实现，常见的实现有红黑树、AVL、Treap、伸展树等。
6.2.AVL树
6.2.1.概述
AVL是出现的第一种平衡二叉树，每当插入元素，造成AVL树的不平衡后，它会通过旋转的方式调整最小不平衡树，从而将树调整平衡。插入后造成不平衡的元素叫“破坏者”，最小不平衡树的根节点叫“被破坏者”。
最小不平衡树，即从高度差超过1的两条分支开始向上找，找到它们的第一个共同父结点，以这个父节点为根结点的子树就是最小不平衡树。
AVL的旋转有四种：
RR旋转
LL旋转
LR旋转
RL旋转
6.2.2.旋转
1.RR旋转
“破坏者”在右子树的右子树，执行RR旋转，将“被破坏者”的右孩子提为根节点，该右孩子的左子树移植为“被破坏者”的右子树。
2.LL旋转
“破坏者”在左子树的左子树，就执行LL旋转，将“被破坏者”压为“破坏者”父节点的右孩子，“破坏者”父节点往上走一层。
3.LR旋转
破坏者在左子树的右子树，就执行LR旋转，步骤和LL旋转相同，将“被破坏者”压为“破坏者”父节点的右孩子，“破坏者”父节点往上走一层。
4.RL旋转
破坏者在右子树的左子树执行RL旋转，调整被破坏者，被破坏者的R，以及被破坏者R的L（这里可能有点晕，其实仔细观察会发现其实就是契合右子树的左子树这个位置关系。），被破坏者的R提上，被破坏者的R的L不变。
6.2.3.代码实现
public class AvlTree<T extends Comparable<? super T>> { private AvlNode<T> root; public void insert(T x) { root = insert(x, root); } public void remove(T x) { root = remove(x, root); } public T findMin() { return findMin(root).element; } public void makeEmpty() { root = null; } public boolean isEmpty() { return root == null; } /** * 添加节点 * * @param x 插入节点 * @param t 父节点 */ private AvlNode<T> insert(T x, AvlNode<T> t) { //如果根节点为空，则当前x节点为根及诶单 if (null == t) { return new AvlNode(x); } int compareResult = x.compareTo(t.element); //小于当前根节点 将x插入根节点的左边 if (compareResult < 0) { t.left = insert(x, t.left); } else if (compareResult > 0) { //大于当前根节点 将x插入根节点的右边 t.right = insert(x, t.right); } else { } return balance(t); } private static final int ALLOWED_IMBALANCE = 1; private AvlNode<T> balance(AvlNode<T> t) { if (t == null) { return t; } if (height(t.left) - height(t.right) > ALLOWED_IMBALANCE) { if (height(t.left.left) >= height(t.left.right)) { t = rotateWithLeftChild(t); } else { t = doubleWithLeftChild(t); } } else if (height(t.right) - height(t.left) > ALLOWED_IMBALANCE) { if (height(t.right.right) >= height(t.right.left)) { t = rotateWithRightChild(t); } else { t = doubleWithRightChild(t); } } t.height = Math.max(height(t.left), height(t.right)) + 1; return t; } private AvlNode<T> doubleWithRightChild(AvlNode<T> k3) { k3.right = rotateWithLeftChild(k3.right); return rotateWithRightChild(k3); } private AvlNode<T> rotateWithRightChild(AvlNode<T> k2) { AvlNode k1 = k2.right; k2.right = k1.left; k1.left = k2; k2.height = Math.max(height(k2.right), height(k2.left)) + 1; k1.height = Math.max(height(k1.right), k2.height) + 1; return k1; } private AvlNode<T> doubleWithLeftChild(AvlNode<T> k3) { k3.left = rotateWithRightChild(k3.left); return rotateWithLeftChild(k3); } private AvlNode<T> rotateWithLeftChild(AvlNode<T> k2) { AvlNode k1 = k2.left; k2.left = k1.right; k1.right = k2; k2.height = Math.max(height(k2.left), height(k2.right)) + 1; k1.height = Math.max(height(k1.left), k2.height) + 1; return k1; } private int height(AvlNode<T> t) { return t == null ? -1 : t.height; } /** * 删除节点 * * @param x 节点 * @param t 父节点 */ private AvlNode<T> remove(T x, AvlNode<T> t) { if (null == t) { return t; } int compareResult = x.compareTo(t.element); //小于当前根节点 if (compareResult < 0) { t.left = remove(x, t.left); } else if (compareResult > 0) { //大于当前根节点 t.right = remove(x, t.right); } else if (t.left != null && t.right != null) { //找到右边最小的节点 t.element = findMin(t.right).element; //当前节点的右边等于原节点右边删除已经被选为的替代节点 t.right = remove(t.element, t.right); } else { t = (t.left != null) ? t.left : t.right; } return balance(t); } /** * 找最小节点 * * @param root 根节点 */ private AvlNode<T> findMin(AvlNode<T> root) { if (root == null) { return null; } else if (root.left == null) { return root; } return findMin(root.left); } /** * 找最大节点 * * @param root 根节点 */ private AvlNode<T> findMax(AvlNode<T> root) { if (root == null) { return null; } else if (root.right == null) { return root; } else { return findMax(root.right); } } public void printTree() { if (isEmpty()) { System.out.println("节点为空"); } else { printTree(root); } } public void printTree(AvlNode<T> root) { if (root != null) { System.out.print(root.element); if (null != root.left) { System.out.print("左边节点" + root.left.element); } if (null != root.right) { System.out.print("右边节点" + root.right.element); } System.out.println(); printTree(root.left); printTree(root.right); } } }
