对于一个矩阵，如果它的列向量之间线性无关，那么它就可以分解成$A = Q \cdot R$。
$Q$是一个标准正交矩阵
$R$是一个上三角形式的矩阵
矩阵$A$的$A = Q \cdot R$这种形式的分解称为$QR分解$。
获取一个列向量之间线性无关的矩阵$A$的标准正交矩阵$Q$，实际上就是对矩阵$A$的列向量执行Gram-Schmidt过程，因为矩阵$A$的列向量之间线性无关，所以可以把它们当成空间的一组基来处理。
QR分解实际上是Gram-Schmidt过程的逆过程:
Gram-Schmidt过程是给定空间的一组基求取空间的正交基的过程:
如果已知一组基:$\vec v_1 , \vec v_2 , \cdots , \vec v_n$，相应的求出这组基所代表的$n$维空间的一组正交基的过程就是:
$\vec p_1 = \vec v_1$
$\vec p_2 = \vec v_2 - \frac {\vec p_1 \cdot \vec v_2}{\|{\vec p_1}\|} \cdot {\vec p_1}$
$\vec p_3 = \vec v_3 - \frac {\vec p_1 \cdot \vec v_3}{\|{\vec p_1}\|} \cdot {\vec p_1} - \frac {\vec p_2 \cdot \vec v_3}{\|{\vec p_2}\|} \cdot {\vec p_2}$
$\vec p_4 = \vec v_4 - \frac {\vec p_1 \cdot \vec v_4}{\|{\vec p_1}\|} \cdot {\vec p_1} - \frac {\vec p_2 \cdot \vec v_4}{\|{\vec p_2}\|} \cdot {\vec p_2} - \frac {\vec p_3 \cdot \vec v_4}{\|{\vec p_3}\|} \cdot {\vec p_3}$
...
$\vec p_n = \vec v_n - \frac {\vec p_1 \cdot \vec v_n}{\|{\vec p_1}\|} \cdot {\vec p_1} - \frac {\vec p_2 \cdot \vec v_n}{\|{\vec p_2}\|} \cdot {\vec p_2} - \frac {\vec p_3 \cdot \vec v_n}{\|{\vec p_3}\|} \cdot {\vec p_3} - \cdots - \frac {\vec p_{n-1} \cdot \vec v_n}{\|{\vec p_{n-1}}\|} \cdot {\vec p_{n-1}}$
对于矩阵$A$通过Gram-Schmidt过程，就可以将列向量$\vec v_1 , \vec v_2 , \cdots , \vec v_n$处理成一组正交向量组$\vec p_1 , \vec p_2 , \cdots , \vec p_n$;
继续将正交向量组的向量进行规范化$\hat u = \frac {\vec u}{\|\vec u\|}$处理，最后就得到了矩阵的列向量的标准正交向量组$\vec q_1 , \vec q_2 , \cdots , \vec q_n$
将这组标准正交向量组按列向量的方式排列就得到了标准正交矩阵$Q= \left (\begin{array} , \ | \ \ \ \ |\ \ \ \ |\ \ \ \ \cdots \ \ \ | \\ \vec q_1,\vec q_2,\vec q_3,\cdots ,\vec q_n \\ \ | \ \ \ \ |\ \ \ \ |\ \ \ \ \cdots \ \ \ |\end{array} \right )$
从Gram-Schmidt的逆过程推导矩阵的QR分解
在整个Gram-Schmidt过程中，每一步获取一个正交向量$\vec p_i$的时候，$\vec p_i$可以和最后得到的$\vec q_i$存在联系$\vec p_i = \|\vec p_i\| \cdot \vec q_i$，进而矩阵$A$中原先的每个列向量$\vec v_i$就可以和$\vec q_i$建立联系:
$A = Q R$
$\vec p_1 = \vec v_1 = \|\vec p_1\| \cdot \vec q_1 = r_{11} \cdot \vec q_1$ ,其中$ \|\vec p_1\|$本身是个标量，这里就用$ r_{11}$代替；
$\therefore \vec v_1 = r_{11} \cdot \vec q_1$ $\leftarrow$
$\vec p_2 = \vec v_2 - \frac {\vec p_1 \cdot \vec v_2}{\|{\vec p_1}\|} \cdot {\vec p_1}= \|\vec p_2\| \cdot \vec q_2 $
$\therefore \vec v_2 = \|\vec p_2\| \cdot \vec q_2 + \frac {\vec p_1 \cdot \vec v_2}{\|{\vec p_1}\|} \cdot {\vec p_1}$，这里$\vec p_1$用$ \|\vec p_1\| \cdot \vec q_1 $代入得下式
$\therefore \vec v_2 = \|\vec p_2\| \cdot \vec q_2 + \frac {\vec p_1 \cdot \vec v_2}{\|{\vec p_1}\|} \cdot { \|\vec p_1\| \cdot \vec q_1}$
$\therefore \vec v_2 =r_{21} \vec q_1 + r_{22} \vec q_2$,上式的$ \|\vec p_2\| $和$ \frac {\vec p_1 \cdot \vec v_2}{\|{\vec p_1}\|} \cdot { \|\vec p_1\|}$都是标量，用$r_{22},r_{21}$代替，简化表示出$ \vec v_2$与$\vec q_1，\vec q_2$的关系；$\leftarrow$
$\vec p_3 = \vec v_3 - \frac {\vec p_1 \cdot \vec v_3}{\|{\vec p_1}\|} \cdot {\vec p_1} - \frac {\vec p_2 \cdot \vec v_3}{\|{\vec p_2}\|} \cdot {\vec p_2} = \|\vec p_3\| \cdot \vec q_3 $
$\therefore \vec v_3 = \|\vec p_3\| \cdot \vec q_3 + \frac {\vec p_2 \cdot \vec v_3}{\|{\vec p_2}\|} \cdot {\vec p_2} + \frac {\vec p_1 \cdot \vec v_3}{\|{\vec p_1}\|} \cdot {\vec p_1} $
$\therefore \vec v_3 = r_{31}\cdot \vec q_1 + r_{32} \cdot \vec q_2 + r_{33} \cdot \vec q_3$ $\leftarrow$
$$\cdots $$
持续执行上过程，就能反推得到矩阵$A$中原先的每个列向量$\vec v_i$和$\vec q_i$的关系:
$\vec v_1 = r_{11} \cdot \vec q_1$
$\vec v_2 = r_{21} \vec q_1 + r_{22} \vec q_2$
$\vec v_3 = r_{31}\cdot \vec q_1 + r_{32} \cdot \vec q_2 + r_{33} \cdot \vec q_3$
$\vec v_4 = r_{41}\cdot \vec q_1 + r_{42} \cdot \vec q_2 + r_{43} \cdot \vec q_3 + r_{44} \cdot \vec q_4$
$\cdots $
$\vec v_n = r_{n1}\cdot \vec q_1 + r_{n2} \cdot \vec q_2 + r_{n3} \cdot \vec q_3 +\cdots + r_{nn} \cdot \vec q_n$从而，对于矩阵$A$的一组列向量$\vec v_1 , \vec v_2 , \cdots , \vec v_n$，就可以由$r_{ij} , \vec q_i$进行表示，重新排列成矩阵：
$A= \left (\begin{array} ,\ \ r_{11} \cdot \vec q_1 ,\ \ r_{21} \vec q_1 + r_{22} \vec q_2 ,\ \cdots \ , r_{n1}\cdot \vec q_1 + r_{n2} \cdot \vec q_2 + r_{n3} \cdot \vec q_3 +\cdots + r_{nn} \cdot \vec q_n \end{array} \right )$这个新组成的矩阵A，提出其中的$\vec q_i$向量，进而就表示成矩阵的$QR$分解形式:
$A= \left (\begin{array} ,\vec q_1 \ \ \ , \vec q_2\ \ \ ,\cdots , \vec qn \end{array} \right ) \cdot \begin{bmatrix} r{11}&r{21}&r{31}&\cdots&r{n1} \ 0&r{22}&r{32}&\cdots&r{n2} \ 0&0&r{33}&\cdots&r{n3} \
0&0&0&\cdots&r_{nn} \end{bmatrix} = Q \cdot R$
$Q = \left (\begin{array} ,\vec q_1 \ \ \ , \vec q_2\ \ \ ,\cdots , \vec q_n \end{array} \right ) $$R = \begin{bmatrix} r_{11}&r_{21}&r_{31}&\cdots&r_{n1} \\ 0&r_{22}&r_{32}&\cdots&r_{n2} \\ 0&0&r_{33}&\cdots&r_{n3} \\ 0&0&0&\cdots&r_{nn} \end{bmatrix}$
获取矩阵的$Q$矩阵和$R$矩阵
通过上面的推导过程可知Gram-Schmidt过程得到了矩阵$A$的Q矩阵，再逆推导就能得到R矩阵。
但是对于一个列向量之间线性无关的矩阵$A$，它能够进行QR分解，其实就有:
$A = QR = Q^{-1} \cdot A = Q^{-1} Q \cdot R = R$
又$\because Q^T \cdot Q= I \to Q^{1} = Q^{T}$，Q是标准正交矩阵，所以根本不需要通过计算来求矩阵Q的逆
$R = Q^{-1} A = Q^{T} \cdot A$
所以QR分解一个矩阵$A$，其实只需要进行一边正向Gram-Schmidt过程求出矩阵$A$的列向量的标准正交向量组；
QR分解的应用
主要还是用于加速线性系统的求解
对于$Ax=b$, $A=QR$,
$(QR)x = b$
$Q^{-1}(QR)x = Q^{-1}b$
$Rx = Q^{T}b$求解过程中，只需要求解出矩阵A的Q矩阵，同时R矩阵又是一个上三角矩阵，从而降低了求解的时间复杂度。
