一文读懂 主成分分析 与 因子分析（二）

四、附因子分析案例

本文原本是给大家说明主成分分析和因子分析之间的关系的。并不是教大家如何解决实际问题。可能有些小伙伴看懂了文章，却仍然不知道如何用主成分分析或者因子分析来解决一个实际问题。

今天补充一个案例，案例来源于SPSSPRO软件官方案例。

另外给大家推荐一下这个SPSSPRO软件

它支持非常多的数据分析模型（算法），还带有一个NoteBook（Python数据分析），每个算法都有文字介绍，还有案例数据，案例视频等，上手难度很小，大家可以用用（对于小白来说，应该比SPPSS这些软件友好）。

4.1 案例示例

仅供参考，碎石图、热力图什么的都可以学着放在你的论文中。不过他写的不一定好哦，其中一些说法并不是绝对的，取其精华即可。

根据某地区 2021 年的生产总值、人均可支配收入等多个指标，量化评估多个省市地区的经济发展水平排名或者各指标的权重。（思考：你认为衡量某地经济发展水平，还应该搜集哪些方面的数据？）

4.11 案例数据

因子分析所需数据为若干个定量变量，和一个可选的定类索引项。在本例中，生产总值（亿元）、人均可支配收入（元）、进出口总额（千美元）、财政预算收入（亿元）、工业企业流动资产（亿元）会用于提取因子，而地区则是索引项。

4.12案例操作

1.新建项目；

2.上传数据；

3.选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；

4.选择【因子分析】；

5.查看对应的数据数据格式，【因子分析】要求输入数据为放入 [定量] 自变量 X（变量数 ≥2）;

6.选择主成分个数、因子旋转方式（注意：在因子分析中倾向于描述原始变量之间的相关关系，所以一般情况下在因子分析选取的主成分个数也就是自变量 X 个数，而特征根选择则是根据设定的阈值为界限，以大于该界限对应的主成分个数作为选取的主成分个数，默认为 1。）;

7.点击【开始分析】，完成全部操作。

4.13 输出结果

输出结果 1：KMO 检验和 Bartlett 的检验

图表说明:KMO 检验的结果显示，KMO 的值为 0.775，同时，Bartlett 球形检验的结果显示，显著性 P 值为 0.000，水平上呈现显著性，拒绝原假设，即表明各变量间具有相关性，因子分析的结果是有效的，结果可靠程度为一般。

输出结果 2：方差解释表格

图表说明:

上表为总方差解释表格，主要是看因子对于变量解释的贡献率（可以理解为究竟需要多少因子才能把变量表达为 100%），一般都要表达到 90%以上才可以，否则就要调整因子数量。方差解释表中，前两个因子累积解释的贡献率达到 94.296%(一般情况下大于 90%即可)，说明使用前两个因子就能够很好地评估省市地区的经济发展水平。前三个因子则效果更佳，累积解释的贡献率达到 98.921%。

输出结果 3：碎石图

图表说明: 当折线由陡峭突然变得平稳时，陡峭到平稳对应的主成分个数即为参考提取主成分个数。

结果分析：由图可知，从第三个主成分开始，主成分的特征根值开始缓慢的下降，在满足因子累计解释的贡献度达到 90%的情况下，我们可以选择保留三个主成分。

输出结果 4：因子载荷系数表

图表说明: 上表为因子载荷系数表，可以分析到每个因子中隐变量的重要性。

结果分析：第一个因子与生产总值、进出口总额、财政预算收入、工业企业流动资产这四个变量的相关程度较大，可以概括为“地方发展况状”；第二个因子与人均可支配收入这一个变量的相关程度较大，可以概括为“人民富裕程度”。

输出结果 5：因子载荷矩阵热力图

图表说明: 上图为载荷矩阵热力图，可以分析到每个因子中隐变量的重要性，热力图颜色越深说明相关性越大。

结果分析：第一个因子与生产总值、进出口总额、财政预算收入、工业企业流动资产这四个变量的相关程度较大，第二个因子与人均可支配收入这一个变量的相关程度较大。

输出结果 6：因子载荷象限分析

图表说明:因子载荷图通过将多因子降维成双因子或者三因子，通过象限图的方式呈现因子的空间分布。当保留两个因子时作出二维因子载荷象限。当保留三个因子时作出三维因子载荷象限。

输出结果 7：成分矩阵表

图表说明: 上表为成份矩阵表，意在说明各个成分的所包含的因子得分系数（主成分载荷），用于计算出成分得分，得出主成分公式。

结果分析：模型的公式：

F1=0.236× 生产总值(亿元)+0.057× 人均可支配收入(元）+0.192× 进出口总额(千美元)+0.214× 财政预算收入(亿元)+0.23× 工业企业流动资产(亿元)
F2=0.244× 生产总值(亿元)+1.348×人均可支配收入(元）+0.618× 进出口总额(千美元)+0.552× 财政预算收入(亿元)+0.298× 工业企业流动资产(亿元)
F3=0.063× 生产总值(亿元)+0.821× 人均可支配收入(元）+4.519× 进出口总额(千美元)+2.024×财政预算收入(亿元)+1.681× 工业企业流动资产(亿元)
F4=-3.888× 生产总值(亿元)+0.164×人均可支配收入(元）+0.517× 进出口总额(千美元)-0.199× 财政预算收入(亿元)+5.176× 工业企业流动资产(亿元)
F5=-1.375× 生产总值(亿元)+0.605× 人均可支配收入(元）+0.94× 进出口总额(千美元)+8.783×财政预算收入(亿元)-1.017× 工业企业流动资产(亿元) 由上可以得到：
F=(0.669/1.0)×F1+(0.274/1.0)×F2+(0.046/1.0)×F3+(0.006/1.0)×F4+(0.005/1.0)×F5

输出结果 8：因子权重分析

图表说明: 上表为因子分析的根据载荷系数等信息所做的主成分权重分析，其计算公式为：方差解释率/旋转后累积方差解释率。

结果分析：因子的权重计算结果显示，因子 1 的权重为 66.9%、因子 2 的权重为 27.396%、因子 3 的权重为 4.625%、因子 4 的权重为 0.576%、因子 5 的权重为 0.503%。

输出结果 9：综合得分表

图表说明:综合得分根据F值计算得到的综合得分进行降序排序，可得到各个样本的综合得分与排名情况。

结果分析：由综合得分可知，广东省的综合得分最高，也就是广东省的经济发展水平排名第一，其次是江苏省。

4.14注意事项

因子分析要求变量之间的共线性或相关关系比较强，否则不能通过 KMO 检验和 Bartlett 球形检验；

因子分析是主成分的推广，相对于主成分分析，更倾向于描述原始变量之间的相关关系（可侧重分析输出结果 4、输出结果 5、输出结果 6）;

因子分析时通常需要综合自己的专业知识，以及软件结果进行综合判断，即使是特征根值小于 1，也一样可以提取主成分；

KMO 值为 null 不存在可能导致的原因为：

 （1）样本量过少容易导致相关系数过高，一般希望分析样本量大于 5 倍分析项个数；

 （2）各个分析项之间的相关关系过高或过低。