【浮点数在内存中的存储规则】

简介: 浮点数的存储规则:根据国际标准IEEE(电气和电子工程协会) 754,任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式:(-1)^S * M * 2^E(-1)^S表示符号位,当S=0,V为正数;当S=1,V为负数。M表示有效数字,大于等于1,小于2。2^E表示指数位。

我们知道,整型在内存中的存储比较简单,在内存中都是以二进制来存储的。然而,浮点型在内存中的存储较为复杂。下面来详细探讨:

直接举一个例子:

int main()
{
int n = 9;
float *pFloat = (float *)&n;
printf("n的值为:%d\n",n);
printf("*pFloat的值为:%f\n",*pFloat);
*pFloat = 9.0;
printf("num的值为:%d\n",n);
printf("*pFloat的值为:%f\n",*pFloat);
return 0;
}

或许可以看出第一个和第四个printf打印出来分别是99.000000 ,浮点型精度保留小数点后6位。

但是第二个和第三个printf打印出来的结果就比较奇怪了:

f329c6f2fdd84c7db5641f39817e9386.png

为什么会是这样的结果呢?

请看下面:

浮点数的存储规则:

根据国际标准IEEE(电气和电子工程协会) 754,任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式:


(-1)^S * M * 2^E


(-1)^S表示符号位,当S=0,V为正数;当S=1,V为负数。


M表示有效数字,大于等于1,小于2。


2^E表示指数位。


到底是什么意思呢?


举个例子:


对于十进制数5.0 ,转换成二进制是: 101 .0,即 1.01*2^2,

即 (-1)^0 * 1.01 * 2^2

因为这是二进制,二进制用科学计数法就是2的多少次方,用十进制就是10的多少次方。


按照上面的规定:所以S是0 , M是1.01,E是2。

对于十进制 -5.0 ,写出二进制是 -101.0 ,

相当于 (-1)^1 * 1.01 * 2^2 , 所以S 是1,M是1.01,E是2.

标准规定:

对于32位的浮点数,最高的1位是符号位s,接着的8位是指数E,剩下的23位为有效数字M

b6764355a3ab46eea5d10b7ea109df68.png

在这32个比特位中,最高1位是S使用,接着的8位是E使用,剩下的23位是M使用。

对于64位的浮点数,最高的1位是符号位S,接着的11位是指数E,剩下的52位为有效数字M

55041e5fb12844a790d83a46b9ed4991.png

在这64个比特位中,最高1位是S使用,接着的11位是E使用,剩下的52位是M使用。

这是为什么?没有为什么,这是规定。

对于有效数字M,还有更为特别的规定:

对于十进制数字,假如一个数230,写成科学计数法,是

2.30 * 10^2,有效位是2.30,这个有效位的范围在1~10之间。

而对于二进制数字,有效位M的范围就在1~2之间。

所以M可以写成 1.xxxxxxxxxxxx的形式,

在保存M时,默认只保存 1.xxxxxxxxxxx 中的xxxxxxxxxxx这一部分,这个1不保留。比如1.055,只保留055进计算机,这个1不保留。

总结:对于有效位M,只保留小数点后面的位数,不保留小数点前面的1


下面看指数E的存储规则:


首先,E为一个无符号整数(unsigned int)


这意味着,如果E为8位,它的取值范围为0~ 255;如果E为11位,它的取值范围为0~2047。

但是,我们知道,科学计数法中的E是可以出现负数的,

所以IEEE 754规定,存入内存时E的真实值必须再加上一个中间数,对于8位的E,这个中间数是127;

对于11位的E,这个中间数是1023。


比如,2^10的E是10,所以保存成32位浮点数时,必须保存成10+127=137,即10001001。


然后,指数E从内存中取出还可以再分成三种情况:

E不全为0或不全为1情况:

这时,浮点数就采用下面的规则表示,即指数E的计算值减去127(或1023),得到真实值,再将

有效数字M前加上第一位的1。

比如:

0.5(1/2)的二进制形式为0.1,因为对于二进制来说,小数点后面的指数就是2^-1, 2^-2 , 2^-3 ,等等。

由于规定正数部分必须为1,即将小数点右移1位,则为

1.0*2^(-1),则E为-1+127=126,表示为

01111110,而尾数1.0去掉整数部分为0,补齐0到23位00000000000000000000000,则其二进

制表示形式为:

0 01111110 00000000000000000000000

E全为0情况:

这时,浮点数的指数E等于1-127(或者1-1023)即为真实值,

**有效数字M不再加上第一位的1,而是还原为0.xxxxxx的小数。**这样做是为了表示±0,以及接近于

0的很小的数字。

0 01111110 00000000000000000000000

E全为1情况

这时,如果有效数字M全为0,表示±无穷大(正负取决于符号位s);

对于S ,怎么存进去的,就怎么取出来。

话不多说,直接看刚才例题的例子:

对于整型 9 ,强转成浮点型存入内存中是怎样存的呢?

首先,将 9强转后成浮点型的 9 写成科学计数法:

1001 --> (-1)^0 * 1.001 * 2^3

S=0,E = 3,M = 1.001

存入内存中如下图:

4a256409ecec49cc99264289a61458f5.png

s原封不动存进最高位 0 ,


对于这个32位的浮点数,E需要先+127后,再存进去,E+127 = 130,130的二进制序列为10000010,就存入最高位接下来的后八位。


M是1.001,丢掉小数点前面的1,就把001存入内存中,M占了23个比特位,存001只存了3个比特位,剩下的二十个比特位,就全补0 , 即 00100000000000000000000

所以浮点数9存入内存中为:

 

0 10000010 00100000000000000000000

解读它:计算机中是以十六进制来展示的,那么我们就先转换成十六进制

0100 0001 0001 0000 0000 0000 0000 0000

转成十六进制是:0x41 10 00 00

e250a37205aa489d98dfde6e8da1917f.png

由于计算机是小端存储,故读取时是

41 10 00 00

符合预期。

在这道例题中

int main()
{
int n = 9;
float *pFloat = (float *)&n;
printf("n的值为:%d\n",n);
printf("*pFloat的值为:%f\n",*pFloat);
*pFloat = 9.0;
printf("num的值为:%d\n",n);
printf("*pFloat的值为:%f\n",*pFloat);
return 0;
}

9的原码是

00000000000000000000000000001001


正数的补码与原码相同,故9的补码也是

00000000000000000000000000001001

把这个二进制序列交给*pFloat , 它会认为这是一个浮点数的二进制序列,

把最高位当成符号位,接下来的八位当成指数E,后面的23位当成有效数字M,

0 00000000 00000000000000000001001

故S =0,E = 0 - 127 = -127,

由于E为全0 的数,在全0 中,M读取出来时候不再补1,而是补0,

故M = 0.00000000000000000001001

即 (-1)^0 * 0.00000000000000000001001 * 2^(-127) 相当于1成一个非常非常无限接近于0的数,所以结果无限接近于0

打印出来%f打印到小数点第六位,故打印结果为0.000000

*pFloat = 9.0;
printf("num的值为:%d\n",n);

前面说过 ,

浮点数9存入内存中为:

0 10000010 00100000000000000000000

对于这个代码,*pFloat 是一个浮点数,以%d形式打印出来,%d会认为9是的二进制序列是整型存储方式。

01000001000100000000000000000000

直接翻译成整型十进制数,结果为:


ae14852e70264d1eb94acfd8e51ee5a6.png

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