一：半正定矩阵

设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有x^TAx≥0，就称A为半正定矩阵。

    等价条件：

                    1. A是半正定的；

                    2. A的所有主子式均为非负的；

                    3. A的特征值均为非负的；

                    4. 存在n阶实矩阵C，使A=CTC；

                    5. 存在秩为r的r×n实矩阵B，使A=BTB。

注：顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。

补充：

1）AAT一定是半正定矩阵

证明：根据上面的定义出发，有如下，

   XT(AAT) X= (ATX)T(ATX) = ||ATX||2 >=0

   所以得证。

2）tr(AAT),其中A为n*1的矩阵

   tr(AAT) = ATA,其中A为n*1的矩阵。

举个例子：

假设矩阵A = (1 2 3)T,AT=(1 2 3)，可以算出tr(AAT)=ATA

二：正定矩阵

A是n阶方阵，如果对任何非零向量x，都有x^TAx>0，其中x^T 表示x的转置，就称A正定矩阵.

       等价条件：

          1. A的一切顺序主子式均为正；

          2. A 的一切主子式均为正；

          3. A 的特征值均为正；

          4. 在实可逆矩阵C，使A=CTC；

          5. 存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=BTB。

判别对称矩阵A的正定性有两种方法：

       1.求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

       2.计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶顺序主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

3.直观理解正定、半正定矩阵