分形，具有以非整数维形式充填空间的形态特征。通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。分形（Fractal）一词，是芒德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义。1973年，芒德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形的设想。
分形是一个数学术语，也是一套以分形特征为研究主题的数学理论。分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科，是研究一类现象特征的新的数学分科，相对于其几何形态，它与微分方程与动力系统理论的联系更为显著。分形的自相似特征可以是统计自相似，构成分形也不限于几何形式，时间过程也可以，故而与鞅论关系密切。
分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界普遍存在，因此分形几何学又被称为描述大自然的几何学。分形几何学建立以后，很快就引起了各个学科领域的关注。不仅在理论上，而且在实用上分形几何都具有重要价值。
——摘自百度百科
分形树是分形几何中的一小种类型，一棵分形树相当于一棵“满二叉树”。通常都用递归来实现，递归条件通常分两派，一派是用长度递减，直到长度不满足某个条件时退出；另一派则是按层数来递归，相当于“满二叉树”的层序遍历。前一派的长度递归相当于“满二叉树”的先序遍历，从根出发先左子树后右子树，每一棵子树都按这种“先根后左右”的顺序遍历。举个例子：
源代码：
import turtle def bintree(size): angle = 60 # 分叉的角度 if size > 5: # 长度退出条件 turtle.forward(size) turtle.left(angle) bintree(size / 1.6) turtle.right(angle*2) bintree(size / 1.6) turtle.left(angle) turtle.backward(size) def main(): turtle.speed(0) turtle.hideturtle() turtle.penup() turtle.left(90) turtle.backward(100) turtle.showturtle() turtle.pendown() turtle.pensize(2) turtle.color('green') bintree(150) turtle.done() if __name__ == '__main__': main()
以上代码中长度以等比数列递减，公比1/1.6；当然也可以改成等差数列形式。此方式缺点树的层数不能直接控制，需要用初始长度、递减公式和退出条件来计算得出。
勾股树，其实就是分形树的一种，只是不像上例一样简单地画2个分叉，而是画直角三角形加上各边上的正方形，就像平面几何中勾股定理证明时画的示意图。
以下是我用Turtle库画的一棵12层的对称勾股树，使用“层序遍历”方式：
根据二叉树的性质可知：12层的树会有 2^12 - 1 个正方形以及同样数量的三角形。时间复杂度为指数级，在关掉画笔踪迹开关的情况下画完此时耗时43秒。
简单点，就用一个6层的来示意一下其“层序”的过程：
源代码：
from turtle import * def Square(self,length): for _ in range(5): self.forward(length) self.right(90) def Triangle(self,length): self.left(45) self.forward(length/2**0.5) self.right(90) self.forward(length/2**0.5) self.right(135) self.forward(length) def Move2Right(self,length): self.back(length) self.right(45) self.forward(length/2**0.5) self.right(90) def Recursive(n, tracer, length): if n<1: return tracers = [] for left in tracer: if n<3: left.pencolor('green') else: left.pencolor('brown') Square(left, length) Triangle(left, length) right = left.clone() left.right(45) Move2Right(right, length) tracers.append(left) tracers.append(right) Recursive(n-1, tracers, length/2**0.5) def Setup(self, length, speed): self.hideturtle() self.speed(speed) self.penup() self.goto(-length*0.5, -length*1.8) self.seth(90) self.pensize(2) self.pendown() def main(level, length, speed=-1): setup(800,600) title('Fractal Tree') if speed==-1: tracer(0) else: tracer(1) t = Turtle() Setup(t, length, speed) from time import sleep sleep(2) Recursive(level, list([t]), length) done() bye() if __name__ == '__main__': main(6,150,10)
主函数： main(level, length, speed=-1)
参数：
level: 树的层数
length: 最底层正方形的边长
speed: 1~10，画笔速度递增；=0时速度最快；=-1时关闭画笔踪迹。
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本篇完，其他分形图待继......
