数理逻辑—推理理论

简介: 数理逻辑—推理理论

正文


1 推理的通俗解释


推理是从前提推出结论的思维过程,前提是指已知的命题公式,结论是指从前提出发应用推理规则推出的命题公式,当推理正确且前提也正确时,结论一定正确。


2 构造证明法——证明推理正确的方法之一


构造证明法是按照给定的规则进行,其中有些规则建立在推理定律(即重言蕴含式)的基础之上。


推理定律:

00000000000000000000000.png

根据公理和上述推理定律,可以得到下面的常用推理规则


000000000000000000.png


其中,A 1 , A 2 , . . . , A k ⊨ B 表示B 是A 1 , A 2 , . . . , A k  的逻辑结论,若A 1 , A 2 , . . . , A k  已经得证,则可以引入B


构造证明法举例

构造下列推理的证明:

前提:p → ( q ∨ r ) , s → ¬ q , p , s

结论:r

证明:


p(qr)(前提引入)

p(前提引入)

qr(①②假言推理)

s¬q(前提引入)

s(前提引入)

¬q(④⑤假言推理)

r(③⑥析取三段论,得证)


2.1 附加前提证明法


结论为蕴含式时适用该技巧,蕴含式的前件即为附加的前提,这时可以将附加的前提作为前提使用。

附加前提证明法举例

构造下列推理的证明:

前提:p → ( q → r ) , ¬ s ∨ p , q

结论:s → r

证明:

¬s

s(前提引入)

p(①②析取三段论)

p(qr)(前提引入)

qr(③④假言推理)

q(前提引入)

r(⑤⑥假言推理,得证)


2.2 归谬法


当结论简单时(通常为一个命题变项)适用该技巧,将结论的否定式引入证明,观察证明结果的真假,若证明结果为假,则说明前提与结论的否定式不相容,推理正确。

归谬法举例

构造下列推理的证明:

构造下列推理的证明:

前提:p → ( ¬ ( r ∧ s ) → ¬ q ) , p , ¬ s

结论:¬ q

证明:


p(¬(rs)¬q)(前提引入)

p(前提引入)

¬(rs)¬q(①②假言推理)

¬(¬q)(结论的否定式引入)

q(④置换)

rs(③⑤拒取式)

¬s(前提引入)

s(⑥简化)

s¬s(⑦⑧合取)

0(结论为假,得证)


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