三、简单扩展
只对 Adam/AdamW 成立的话，这个工作的局限性还是太大了，所以我很快扩展到了 AdamW 和其他 adaptive optimizers，比如 AdaGrad。事实上，对于所有的 adaptive optimizers，都可以证明 clipping threshold 会被抵消，从而不用调参，大大增加了定理的丰富程度。
这里面还有一个有趣的小细节。众所周知，Adam with weight decay 和 AdamW 不一样，后者使用的是 decoupled weight decay，就这个区别还发了篇 ICLR
Adam 有两种加 weight decay 的方式。这个区别在 DP 优化器中也存在。同样是 Adam，用 decoupled weight decay 的话， 缩放 R 不影响 weight decay 的大小，但是用普通的 weight decay 的话，放大 R 两倍等价于缩小两倍的 weight decay。
四、另有乾坤
聪明的同学可能已经发现了 我一直再强调自适应优化器 为啥不讲讲 SGD 呢? 答案是在我写完 DP 自适应优化器的理论后 Google 紧接着就放了一篇 DP-SGD 用在 CV 的文章 也做了 ablation study 但是规律和在 Adam 上发现的完全不同 给我留下了一个对角的印象
对 DP-SGD 且 R 足够小的时候，增大 10 倍 lr 等于增大 10 倍 R [https://arxiv.org/abs/2201.12328]。当时我看到这篇文章的时候很兴奋，因为又是一个证明 small clipping threshold 效果好的论文。
在科学界，连续的巧合背后往往有着隐藏的规律。
简单地代换一下，发现 SGD 比 Adam 还好分析，（1.3）可以近似为：
显然 R 又可以提出来，和学习率组合在一起，从理论上证明了 Google 的观察。
「Specifically, when the clipping norm is decreased k times, the learning rate should be increased k times to maintain similar accuracy.」
很可惜 Google 只看到现象，没有上升到理论的高度。这里也有一个巧合，那就是上图他们同时画了两种尺度的 ablation study，只有左边的尺度能看出对角线，光看右边是没有结论的......
由于没有自适应步长，SGD 不像 Adam 一样无视 R，而是把 R 看作学习率的一部分，所以也不需要单独调节，反正学习率要调参就一起调了。
再将 SGD 的理论扩充到 momentum，所有 Pytorch 支持的优化器全都分析完毕。
五、从直觉到严谨
一个创新点是有了，但是 Abadi's clipping 严格来说只是近似 normalization，不能划等号，也就没法确凿地分析收敛性。
根据多啦 A 梦铁人兵团原理，我直接命名 normalization 为新的 per-sample gradient clipping function，替代了整个领域用了 6 年的 Abadi clipping，这是我的第二个创新点。
经过刚才的证明，新的 clipping 严格不需要 R，所以称之为 automatic clipping （AUTO-V; V for vanilla）。既然形式上与 Abadi's clipping 有不同，那么 accuracy 就会有差异，而我的 clipping 可能有劣势。所以我需要写代码测试我的新方法，而这只需要改动一行代码 (毕竟只是把
)。事实上 DP per-sample gradient clipping 这个方向主要就三种 clipping functions， 除了 Abadi's clipping 以外的两种都是我提出的，一个是 global clipping，还有一个就是这篇 automatic clipping。而在先前的工作中，我就已经知道怎么在各个流行的库中改 clipping 了，我将修改方法放在文章最后一个 appendix。
经过我的测试，我发现斯坦福的文章中 GPT2 在整个训练过程中，所有 itertation 和所有 per-sample gradient 都是 clip 过的。也就是说，至少在这一个实验上，Abadi's clipping 完全等价于 automatic clipping。虽然后来的实验的确有输于 SOTA 的情况， 但这已经说明了我的新方法有足够的价值：一个不需要调整 clipping threshold 的 clipping function，而且有时 accuracy 也不会牺牲。
六、 回归抽象思考
斯坦福的文章有两大类语言模型的实验，一类是 GPT2 为模型的生成型任务，另一类是 RoBERTa 为模型的分类型任务。虽然在生成任务上 automatic clipping 和 Abadi's clipping 等价，但是分类型任务却总是差几个点的准确率。
出于我自己的学术习惯，这个时候我不会去换数据集然后专门挑我们占优的实验发表，更不会增加 trick（比如做数据增强和魔改模型之类的）。我希望在完全公平的比较中， 只比较 per-sample gradient clipping 的前提下，尽可能做出最好的不含水分的效果。事实上，在和合作者讨论中我们发现：纯粹的 normalization 和 Abadi's clipping 比 梯度大小的信息是完全抛弃的，也就是说对于 automatic clipping，无论原始的梯度多大，clip 后都是 R 这么大，而 Abadi 对于比 R 小的梯度是保留了大小的信息的。基于这个想法，我们做了一个微小但极其巧妙的改动，称之为 AUTO-S clipping （S 代表 stable）
将 R 和学习率融合后变成
简单一画可以发现这个小小的 (一般设为 0.01，其实设成别的正数都行，很稳健）就能保留梯度大小的信息：
基于这个算法，还是只改动一行，把斯坦福的代码重跑一遍，六个 NLP 数据集的 SOTA 就到手了。
在 E2E 生成任务上，AUTO-S 超越了所有其他 clipping function，在 SST2/MNLI/QNLI/QQP 分类任务上也是。
七、要做通用算法
斯坦福文章的一个局限性是只专注于 NLP，又很巧合的是：紧接着 Google 刷了 ImageNet 的 DP SOTA 两个月后，Google 子公司 DeepMind 放出了一篇 DP 在 CV 中大放异彩的文章，直接将 ImageNet 准确率从 48% 提升到 84%！
论文地址：https://arxiv.org/abs/2204.13650在这篇文章中，我第一时间去看优化器和 clipping threshold 的选择，直到我在附录翻到这张图：
DP-SGD 在 ImageNet 上的 SOTA 也是需要 clipping threshold 足够小。依然是 small clipping threshold 效果最好！有了三篇高质量的文章支撑 automatic clipping，已经有了很强的动机了，我越发肯定自己的工作会是非常杰出的。
巧合的是 DeepMind 这篇文章也是纯实验没有理论，这也导致他们差点就领悟出了他们可以从理论上不需要 R，事实上他们真的非常接近我的想法了，他们甚至已经发现了 R 是可以提取出来和学习率融合的（感兴趣的同学可以看看他们的公式（2）和（3））。但是 Abadi's clipping 的惯性太大了... 即使他们总结出了规律却没有更进一步。
DeepMind 也发现了 small clipping threshold 效果最好，但是没有理解为什么。受这篇新工作的启发，我开始着手做 CV 的实验，让我的算法能被所有 DP 研究者使用，而不是 NLP 搞一套方法，CV 搞另一套。好的算法就是应该通用好用，事实也证明 automatic clipping 在 CV 数据集上同样能取得 SOTA。
八、理论为骨 实验为翼
纵观以上所有的论文，都是 SOTA 提升显著、工程效果拔满，但是理论完全空白。
当我做完所有实验的时候，这份工作的贡献已经超过了一篇顶会的要求：我将经验上 small clipping threshold 所产生的 DP-SGD 和 DP-Adam 的参数影响大大简化；提出了新的 clipping function 而不牺牲运算效率、隐私性，还不用调参；小小的 γ 修复了 Abadi's clipping 和 normalization 对梯度大小信息的破坏；充足的 NLP 和 CV 实验都取得了 SOTA 的准确率。
我还没有满意。一个没有理论支撑的优化器，还是无法为深度学习做出实质贡献。每年顶会提出的新优化器有几十个，第二年全都扫进故纸堆。Pytorch 官方支持的、业界真正在用的，还是那么几个。
为此我和合作者们额外花了两个月做了 automatic DP-SGD 收敛性分析，过程艰难但最后的证明简化到极致。结论也很简单：将 batch size、learning rate、model size、sample size 等变量对收敛的影响都定量地表达出来，并且符合所有已知的 DP 训练行为。
特别的，我们证明了 DP-SGD 虽然收敛的比标准的 SGD 慢，但是 iteration 趋于无穷的话，收敛的速度都是一个数量级的。这为隐私计算提供了信心：DP 模型收敛，虽迟但到。
九、撞车了...
终于，写了 7 个月的文章完稿了，没想到巧合还没停。5 月份 NeurIPS 投稿，6 月 14 日内部修改完放 arXiv，结果 6 月 27 日看到微软亚州研究院（MSRA）发表了一篇和我们撞车的文章，提出的 clipping 和我们的 automatic clipping 一模一样：
和我们的 AUTO-S 分毫不差。仔细看了看，连收敛性的证明都差不多。而我们两组人又没有交集，可以说隔着太平洋的巧合诞生了。
这里稍微讲一下两篇文章的不同：对方文章更偏理论，比如额外分析了 Abadi DP-SGD 的收敛（我只证了 automatic clipping，也就是他们文中的 DP-NSGD，可能我也不知道咋整 DP-SGD）；用的假设也有一些不同；而我们实验做的多一些大一些（十几个数据集），更显式地建立了 Abadi's clipping 和 normalization 的等价关系，比如 Theorem 1 和 2 解释为什么 R 可以不用调参。
既然是同时期的工作，我很开心能有人不谋而合，互相能补充共同推动这个算法，让整个社群尽快相信这个结果并从中受益。当然，私心来说，也提醒自己下一篇要加速了！
十、总结
回顾这篇文章的创作历程，从起点来看，基本功一定是前提，而另一个重要的前提是自己心中一直念念不忘调参这个痛点问题。正是久旱，所以读到合适的文章才能逢甘露。至于过程，核心在于将观察数学化理论化的习惯，在这个工作中代码实现能力反倒不是最重要的。我会再写一篇专栏着重讲讲另一个硬核代码工作；最后的收敛性分析，也是靠合作者和自己的不将就。所幸好饭不怕晚，继续前进！
