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平均互信息
平均互信息定义
$$ I(X ; Y)=E[I(x, y)]=H(X)-H(X \mid Y) $$
- Y 末知, $\mathrm{X}$ 的不确定度为 $\mathrm{H}(\mathrm{X})$
- Y 已知, $\mathrm{X}$ 的不确定度变为 $\mathbf{H}(\mathbf{X} \mid \mathbf{Y})$
互信息 = 先验不确定性 - 后验不确定性 = 不确定性减少的量
通信系统中若发端的符号为 X 收端的符号为 Y。如果是 一一对应信道, 接收到 Y 后对 X 的不确定性将完全消除： H(X|Y) = 0，一般情况 H(X|Y) < H(X), 即了解 Y 后对 X 的不确定度将减少。
通过信道传输消除了一些不确定性, 获得了一定的信息， 故$0 \leq I(X ; Y) \leq H(X)$
$I(X ; Y)=\sum_{i} \sum_{j} p(x_{i} y_{j}) \log \frac{p(x_{i} \mid y_{j})}{p(x_{i})}$$=\sum_{i} \sum_{j} p(x_{i} y_{j}) \log \frac{p(x_{i} y_{j})}{p(x_{i}) p(y_{j})}=\sum_{i} \sum_{j} p(x_{i} y_{j}) \log \frac{p(y_{j} \mid x_{i})}{p(y_{j})}$
$=I(Y ; X)$
由上，平均互信息具有互易性:
$$ I(X ; Y)=I(Y ; X) $$
例 假设一条电线上串联了 8 个灯泡 $ x_{1}, x_{2}, \ldots x_{8}$ 如图, 这 8 个灯泡损坏的概率相等 $p(x_{\mathbf{i}})=1 / 8$ , 现 假设只有一个灯泡已损坏, 致使串联灯泡都不能点亮。
未测量前, 8 个灯泡都有可能损坏, 它们损坏的先验概率: $p(x_{\mathrm{i}})=1 / 8$ , 这时存在的不确定性
$$ \mathrm{I}(\mathrm{x}_{i})=\log \frac{1}{\mathrm{p}(\mathrm{x}_{i})}=\log _{2} 8=3 \text { bit } $$
测量 1 次后, 可知 4 个灯泡是好的, 另 4 个灯泡中有一个是坏的,这时后验概率 $p(x_{\mathrm{i}} \mid y)=1 / 4$ ，尚存在的不确定性：
$$ \mathrm{I}(\mathrm{x}_{i} \mid \mathrm{y})=\log \frac{1}{\mathrm{p}(\mathrm{x}_{i} \mid \mathrm{y})}=\log _{2} 4=2 \text { bit } $$
所获得的信息量就是测量前后不确定性减少的量, 测量1次获得的信息量:
$$ I(x_{i} ; y_{j})=I(x_{i})-I(x_{i} \mid y)=3-2=1 b i t $$
平均互信息与各类熵的关系
$$ \begin{array}{c} I(X ; Y)=H(X)-H(X \mid Y)=H(Y)-H(Y \mid X) \\ =H(X)+H(Y)-H(X Y) \\ H(X Y)=H(X)+H(Y \mid X)=H(Y)+H(X \mid Y) \\ H(X Y) \leq H(X)+H(Y) \end{array} $$
熵只是平均不确定性的描述，不确定性的消除两熵之差才等于接收端所获得的信息量；
获得的信息量不应该和不确定性混为一谈。
I(X;Y)表示X和Y之间的密切程度，越大，越密切。
下表有12条训练数据，记录了女性的择偶标准，每条数据包含了4个特征。这4个特征对结果的体现程度是不一样的。如何度量这种不同? 用平均互信息
4 个特征和结果的概率分布分别为
$$ \begin{array}{c} {\left[\begin{array}{l} X_{1} \\ P \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} \text { 帅 } & \text { 不帅 } \\ 2 / 3 & 1 / 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} X_{2} \\ P \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} \text { 好 } & \text { 不好 } & \text { 非常好 } \\ 1 / 2 & 1 / 3 & 1 / 6 \end{array}\right]} \\ {\left[\begin{array}{c} X_{3} \\ P \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} \text { 矮 } & \text { 高 } & \text { 中 } \\ 7 / 12 & 1 / 4 & 1 / 6 \end{array}\right] \quad\left[\begin{array}{c} X_{4} \\ P \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} \text { 上进 } & \text { 不上进 } \\ 2 / 3 & 1 / 3 \end{array}\right]} \\ {\left[\begin{array}{l} Y \\ P \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \text { 嫁 } & \text { 不嫁 } \\ 1 / 2 & 1 / 2 \end{array}\right]} \end{array} $$
特征和结果之间的条件概率为 :
$$ \begin{array}{l} P\left(Y \mid X_{2}\right)=\left[\begin{array}{cc} 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 4 & 3 / 4 \\ 1 & 0 \end{array}\right] \quad P\left(Y \mid X_{3}\right)=\left[\begin{array}{cc} 1 / 7 & 6 / 7 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right] \\ P\left(Y \mid X_{4}\right)=\left[\begin{array}{ll} 5 / 8 & 3 / 8 \\ 1 / 4 & 3 / 4 \end{array}\right] \\ \end{array} $$
从而联合概率为 :
$$ \begin{array}{l} P\left(X_{1}, Y\right)=\left[\begin{array}{ll} 1 / 4 & 5 / 12 \\ 1 / 4 & 1 / 12 \end{array}\right] P\left(X_{2}, Y\right)=\left[\begin{array}{cc} 1 / 4 & 1 / 4 \\ 1 / 12 & 1 / 4 \\ 1 / 6 & 0 \end{array}\right] \\ P\left(X_{3}, Y\right)=\left[\begin{array}{cc} 1 / 12 & 1 / 2 \\ 1 / 4 & 0 \\ 1 / 6 & 0 \end{array}\right] P\left(X_{4}, Y\right)=\left[\begin{array}{ll} 5 / 12 & 1 / 4 \\ 1 / 12 & 1 / 4 \end{array}\right] \end{array} $$
得条件熵: $H(Y \mid X_{1})=0.9067, H(Y \mid X_{2})=0.7704 , H(Y \mid X_{3})=0.3451, H(Y \mid X_{4})=0.9067$
平均互信息为: $I(X_{1} ; Y)=0.0933, I(X_{2} ; Y)=0.2296 , I(X_{3} ; Y)=0.6549, I(X_{4} ; Y)=0.0933$ .
结论：身高是最主要特征, 其次是性格。只保留这两项即可。
维拉图
$$ \begin{array}{l} I(X ; Y)=H(X)-H(X \mid Y) \\ =H(Y)-H(Y \mid X) \\ =H(X)+H(Y)-H(X Y) \\ H(X Y)=H(X)+H(Y \mid X) \\ =H(Y)+H(X \mid Y) \\ H(X Y) \leq H(X)+H(Y) \\ H(X) \geq H(X \mid Y) \\ H(Y) \geq H(Y \mid X) \\ \end{array} $$
若信道是无噪一一对应信道,信道传递概率：
$$ \begin{array}{c} p(y \mid x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & y \neq f(x) \\ 1 & y=f(x) \end{array}\right. \\ p(x \mid y)=\frac{p(x y)}{p(y)}=\frac{p(x) p(y \mid x)}{\sum p(x) p(y \mid x)}=\left\{\begin{array}{ll} 0 & y \neq f(x) \\ 1 & y=f(x) \end{array}\right. \end{array} $$
计算得:
$$ H(X \mid Y)=0 ; H(Y \mid X)=0 $$
$$ I(X ; Y)=H(X)=H(Y) $$
若信道输入端 $\mathbf{X}$ 与输出端 $Y$ 完全统计独立
$$ \begin{array}{cc} p(y \mid x)=p(y) & p(x \mid y)=p(x) \\ H(X \mid Y)=H(X) ; & H(Y \mid X)=H(Y) \end{array} $$
则: $I(X ; Y)=0$
条件熵
$H(X|Y)$: 信道疑义度，损失熵
- 信源符号通过有噪信道传输后所引起的信息量的损失。
信源X的熵等于接收到的信息量加上损失掉的信息量。
$H(Y|X)$: 噪声熵，散布熵
- 它反映了信道中噪声源的不确定性。
输出端信源Y的熵 $H(Y)$ 等于接收到关于X的信息量 $I(X;Y)$ 加上 $H(Y|X)$ ,这完全是由于信道中噪声引起的。
平均互信息的性质
非负性： $I(X ; Y) \geq 0$
互易性： $I(X ; Y)=I(Y ; X)$
凸函数性：
- I(X ; Y) 为概率分布 p(x) 的上凸函数
- 对于固定的概率分布 p(x), I(X ; Y) 为条件概率 $p(y \mid x)$ 的 下凸函数
极值性：$I(X ; Y) \leq H(X) ; I(X ; Y) \leq H(Y)$
若信道是下图所示的无躁一一对应信道，则有
$$ \begin{array}{l} > H(X \mid Y)=0 \\ > H(Y \mid X)=0 \\ > I(X ; Y)=H(X) \\ > I(X ; Y)=H(Y) > \end{array} $$
参考文献：
- Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
- Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
- 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
- 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.
