本节书摘来自华章社区《电子元器件的可靠性》一书中的第3章，第3.5节指数分布情况的寿命，作者王守国，更多章节内容可以访问云栖社区“华章社区”公众号查看
3.5 指数分布情况的寿命
试验寿命试验是指评价分析产品寿命特征量的试验，它是在实验室里，模拟实际工作状态或储存状态，投入一定数量的样品进行试验，记录样品数量、试验条件、失效个数、失效时间等，进行统计分析，从而评估产品的失效分布和各项可靠性指标。对于电子元器件的寿命试验，现在采用较多的还是属于破坏性的寿命试验。
在确定和了解电子元器件及材料可靠性指标的试验中，一般都在可靠性筛选和例行试验合格的产品中抽样进行。对于许多产品，可以认为早期失效产品已经剔除，其寿命分布已进入偶然失效期，并且基本上属于指数分布。即使有些产品不服从指数分布，例如，服从威布尔分布，但其形状参数m接近于1，可以用指数分布来近似。因此，研究符合指数分布情况的寿命试验具有普遍意义。
由于一般电子元器件及材料的可靠性都很高，要使产品全部失效所需时间很长。另外，可靠性是统计概念，只要有一定的失效数据就可以用统计方法确定出可靠性指标。也就是说，不必知道全部产品的失效数据。因此，在可靠性寿命试验中都采用截尾试验，按结束试验方式可分为定数截尾试验和定时截尾试验两种。
所谓定数截尾试验，就是指试验进行到规定的失效数（或失效次数）后，停止其试验。
所谓定时截尾试验，就是指试验进行到规定的试验时间停止试验。
在定数截尾和定时截尾试验中，又可以采用有替换和无替换两种方式，即在试验中每出现一个产品失效后，用同样的好产品替换或不替换两种方式。对于电子元器件常采用无替换方式，而电子设备或系统则采用有替换方式。
3.5.1 试验方案的确定
在寿命试验方案设计中，需要考虑和确定下面几个问题。
1.试验样品的抽取方法和数量的确定
因为寿命试验是为了了解产品的可靠性指标，所以试验样品必须选择本产品型号中具有代表性的规格。同时，投试样品在本质上应是同一设计，并建立了可靠性质量管理，在连续生产的产品中进行一次随机抽取，使所抽取样品具有代表性。而且试验样品必须经过可靠性筛选并从例行试验合格的产品批中随机抽取。
受试样品的多少，将影响可靠性特征量估计的精确度，其一般原则是：样品数量大，则试验时间短，试验结果较精确，但测试工作量大，试验成本高。因此，抽取样品数量的大小既要保证统计分析的正确性，又要考虑试验费用不用太高，为试验设备所允许，不能片面地追求某一方面的要求。对于高可靠、长寿命的产品，当成本及试验费用又较低时，样品数可多一些，一般不低于30个。对于普通电子元器件样品数量不少于10个，特殊产品不得少于5个。
2.试验应力类型的选择和应力水平的确定
试验应力类型的选择视试验目的而定。若要了解产品的储存寿命或工作寿命就必须施加一定的环境应力或电应力。这是因为产品的失效是由失效机理决定的，同一件产品往往同时存在着不同的失效机理，而失效机理是否发展和发展速度快慢，与外加应力有密切关系。对于寿命试验来说，受试产品的失效机理一定要与实际使用状态的失效机理相一致；否则，寿命试验所得数据没有实用价值。因此，要分析和研究在寿命试验中对失效机理的发展有促进作用的应力类型，也就是要选择对产品失效影响最显著或者最敏感的那些应力，而且这些应力所激发的失效机理应与实际使用状态的失效机理相同。因为这些应力比较充分地反映或者比较明显地影响产品的可靠性和寿命。此外，这些应力是容易控制和测量的，否则，寿命试验难于按设计方案进行。对于电子元器件与材料使用状态所承受的和导致失效最主要的应力是温度应力和电应力，因此常选用这些应力进行寿命试验。它们可以是单一的应力，也可以是同时作用的两个或两个以上应力。
在试验过程中，要严格控制试验条件，保持试验条件的一致性，这是保证试验结果的正确性所必需的。
试验应力的水平也应视试验目的而定。一般来说，试验应力高，产品失效快，试验时间短，但最高应力受限于产品本身的使用极限，通常应以不改变元器件在正常使用条件下的失效机理为原则。如无特殊规定，试验应力水平应选择产品技术标准规定的额定值。
3.测试周期的确定
为了能使最后的分析结果尽量精确，最好在整个寿命试验中，采用自动监测、连续测试的方法，以得到确切的失效时间。在没有自动记录失效设备的场合下，只能采用间歇测试的办法，即相隔一定的时间进行一次测试。其测试周期的选择将直接影响到产品可靠性指标的估计精度。测试周期的长短与产品的寿命分布、施加应力的大小有关。测试周期太短，会增加测试工作量；测试周期太长又会失掉一些有用的信息量。确定测试周期的原则是：在不过多地增加检查和测试工作量的情况下，应尽可能比较清楚地了解产品的失效分布情况，不要使产品失效过于集中在一两个测试周期内，一般要求有五个以上的测试点（指能测到失效产品的测试点），每个测试点上测到的失效数应大致相同。在确定具体产品的测试周期时，要对产品的失效情况或失效分布有所了解。这种了解可以通过以往试验所积累的数据和资料来确定，也可以选取少量样品做快速寿命试验来获得。对于试验应力大，失效进程快的产品，测试周期选短一些；对于试验应力小，失效进程慢的产品，测试周期选长一些，可以在试验过程中逐步调整，如果希望在可靠性寿命分布图
3.13 指数分布
试验时间的坐标轴上大致等距地选择测试周期，这可以借助坐标纸或概率纸来加以确定。例如，当产品的寿命分布属于m>1的威布尔分布时，则寿命试验周期开始可稍长些，然后逐渐缩短，最后再逐渐加长；如果产品的寿命分布指数分布类型的，如图3.13所示，则寿命试验开始后的测试周期要短些，然后可适当地加长。这可借助于普遍坐标纸来确定，因为累积失效概率的分布函数F(t)为F(t)=1－e－tμ0式中，μ0为该试验条件下产品的平均寿命，可以根据以往经验粗略地加以估计。若希望累积失效概率达到F(ti)，则测试时间ti可按下式初步估计ti=μ0ln11－F(t) i=1,2,3，…为使每个周期内测试到的失效数比较一致，可按F(ti)等间隔取值。例如，总数为50个样品的试验中，希望每次都观测到5个产品失效，即在第一次测试时有5个产品失效，即F(t1)=0.1，第二次测试时累计有10个产品失效，即F(t2)=0.2，第三次测试时累计有15个产品失效，即F(t3)=0.3，……也可以按F(ti)为5%、15%选择短一些或长一些的测试点。
实际安排测试时间时，由于对μ0和分布函数并不确知，这时可将μ0估计得略小一些，这样可将测试点向前移动，然后根据实际试验情况再做适当调整。这样考虑是允许的，因为对于寿命符合指数分布的产品，每次试验统计出的分布与理论上的分布总会有些差异，测试时间稍有不同也是可以的，但总的测试时间的选择原则如前所述，希望在各测试周期内能比较均衡地测到失效产品数，防止某个测试周期内失效过于集中或不必要地增加测试次数。
4.试验截止时间的确定
试验截止时间是寿命试验中的主要难点，它与样品数量及所达到的失效数有关。由于一般电子元器件寿命都非常长，加之试验数据采用统计分析方法，故采用截尾试验。对于低应力下的寿命试验，常采用定时截尾试验，即试验达到规定时间停止试验，一般要求截止时间t为平均寿命的1.6倍以上，如采用1000小时、5000小时或10000小时等；对于高应力下的寿命试验，常采用定数截尾试验，即当累计失效数或累积失效概率达到规定值，一般应在30%、40%或50%以上时停止试验。试验停止时间一经确定，在试验过程中不得变动，以保证统计处理的正确性。
对于指数分布，当采用定数截尾试验时，试验时间t与试验样品数n和所要求达到的失效概率F(t)=rn，可由下式确定t=μ0lnnn－r只要估计出产品在该试验条件下的平均寿命μ0，即可估计出试验所需时间。
5.制定失效标准和失效判据
如前所述，失效标准的制定就是明确判断产品失效的技术指标，其可以是产品完全失效，如击穿、开路、短路、烧毁等，也可以是部分失效，即产品的性能超过某种确定的界限，但没有完全丧失规定功能的失效。一个产品往往有好几项技术指标或性能参数，在寿命试验中规定：只要产品有一项指标或参数超出了标准就判为失效。例如，陶瓷电容器的主要技术指标有电容量的相对变化率ΔCC、绝缘电阻R、损耗角正切tanδ、耐压等，只要这些指标中有一项超出了规定，就应判为失效。如没有特殊规定，通常都是以产品技术规范中所规定的技术标准作为失效标准的判据。
6.确定应测量的参数和测试方法
所选择的测量参数要能够显示失效机理的发展进程，也就是说，选择那些对失效机理的发展能起到指示作用的灵敏参数。测量的参数可能不止一个，而是多个，因此在测量时必须避免各参数的测量方法相互影响，认真确定其先后顺序。选择参数的测量方法时，还必须尽量避免在测量中出现对其样品失效机理的发展起促进、减缓或破坏作用，更不能引入新的失效机理。
在被测样品去除应力后，其参数值随时间会逐渐变化而趋近于某一恒定值。为了获得稳定而准确的参数值，又不过图3.14 参数恢复后的试验时间确定多地耗费时间，可以选择一组样品，经过一定时间试验后，进行恢复时间与性能参数变化关系的研究，曲线参数趋于基本恒定的时间，即为最佳的测量恢复时间，如图3.14所示。一般规定，在正常大气条件下恢复2～4小时，或按有关产品技术标准的规定进行。
试验过程中各次测试应在同一台仪器上进行，以保证测试数据的可信度。
7.失效时间的确定
在没有失效自动记录装置的情况下，可根据测试间隔中测得的失效数，按等间隔分配公式，确定失效时间。如在时间段ti-1～ti，失效数是Ki，失效时间是tj=ti－1+ti－ti－1Ki+1j j=1,2,3，…，Ki3.5.2 寿命试验数据的统计分析——点估计和区间估计
关于指数分布截尾寿命试验数据的统计分析可以采用图估法和数值解析统计方法。图估法在前面的威尔布概率纸的用法中已做介绍，数值解析法目前最常采用的是点估计法和区间估计法。
1.点估计法
就是利用数据的统计分析，从子样的观测值对母体分布的未知参数真实值给出一个估计数值的方法，得到的是一种近似的估计值，其估计近似程度与子样的大小和所采用的计算方法有关。
因为母体寿命分布是指数分布，未知参数只有一个，即μ0或λ0，两者互为倒数。同时由于试验所得到的数据可以是样品的失效时间，也可以是样品的失效总数，因此，统计分析处理可以按下面两类方法进行。
（1） 按失效时间的统计分析处理
若受试样品的个数为n，试验结束前共观测到r个样品失效，失效时间分别为ti，其中i=1,2,3，…，r。
如果采用无替换截尾试验，那么到试验停止时还有n－r个样品未失效。这n－r个样品在试验停止后还能继续工作的时间分别为t′r+1，t′r+2，t′r+3，…,t′n，把它们称为剩余寿命。未失效的n－r个样品剩余寿命的平均值t′为t′=1n－r∑nj=r+1t′j 在定数截尾试验中，当试验到第r个样品时就停止，即试验到时间tr时停止试验，所以总的平均寿命μ0的估计值为μ0=1n∑ni=1ti=1n∑ri=1ti+∑nj=r+1(tr+t′j)=1n∑ri=1ti+(n－r)(tr+t′) 因为寿命分布属于指数分布，其失效率λ(t)为常数，所以在tr时间后若继续进行试验，则此时统计出的失效率还是那个常数λ0。既然符合指数分布的平均寿命是失效率的倒数，所以同一产品剩余寿命的平均值t′也是平均寿命μ0的估计量μ0。因此，无替换定数截尾试验的平均寿命μ0的估计量μ0为μ0=1n∑ri=1ti+(n－r)(tr+μ0)所以μ0=1r∑ri=1ti+(n－r)tr 对于无替换定时截尾试验，若试验进行到时刻t结束，其累计失效数为r，则平均寿命μ0的估计量可以按照上面同样的分析方法得到，即μ0=1n∑ri=1ti+∑nj=r+1(t+t′j)=1n∑ri=1ti+(n－r)(t+t′)因此μ0=1r∑ri=1ti+(n－r)t 从无替换定数和定时两种截尾试验的平均寿命μ0的估计公式中可以看出：它们都恰好等于参加试验的所有样品实际试验时间的总和除以失效样品总数。通常将样品实际试验时间的总和称为总试验时间，单位为［元件·小时］，以Tn表示。显然，对于无替换定数和定时截尾试验，可以用同一公式来估算未知参数μ0，即μ0=Tnr它们之间的不同之处，仅仅是Tn的具体计算公式不同而已。
同样可以推出，对于有替换定数截尾试验：Tn=ntr对于有替换定时截尾试验：Tn=nt因此，上面四种情况均可以用统一的公式表示，从而可以得出结论：对于指数分布截尾寿命试验的平均寿命的估计值μ0，可以用总试验时间与失效数的比值来确定。这种求出一个数值的估计方法，在数理统计中称为点估计法。
（2） 按失效数的统计分析
在可靠性试验中，有一些产品或有一些试验无法在试验过程中确定受试样品是否失效。只有在试验结束后才能确定，或者用户仅提供使用中出现的失效次数，而没有提供失效的时间，这时产品的平均寿命应如何估计呢？
当试验样品数n较大（一般n≥50）时，若试验时间t结束时有r个产品失效。假设产品失效概率仍服从指数分布，则可靠度可近似表示为R(t)=e－tμ0≈n－rn等式两边取对数－tμ0=ln(n－r)－lnn即μ0=tlnn－ln(n－r)因此，对于n较大的无替换截尾试验，其平均寿命估计值的近似计算公式为μ0=tlnn－ln(n－r)2.区间估计法
就是利用统计分析对分布的未知参数给出一个估计范围的方法，点估计法估计的平均寿命不能给出估计的平均寿命与产品真正的平均寿命之间的误差。因为点估计所得数据是根据从该批产品中抽样n个样品进行试验的结果计算出来的。如果从该批样品中另外抽取n个样品做试验，按新的试验结果计算得到的值就不一定和上次统计出的值相等。一般来说，当试验样品数n增加时，计算出的结果就更接近于产品真正的平均寿命。因此，究竟估计出的平均寿命与真实的平均寿命相差多少呢？如何求出满足给定精度要求的平均寿命的估计值呢？这必须采用置信区间的估计方法（通常简称为区间估计方法）才能解决。
估计的精度和样品数量n有关，n越大，估计出的μ0就越能代表产品的平均寿命，其精度也就越高。但是，如果对产品的真实平均寿命做这样一个估计：“μ0在（0，∞）之间”，这个估计当然100%可信，却没有实际意义。假设一个产品真正的平均寿命为10000小时，若估计μ0在（9000，11000）小时之间是可信的，那么估计μ0在（5000，15000）小时之间就更可信，而估计μ0在（0，∞）之间则100%可信。因为从抽样试验结果来估计μ0，不可能在这个区间之外。而μ0的估计值落在（5000，15000）小时区间之外则是有可能的，落在（9000，11000）小时区间之外的概率就更大些。因此，若要对平均寿命设置一个估计区间（μ下，μ上），一方面希望精度尽可能高一些，也就是，这个估计区间窄一些；另一方面又希望这种估计的正确程度要高一些，也就是，区间（μ下，μ上）包含真实值μ0的概率要尽可能大。这两个要求是矛盾的。因为区间窄，真实值μ0落在区间外的可能性增大，通常把区间（μ下，μ上）称为μ0的置信区间，这种估计方法称为区间估计。把置信区间（μ下，μ上）不包含真实值μ0的概率记作α，称为显著性水平。因此，区间（μ下，μ上）包含μ0的概率为1－α，把1－α称为置信度，μ下称为置信下限，μ上称为置信上限。很显然，置信度就是区间估计正确的概率，也就是平均寿命真实值落入区间内的概率，用公式表示即为P(μ下≤μ0≤μ上)=1-α置信限μ下和μ上与样品数n的大小、置信度1－α等均有关。通常在计算方法和置信度保持不变的条件下，当n选取大时，置信区间就变窄，也就是估计精度高。如果在计算方法和样品数n保持不变的条件下，置信度越大，置信区间就变宽，对参数μ0的估计精度就降低；如果置信区间变窄，置信度就降低，区间内包含参数μ0的概率减小，也就是，错误地估计参数μ0的可能性增大。所以，在预先设定置信度1－α时，要根据具体情况加以权衡确定。
置信区间如何确定呢？
（1） 按失效时间的区间估计
如果对同类产品进行多次寿命试验，所得出的平均寿命估计值总是不同的，因而该产品的失效时间可视为随机变量，对于无替换定数截尾试验，可知μ0=1r∑ri=1ti+(n－r)tr 因为试验中所得到的失效样品r的失效时间是一组随机变量，它和母体服从同一参数μ0的指数分布，所以其分布密度函数为f(t)=1μ0e－tμ0 因此，μ0就是r个相同参数的指数分布的组合，显然μ0在（a，b）范围内取值的概率为P(a≤μ0≤b)=∫baf(t)dt=1-α如图3.15所示，a、b分位点的选择应满足（0，a）之间曲线与横轴所包括面积为α/2，（0，b）之间的面积为1－α/2。实际上，不是直接计算μ0的分布函数，而是计算2rμ0μ0=2Tnμ0的分布函数， 图3.15 置信度的确定从概率论与数理统计理论可以推证，2Tnμ0的分布函数的分位点符合自由度为f=2r的χ2分布。因此，给定置信度为1－α的2Tnμ0的区间估计概率应为P(χ22r,α2≤2Tnμ0≤χ22r,1－α2)=1-α式中，χ22r,α2表示自由度为2r，在α/2分位点的χ2分布值；χ22r,1－α2表示自由度为2r，在1－α/2分位点的χ2分布值，χ2分布值可由前节所述方法得到。
实际需要知道的是平均寿命的置信上下限，因此，将上面的区间估计概率进行变换，即Pχ22r,α2≤2Tnμ0≤χ22r,1－α2
=P1χ22r,1－α2≤μ02Tn≤1χ22r,α2
=P2Tnχ22r,1－α2≤μ0≤2Tnχ22r,α2
=1-α所以，无替换定数截尾试验的平均寿命的置信上下限为μ下=2Tnχ22r,1－α2
μ上=2Tnχ22r,α2同样可得无替换定时截尾试验，置信上下限为（注意不同处）μ下=2Tnχ22r+2,1－α2
μ上=2Tnχ22r,α2 对于有替换定数和定时截尾试验，区间估计公式与上式一样，不同的只是Tn按有替换的总试验时间计算而已。
在研究产品的可靠性指标时，有时关心的只是在置信度1－α下保证真实的平均寿命大于置信下限（即大于某一规定值），即要求P(μ0≥μ下)=1-α对于定数截尾试验，可以推得μ下=2Tnχ22r,1－α对于定时截尾试验，可以推得μ下=2Tnχ22r+2,1－α （2） 按失效数的区间估计
因为从试验结果只知道失效数，而不知道失效时间，所以，要知道平均寿命的区间估计，可先求出失效数的置信区间。若n个样品投入试验，出现r个失效的概率可用概率论中的二项分布来求得，即(nr)pr(1－p)n－r式中，p是失效的概率。当n较大时，二项分布可用均值为np，标准偏差为np(1－p)的正态分布来近似。因此，失效数r可用均值为np，标准偏差为np(1－p)的正态分布来计算。当设定置信度为1－α时，其分位点服从标准正态分布的α分位点，即Kα，很显然PK1α≤r－npnp(1－p)≤K1－1α
=Pnp+K1αnp(1－p)≤r≤np+K1－1αnp(1－p)=1-α式中，p可用失效的频率r/n来近似，因而上式变为Pr+K1αr(n－r)n≤r≤r+K1－1αr(n－r)n=1-α从而可得上式r的置信上、下限分别为r上=r+K1－1αr(n－r)n
r下=r+K1αr(n－r)n代入失效率的点估计值μ0=tlnn－ln(n－r)可得平均寿命的置信区间上、下限分别为μ下=tlnn－lnn－r－K1αr(n－r)n
μ上=tlnn－lnn－r－K1－1αr(n－r)n式中，Kα可由正态分布表的α分位点确定或者计算得到（同第2章所述）。
