53. 最大子序和

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给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:
输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

思路

这道题之前我们在讲解贪心专题的时候用贪心算法解决过一次，这次我们用动态规划的思路再来分析一次。

动规五部曲如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。

1. 确定递推公式

dp[i]只有两个方向可以推出来：

• dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
• nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

1. dp数组如何初始化

从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。

dp[0]应该是多少呢?

根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。

1. 确定遍历顺序

递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。

1. 举例推导dp数组

以示例一为例，输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下：

注意最后的结果可不是dp[nums.size() - 1]！ ，而是dp[6]。

在回顾一下dp[i]的定义：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。

那么我们要找最大的连续子序列，就应该找每一个i为终点的连续最大子序列。

所以在递推公式的时候，可以直接选出最大的dp[i]。

以上动规五部曲分析完毕，完整代码如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return 0;
        vector<int> dp(nums.size());
        dp[0] = nums[0];
        int result = dp[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); // 状态转移公式
            if (dp[i] > result) result = dp[i]; // result 保存dp[i]的最大值
        }
        return result;
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

。

其他语言版本

Java：

   /**
     * 1.dp[i]代表当前下标对应的最大值
     * 2.递推公式 dp[i] = max (dp[i-1]+nums[i],nums[i]) res = max(res,dp[i])
     * 3.初始化 都为 0
     * 4.遍历方向，从前往后
     * 5.举例推导结果。。。
     *
     * @param nums
     * @return
     */
    public static int maxSubArray(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) {
            return 0;
        }

        int res = nums[0];
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
            res = res > dp[i] ? res : dp[i];
        }
        return res;
    }

//因为dp[i]的递推公式只与前一个值有关，所以可以用一个变量代替dp数组，空间复杂度为O(1)
class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int res = nums[0];
        int pre = nums[0];
        for(int i = 1; i < nums.length; i++) {
            pre = Math.max(pre + nums[i], nums[i]);
            res = Math.max(res, pre);
        }
        return res;
    }
}

Python：

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        if len(nums) == 0:
            return 0
        dp = [0] * len(nums)
        dp[0] = nums[0]
        result = dp[0]
        for i in range(1, len(nums)):
            dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]) #状态转移公式
            result = max(result, dp[i]) #result 保存dp[i]的最大值
        return result