说明
【跟月影学可视化】学习笔记。
向量的点乘
假设有两个 N 维向量 a 和 b，a = [a1, a2, ...an]，b = [b1, b2, ...bn]，那向量的点积代码如下：
a•b = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn
在 N 维线性空间中，a、b 向量点积的几何含义，是 a 向量乘以 b 向量在 a 向量上的投影分量。
当 a、b 两个向量平行时：
a.x * b.x + a.y * b.y === a.length * b.length；
当 a、b 两个向量垂直时：
a.x * b.x + a.y * b.y === 0;
向量的叉乘
向量 a 和 b 的叉积，就相当于向量 a（蓝色带箭头线段）与向量 b 沿垂直方向的投影（红色带箭头线段）的乘积。
数学里计算叉乘：假设有两个三维向量 a(x1, y1, z1) 和 b(x2, y2, z2)，那么，a 与 b 的叉积可以表示为一个如下图的行列式：
行列式展开，公式如下：
a X b = [y1 * z2 - y2 * z1, - (x1 * z2 - x2 * z1), x1 * y2 - x2 * y1]
在右手系中求向量 a、b 叉积的方向时，大拇指所指的方向就是 a、b 叉积的方向，这个方向是垂直纸面向外（即朝向我们）。
在二维空间里，由于 z 的值为 0，a X b 的数值，就等于 x1 * y2 - x2 * y1。二维空间中向量叉乘的物理意义就是 a 和 b 的力矩（力矩你可以理解为一个物体在力的作用下，绕着一个轴转动的趋向。它是一个向量，等于力臂 L 和力 F 的叉乘。
叉乘和点乘不同点
- 向量叉乘运算的结果不是标量，而是一个向量
- 两个向量的叉积与两个向量组成的坐标平面垂直
归一化
归一化就是让向量 v0除以它的长度（或者说是模）。归一化后的向量方向不变，长度为 1。
实例：扫描器
要检查某个点是否在扫描范围里
我们可以添加一个单位向量v (0,1) 与这个点的向量求叉积
点在扫描范围内，如向量 a，就一定满足：
|a X v| <= ||a||v|sin(30°)| = |sin(30°)| = 0.5；
<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta charset="UTF-8"> <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge"> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> <title>扫描器</title> </head> <body> <script type="module"> import { Vector2D } from './common/lib/vector2d.js'; function isInRange(v, a) { // a.normalize() 即将 a 归一化 // dot(v) => this.x * v.x + v.y * this.y return v.dot(a.normalize()) >= Math.cos(Math.PI/6); } console.log("向量（1,1）在扫描范围里吗", isInRange(new Vector2D(0, 1), new Vector2D(1, 1))) console.log("向量（0, 0）在扫描范围里吗", isInRange(new Vector2D(0, 1), new Vector2D(0, 0))) console.log("向量（0, 2）在扫描范围里吗", isInRange(new Vector2D(0, 1), new Vector2D(0, 2))) console.log("向量（0, -2）在扫描范围里吗", isInRange(new Vector2D(0, 1), new Vector2D(0, -2))) console.log("向量（2, 0）在扫描范围里吗", isInRange(new Vector2D(0, 1), new Vector2D(2, 0))) console.log("向量（-2, 0）在扫描范围里吗", isInRange(new Vector2D(0, 1), new Vector2D(-2, 0))) console.log("向量（1, 4）在扫描范围里吗", isInRange(new Vector2D(0, 1), new Vector2D(1, 4))) </script> </body> </html>
