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这一小节,我们接着上一小节,来看标志位的生成,对上节课的加法器进行一个补充。
两个 n 比特的数相加,除了得到 n 比特的相加结果之外,加法器还可以输出 4 个标志的信息OF、SF、ZF、CF这四个标志位。
一、OF标志位
(1)介绍
首先来看OF
这个标志位的含义,以及如何确定OF的值。
OF它的英文全称叫 Overflow Flag, Overflow就是溢出的意思。所以这个标志就是用于表示运算是否发生了溢出。
如果溢出,OF 就是1;如果没有发生溢出,OF就是0。
需要注意的是,OF这个标志位仅在有符号数的加减运算当中有意义。
我们上节课说过,无论是有符号数的加减运算,还是无符号数的加减运算,在底层都是用同一套电路来实现的,所以无论是有符号数的加减,还是无符号数的加减,最终都会产生OF、SF、ZF、CF这 4 个标志位。
但是OF这个标志位只在有符号数的加减运算当中是有含义的。也就是说,如果现在进行的是无符号数的加减运算,即便OF这个出标志等于1,那也并不能说明无符号数发生了溢出。
所以,无符号数的加减运算是否产生了溢出,我们不看OF标志位,这个OF标志位的信息,只在有符号数加减运算的时候才有含义。
(2)硬件层面
搞清楚它的含义之后,接下来我们看OF
标志位在硬件层面是如何确定的。
OF的确定规则是,通过最高位产生的进位与次高位产生的进位进行异或来确定。
我们回到上一节提到的例子。
1.加法运算
首先来看加法运算
。
x 加 y ,就是1000 加上 0111 。进行加法
的时候, Sub 这一位,也就是 Cin 这一位是 0 ,所以最后加上一个0。
对应的位相加, 0加1再加 0 等于 1,向更高位的进位是0。
接下来对应的这一位相加,0加1再加0最后等于1,向更高位产生的进位是0。
再往后的三位相加, 0 加1再加0等于1,向更高位产生的进位是0。
接下来最高的这一位,1加0再加刚才的进位 0 等于 1,最高位往更高位的进位应该是0。
OF的确定方式是,最高位产生的进位和次高位产生的进位进行异或。
在我们刚才的运算当中,最高位产生的进位是0,而次高位产生的进位也是0,所以 OF就等于0异或上 0,0 和0异或还是等于 0 。
所以在补码的加法运算当中, OF等于0,也就意味着没有发生溢出,这个运算结果是正确的。
2.减法运算
接下来再来看减法运
算。
x 减y,这个减法在背后做的事情就是x (1000) 加上y全部按位取反1000 ,末位再加上 Sub 减法信号信号 1 。
同样得,一位一位往上加。
0加0再加1,这一位等于1,往更高位的进位是 0。
0 加0再加0,这一位等于0,往更高位的进位是0;然后0加0再加0,这位的本位和是0,往更高位的进位也是0。最后一位 1加1 再加0,本位和就应该等于0,往更高位的进位就应该等于1。如下:
在减法运算当中, OF等于最高位产生的进位(1)和次高位产生的进位(0)进行异或, 1 和0异或等于1,这就说明产生了溢出。
也就是运算结果是错误的,说明的是这样的信息。
通过这个例子,相信大家已经能够掌握 OF这一位的运算方式。什么叫最高位产生的进位,什么叫次高位产生的进位,要知道分别指的是什么东西。
3.注意
最后再次强调, OF这个标志位对于无符号数的加减法是没有意义的,并不能说明无符号数的加减法发生了溢出,只有在有符号数的加减运算当中,它可以说明是否发生了溢出。
通过上一节课我们强调的这两个例子,大家是能够感受出来的。
同样是刚才的 1000 加上0111。如果我们按照无符号数来对运算进行解释,在 x 加 y 的运算当中,同样的OF等于0,底层的计算逻辑是一样的。用最高位产生的进位和次高位产生的进位进行异或来确定OF的值。
x 加y,OF等于0;x 减y,OF等于1 ,底层的处理逻辑一样。
由于此时是无符号数的加减运算,因此在 x 减 y 的时候,OF等于 1 并不能说明它产生了溢出,这个结果依然是正确的。
所以结合上节课的两个例子,大家应该能够感受到 OF这一位应该怎么计算,以及需要注意哪些东西。
这是第一个标志位 OF的生成。
二、SF标志位
接下来第二个标志位SF
,符号标志 Sign Flag。
如果运算结果是负的,那么置为1。如果运算结果是正的,那么置为0。
SF 的确定很简单,只需要取最高位的本位和就可以。
回到刚才我们说的这个例子,刚才我们在计算 x 减 y 的时候,会把这些对应的比特位依次相加,最高的这一位是 1 加 1再加0。
那么在这一位的本位和就是0,也就是最后输出的这 n 个比特的最高位是多少, SF 就是多少。
所以你像刚才 x 减 y 的这个例子当中, SF 的值就是0,也就意味着 x 减 y 得到的结果是一个正数。
而 x 加 y 得到的值最高的这一位是1,所以SF这个标志位应该是等于1,表示这个运算得到的结果是一个负值。
所以 SF 标志位的确定很简单,只需要取运算结果的最高位就可以了。
需要注意的是, SF 同样只对有符号数的加减运算有意义,对于无符号数的加减运算是没有意义的。
因为无符号数没有正负这一说,所以这个标志位它表示的正负性对于无符号数而言就没有意义。
三、ZF标志位
接下来第三个标志位ZF
。
ZF的确定也很简单,如果运算的结果,这 n 个比特全部都是0,那么ZF就是1。
它的含义就是运算结果是否为0。
ZF这个标志位,无论对有符号数还是对无符号数,都是有意义的。
四、CF标志位
最后一个标志CF
。
这个标志叫做进位借位。
发生进位借位的时候, CF 等于1,否则置为0。
:question: 这个标志位怎么确定?
CF可以用最高位产生的进位和Sub,也就是加法/减法这个控制信号进行一个异或,当我们进行加法的时候, Sub 等于0;进行减法的时候, SUB 等于1。
需要强调的是,CF它只对无符号数的加减法有意义,对于有符号数的加减法是没有意义的。
回到无符号数加减法的例子。
如何确定 CF 标志位?CF是用最高位产生的进位,和 Sub 进行一个异或得到的。
最高位产生的进位,其实就是我们上节课说到的Cout。然后 和Sub 信号进行异或,其实就是和 Cin进行一个异或。
当然你想把它写成 Sub 也可以,因为 Sub 和 Cin 本来就是一个东西。
来看一下第二个例子(图中例2)。
<1>加法
x 加 y 背后要做的事情就是 0011 加上0100。由于此时进行的是加法,所以最低位要加0。运算的结果应该是0111,最高位产生的进位应该等于0。
而此时进行的是加法,所以Sub这个信号等于0, 0 和0异或等于0。
这就说明在这个无符号数加法当中,没有产生往更高位的进位,也就意味着没有发生溢出。
所以这个结果是正确的。
<2>减法
再来看减法运算背后做的事情。
0011 加上1011,末尾还要加1,因为Sub 等于 1 。
在这个减法运算当中, CF 应该等于最高位产生的进位0 ,然后和 Sub 信号进行异或。
此时是减法,所以 Sub 等于1,异或的结果就等于1。
这就说明在这个减法运算当中产生了借位,也就是被减数不够减,还需要往更高位借一位,这也意味着被减数要比减数更小,这才导致了减法运算发生了借位。
这也就意味着最终运算的结果肯定是错误的,发生了溢出。
这就是最后一个标志位。用最高位产生的进位和Sub,也就是加减的控制信号进行异或来确定 CF 到底是多少。
当 CF 等于 1 的时候,说明无符号数的加减运算发生了进位或者借位,也就是发生了溢出。
五、总结回顾
无符号数的加减运算如何判断是否产生了溢出,你得看 CF 这一位。
而有符号数的加减运算是否发生了溢出,你得看OF这一位。
这也就解释了我们上一节课提到的这两个例子留下来的疑问,为什么同样的两个二进制进行相加,把它看作有符号数,就发生了溢出,但是把它看作无符号数,又没有发生溢出,大家可以自己验证一下。
在第一个例子的减法运算当中, OF这一位等于1,但是CF那一位等于0。所以如果是有符号数的减法运算,就会产生溢出;但如果我们把它看作无符号数的减法运算,CF等于0,就说明没有发生溢出。
这就是在加减运算当中确定 4 个标志位的方法,以及 4 个标志位的含义。