香槟塔【LC799】
我们把玻璃杯摆成金字塔的形状，其中 第一层 有 1 个玻璃杯， 第二层 有 2 个，依次类推到第 100 层，每个玻璃杯 (250ml) 将盛有香槟。
从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）
例如，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。
现在当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（ i 和 j 都从0开始）。
起晚了，周赛只A了一题半，没吃早饭果然脑子动不起来:-|
- 思路：模拟倒香槟的过程，使用t a b l e s tablestables数组记录香槟塔每个位置的香槟，第i + 1行的香槟的容量由前一行香槟的容量决定，香槟t a b l e s [ i ] [ j ] 可能会对t a b l e s [ i + 1 ] [ j ] 和t a b l e s [ i + 1 ] [ j + 1 ] 造成影响
。如果t a b l e s [ i ] [ j ] > 1 ，那么流入下一行的两个玻璃杯的香槟为( t a b l e s [ i ] [ j ] − 1 ) / 2
。如果t a b l e s [ i ] [ j ] < = 1，那么不会对下一行的两个玻璃杯造成影响
- 动态规划
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]:香槟塔第i行第j列玻璃杯中香槟的容量
2.确定递推公式
。如果第i行第j列玻璃杯存在溢出现象，即d p [ i ] [ j ] > 1 ，修改下一行对应的两个玻璃杯的香槟量，并将该玻璃杯的香槟量修改为1
d p [ i + 1 ] [ j ] + = ( d p [ i ] [ j ] − 1 ) / 2
dp[i+1][j]+=(dp[i][j]−1)/2
d p [ i ] [ j ] = 1
3.如何初始化
。dp[0][0]=poured;
4.确定遍历顺序
由dp公式可知，外层正序遍历行i，内层正序遍历列j
5.举例推导dp数组
- 实现
class Solution { public double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) { double[][] tables = new double[query_row + 10][query_row + 10]; tables[0][0] = poured; for (int i = 0; i <= query_row; i++){ for (int j = 0; j <= i; j++){ if (tables[i][j] > 1){ double p = (tables[i][j] - 1) / 2.0; tables[i+1][j] += p; tables[i+1][j+1] += p; tables[i][j] = 1; } } } return tables[query_row][query_glass]; } }
。复杂度
- 时间复杂度：O ( n 2 ) ，n为行数
- 空间复杂度：O ( n 2 )
- 优化空间复杂度，因dp过程中，只需要记录当前行和后一行的香槟量，因此可以使用2行的dp数组代替
class Solution { public double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) { double[][] tables = new double[2][query_row + 10]; tables[0][0] = poured; for (int i = 0; i <= query_row; i++){ int cur = i & 1, next = (i + 1) & 1; Arrays.fill(tables[next],0); for (int j = 0; j <= i; j++){ if (tables[cur][j] > 1){ double p = (tables[cur][j] - 1) / 2.0; tables[next][j] += p; tables[next][j+1] += p; tables[cur][j] = 1; } } } return tables[query_row & 1][query_glass]; } }
。复杂度
- 时间复杂度：O ( n 2 ) ，n为行数
- 空间复杂度：O ( n )
