【数学模型】层次分析

简介: 【数学模型】层次分析

层次分析(The analytic hierarchy process) 简称AHP,是建模比赛中最基础的模型之一,其主要用于解决评价类问题(例如:选择哪种方案最好、哪位运动员或者员工表现的更优秀等。)


该方法仍具有较强的主观性,判断/比较矩阵的构造在一定程度上是凭感觉决定的,一致性检验只是检验 感觉 有没有自相矛盾得太离谱。

引例:


高考结束,坤坤面临选择大学的问题,摆在他面前的选择有两个:大学A和大学B。


坤坤觉得,他最关心的有四个方面:学习氛围,就业前景,男女比例,校园景色,权重分别为0.4,0.3,0.2,0.1。


那么坤坤要完成的,就是通过调查这两所学校的上面4个特征指标,对其进行打分,完成下表:


权重
大学A 大学B
学习氛围 0.4
就业前景 0.3
男女比例 0.2
校园景色 0.1

最终,经过坤坤百度以及各种调查,打分如下(要求同一特征不同大学分数之和为1):


权重
大学A 大学B
学习氛围 0.4 0.6 0.4
就业前景 0.3 0.5 0.5
男女比例 0.2 0.3 0.7
校园景色 0.1 0.2 0.8

经计算:

  • A = 0.4*0.6 + 0.3*0.5 + 0.2*0.3 + 0.1*0.2=0.47
  • B = 0.53

B>A 因此最终小坤去了大学B。

打分法解决评价问题时,只需要我们补充完成下面这张表格即可:


权重
方案1 方案2
指标1
指标2
指标3
指标4

同颜色单元格之和为1。

一、层次分析法的例题

题目:


选择好大学后,坤坤准备在开学前去旅游,他决定在城市A,城市B,城市C中选择一个作为目标地点。


请你确定评价指标、形成评价体系来为坤坤同学选择最佳的方案。


从上面居中的这段话中,很直接得就告诉我们这是一个评价类问题,那么我们不妨用刚刚学到的层次分析来解决这个问题。


解决评价类问题,大家首先要想到以下三个问题:


我们评价的目标是什么?

最佳旅游目标的选择

我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案?

城市A、B、C

评价的准则或者说指标是什么?

我们根据什么东西来评价好坏?

那么问题来了,对于第三个问题,题目没给相关数据支撑,比如哪里的空气好啊费用低呀... 需要我们查阅相关的资料。


一般而言,前两个问题的答案很容易得到,第三个问题的答案需要我们根据题目中的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料进行结合,从中筛选出最合适的指标。


这个时候,我们就可以去知网(或者万方、百度学术、谷歌学术等平台)搜索相关的文献,这样一来,我们的论文也就有文献引用了,让我们的数据等看起来有理有据,显得专业,还能明目张胆地借鉴学习一下他们论文中的观点。


推荐一个据说很厉害的网站:虫部落快搜 - 搜索快人一步


那么现在,假如我们替坤坤查询了资料后选择了以下五个指标:


景点景色

旅游花费

居住环境

饮食情况

交通便利程度

接下来,要对坤坤如何提问才能帮他做出合理的决定?


这就要用到我们最开始学的那张表了


权重
城市A 城市B 城市C
景色
花费
居住
饮食
交通

但是,如果我们直接问坤坤:权重多少,城市ABC评分多少,会显得十分片面且不周全(第二天再问他绝对又换了个数,他自己也记不清。)


在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时,遇到的主要困难 是这些比重常常不易定量化。此外,当影响某因素的因子较多时,直接 考虑各因子对该因素有多大程度的影响时,常常会因考虑不周全、顾此 失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据,甚至 有可能提出一组隐含矛盾的数据。


——选自司守奎[kuí]老师的《数学建模算法与应用》


因此,我们采用分而治之的思想,先来处理权重吧~


问题:


一次性考虑这五个指标之间的关系,往往考虑不周。

解决方法:


两个两个指标进行比较,最终根据两两比较的结果来推算出权重

1.1 两两比较获得判断矩阵

简单来说就是我们这5个指标分别比较,比如我觉得:景色比花费更重要,饮食比交通非常重要... 通过这样的方式对不同的重要程度赋值 并 最后计算,从而得到权值。

image.png

接下来,就是两两比较五个指标对于选择最终的旅游景点的重要性。

我们绘制如下表格,其对角线肯定都为1:

image.png

问:景色和花费相比的重要程度?

坤:我认为景色比花费略重要,介于同等重要1和稍微重要3之间吧。

问:景色和居住相比的重要程度?

坤: 我认为景色比居住要重要一点,介于稍微重要3和明显重要5之间吧。

image.png

这样坤坤回答完10次( ),填完了这张用于计算权重的表格(重要性更加稳定精确了):

image.png

注:实际情况下没有坤坤帮我们回答,层次分析法中这张表是交给‘专家’ 填的,具体我们等后面再说。(其实我们自己凭感觉填,在论文中不说怎么来的也行,后面会有获奖案例鉴赏。)


这样,我们所形成的正互反矩阵,就是层次分析法中的判断矩阵。


得到判断矩阵,我们就可以计算出权重了,方法后面再讲。


同理,我们可以得到城市A、B、C在景色、花费、居住、饮食、交通所占的权重(得分),因此需要再填5张表格,如问完了坤坤对于城市ABC中景色的看法:

景色 城市A 城市B 城市C
城市A 1 2 5
城市B 1/2 1 2
城市C 1/5 1/2 1

其它关于花费、居住、饮食、交通的表我就略了。

注:一个可能出现问题的地方:

坤坤:我觉得x比y好,y比z好,z比x好或一样好。

如果把语气加重一些,谁比谁非常好,那么这种不一致的现象会更加严重。

1.2 一致性正互反矩阵的引入

此时,我们就要介绍一个东西:一致矩阵,用它来判断数据知否合理。

  • 若矩阵中每个元素 且满足 ,则我们称该矩阵为正互反矩阵
  • 在层次分析法中,我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。
  • 若正互反矩阵满足 ,则我们称其为一致矩阵

image.png

你看,上面这个矩阵就是一致矩阵。

比如我让i=1, j=2, k=3, 那么2*2=4:

令i=2, j=2, k=1, 那么1*1/2=1/2:

此外除了 一致矩阵还有个特点,就是行或列对应成比例

我们引入一致矩阵,用来检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别。

image.png

image.png

引理:n阶正反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征是 ;

          且当正反矩阵A非一致时,

image.png

从上图我们可以发现,当a=4也就是上方刚开始介绍的一致矩阵,此时最大特征值最小,为3=n也就是矩阵的阶数。若a不为4,或a离4越来越远,不一致现象越明显,则其特征值也递增。

1.2.1 一致性检验的步骤

1. 计算一致性指标CI

2. 查下表找对应的平均随机一致性指标RI

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
R 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59

注:在实际运用中,n很少超过10,如果指标的个数大于10,则可考虑建立 二级指标体系,或使用我们以后要学习的模糊综合评价模型。

3. 计算一致性比例CR

果CR < 0.1,  则可认为判断矩阵的一致性可以接受;

否则需要对判断矩阵进行修正。

1.3 根据一致性正互反矩阵计算权重

以下表为例,虽然不是一致矩阵,但它的CR<0.1,我们选择接受不做调整。

(CR>0.1如何调整在后面)。

景色 城市A 城市B 城市C
城市A 1 2 5
城市B 1/2 1 2
城市C 1/5 1/2

我们取出第一列,做归一化处理(城市ABC对于城市A的重要性是1、1/2、1/4)。


城市A = 1 /(1+0.5+0.2) = 0.5882

城市B = 0.5/(1+0.5+0.2) = 0.2941

城市C = 0.2/(1+0.5+0.2) =  0.1177

之后我们拿出二三列重复上面操作:


城市A = 2 /(2+1+0.5) =  0.5714

城市B = 1/(2+1+0.5) =  0.2857

城市C = 0.5/(2+1+0.5) =  =  0.1429

城市A = 5 /(5+2+1) = 0.625

城市B = 2/(5+2+1) =  0.25

城市C = 1/(5+2+1) =   0.125

这样我们得到三组权重:


法1:算术平均求权重:


第一步:将判断矩阵按照列归一化 (每一个元素除以其所在列的和)

第二步:将归一化的各列相加(按行求和)

第三步:将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量

城市A = (0.5882+0.5714+0.625)/3=0.5949

城市B = (0.2941+0.2857+0.25)/3=0.2766

城市C = (0.1177+0.1429+0.125)/3=0.1285

法2:几何平均法求权重


第一步:将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量

第二步:将新的向量的每个分量开n次方

第三步:对该列向量进行归一化即可得到权重向量

城市A = 0.5954

城市B = 0.2764

城市C = 0.1283

法3:特征值法求权重


假如我们的判断矩阵一致性可以接受,那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。


一致矩阵有一个特征值为n,其余特征值均为0。


第一步:求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量

第二步:对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

景色 城市A 城市B 城市C
城市A 1 2 5
城市B 1/2 1 2
城市C 1/5 1/2 1

该表最大特征值为3.0055,一致性比例CR=0.0053,对应的特征向量:[-0.8902,-0.4132,-0.1918],对其进行归一化:[0.5954,0.2764,0.1283]

image.png

我们大多数情况下使用特征值法,将其带入初始要填的表:

image.png

同理这些空着的地方都可以使用同样的方式。

此时,我们终于得到了这个判断矩阵:

image.png

城市A最终得分:0.299

城市B最终得分:0.245

城市C最终得分:0.455

所以最后去城市C旅游。

二、层次分析法

层次分析法(The Analytic Hierarchy Process即 AHP)是由美国运筹学家、 匹兹堡大学教授T . L. Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合 评价方法,是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的,它较合理地解 决了定性问题定量化的处理过程。


AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构,把人类的判断转化到若干因 素两两之间重要度的比较上,从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重 要度的比较上面。在许多情况下,决策者可以直接使用AHP进行决策,极大 地提高了决策的有效性、可靠性和可行性,但其本质是一种思维方式,它把 复杂问题分解成多个组成因素,又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次 结构,通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体 现了人类决策思维的基本特征,即分解、判断、综合,克服了其他方法回避 决策者主观判断的缺点

步骤:

1.分析系统中各因素之间的关系,建立系统的递阶层次结构.

注意:如果你用到了层次分析法,那么上面这个层次结构图要放在你的建模论文中哦。

2. 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要 性进行两两比较,构造两两比较矩阵(判断矩阵)。

看看优秀论文的做法吧:

【2008年国赛B题一等奖】  关于高等教育学费标准的评价及建议

【2016年国赛MATLAB创新奖B题】中国人民大学‐小区开放道路通行影响

准则层—方案层的判断矩阵的数值要结合实际来填写,如果题目中有其他数据, 可以考虑利用这些数据进行计算。


例如:有一个指标是交通安全程度,现在要比较开放小区、半开放小区和封闭小区,而且 你收集到了这些小区车流量的数据,那么就可以根据这个数据进行换算作为你的判断矩阵。


3. 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重, 并进行一致性检验(检验通过权重才能用)


CR<0.1通过后,三种3方法计算权重:算术平均、几何平均、特征值法。


建议大家在比赛时三种方法都使用


以往的论文利用层次分析法解决实际问题时,都是采用其中某一种方法求权重,而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性,本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值,再根据得 到的权重矩阵计算各方案的得分,并进行排序和综合分析,这样避免了 采用单一方法所产生的偏差,得出的结论将更全面、更有效。


注:


一致矩阵不需要进行一致性检验,只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进 行一致性检验;

在论文写作中,应该先进行一致性检验,通过检验后再计算 权重,视频中讲解的只是为了顺应计算过程

当CR>0.1时如何修正?

指标X 城市A 城市B 城市C
城市A 1 2 1
城市B 1/2 1 2
城市C 1 1/2 1

答:往一致矩阵上调整,一致矩阵的行列成倍数关系

所以:

指标X 城市A 城市B 城市C
城市A 1 2 4
城市B 1/2 1 2
城市C 1/4 1/2 1

4. 根据权重矩阵计算最终得分,并进行排序。

三、层次分析法的一些局限性

1. 评价的决策层不能太多,太多的话n会很大,判断矩阵和 一致矩阵差异 可能会很大。

   我们上面提到过的RI指标也只到了15:

image.png

2. 如果决策层中指标的数据是已知的,那么我们如何利用这些数据来使得评价的更加准确呢?


层次分析法中,实际情况下没有坤坤帮我们回答,层次分析法中这张表是交给‘专家’ 填的。(谁比谁重要啊,重要程度是几呀... ),其实我们自己凭感觉填(两两比较的结果)。


该方法仍具有较强的主观性,判断/比较矩阵的构造在一定程度上是凭感觉决定的,一致性检验只是检验 感觉 有没有自相矛盾得太离谱。  

四、模型拓展

1. 多个准则层:

与之前做法一样,不过是多算几组表格。

2. 准则不对应全部方案:

可以把另一个方案的权重设为0

*3. 一个准则只对应自己的方案

我们只要生成这样的表即可:

先成大的部分的判断矩阵,再分别处理小的。

感觉这个模型还是很简单的。如果有不理解的地方可以联系帅气的博主。

五、代码展示

你要购买一台笔记本电脑,要考虑其:颜值、性能、口碑、重量、保险情况,这5个方面,最终筛选出了3种品牌的电脑。

第一步:

确定了目标层、准则层、方案层后,我们要做的就是填下表:

权重 电脑A 电脑B 电脑C
颜值
性能
口碑
重量
保险情况

第二步:

我们先处理第一列(权重),其判断矩阵如下。

颜值 性能 口碑 重量 保险情况
颜值 1 1/2 4 3 3
性能 2 1 7 5 5
口碑 1/4 1/7 1 1/2 1/3
重量 1/3 1/5 2 1 1
保险情况 1/3 1/5 3 1 1

matrix = np.array([[1, 1 / 2, 4, 3, 3], [2, 1, 7, 5, 5], [1 / 4, 1 / 7, 1, 1 / 2, 1 / 3], [1 / 3, 1 / 5, 2, 1, 1],

                      [1 / 3, 1 / 5, 3, 1, 1]])

下面我就以上面这个判断矩阵为例子,定义权重类:

代码1:

  • 只定义了权重求解类,初始化时要传入一个判断矩阵。
  • 往往我们层次分析问题要求解多个判断矩阵,可以自己在这基础之上定义一个AHP类,初始化时把全部判断矩阵都放进去,直接内部计算输出选择方案。
import numpy as np
# 计算权重类
# 首先初始化判断矩阵,检验其CR是否<0.1,如果小于则计算权重,否则提示调整矩阵内数值。
class Calculate_weights:
    # 初始化判断矩阵
    def __init__(self, array):
        self.array = array
        # n为矩阵维度
        self.n = array.shape[0]
        # 矩阵的特征值和特征向量
        self.eig_val, self.eig_vector = np.linalg.eig(self.array)
        # 矩阵的最大特征值
        self.max_eig_val = np.max(self.eig_val)
        # 矩阵最大特征值对应的特征向量
        self.max_eig_vector = self.eig_vector[:, np.argmax(self.eig_val)].real
        # 矩阵的一致性指标CI
        self.CI_value = (self.max_eig_val - self.n) / (self.n - 1)
        # 平均随机一致性指标RI值列表,用于一致性检验。
        self.RI_list = [0, 0, 0.52, 0.89, 1.12, 1.26, 1.36, 1.41, 1.46, 1.49, 1.52, 1.54, 1.56, 1.58,
                        1.59]
        # 矩阵的一致性比例CR
        self.CR_value = self.CI_value / (self.RI_list[self.n - 1])
    # 一致性判断 返回布尔类型
    def test_consist(self):
        # 打印矩阵的一致性指标CI和一致性比例CR
        # 进行一致性检验判断
        if self.n == 2 or self.CR_value < 0.1:  # 二阶矩阵或CR值小于0.1,可以通过一致性检验。
            return True
        else:  # CR值大于0.1, 一致性检验不通过。
            print("判断矩阵的CR值为:" + str(self.CR_value) + ",未通过一致性检验。")
            return False
    # 算术平均法求权重
    def cal_weight_by_arithmetic_method(self):
        # 求矩阵的每列的和
        col_sum = np.sum(self.array, axis=0)
        # 将判断矩阵按照列归一化
        array_normed = self.array / col_sum
        # 计算权重向量
        array_weight = np.sum(array_normed, axis=1) / self.n
        # 打印权重向量
        print("算术平均法计算得到的权重为:\n", array_weight)
        # 返回权重向量的值
        return array_weight
    # 几何平均法求权重
    def cal_weight_by_geometric_method(self):
        # 求矩阵的每列的积
        col_product = np.product(self.array, axis=1)
        # 将得到的积向量的每个分量进行开n次方
        array_power = np.power(col_product, 1 / self.n)
        # 将列向量归一化
        array_weight = array_power / np.sum(array_power)
        # 打印权重向量
        print("几何平均法计算得到的权重为:\n", array_weight)
        # 返回权重向量的值
        return array_weight
    # 特征值法求权重
    def cal_weight_by_eigenvalue_method(self):
        # 将矩阵最大特征值对应的特征向量进行归一化处理就得到了权重
        array_weight = self.max_eig_vector / np.sum(self.max_eig_vector)
        # 打印权重向量
        print("特征值法计算得到的权重为:\n", array_weight)
        # 返回权重向量的值
        return array_weight
if __name__ == "__main__":
    # 给出判断矩阵
    matrix = np.array([[1, 1 / 2, 4, 3, 3], [2, 1, 7, 5, 5], [1 / 4, 1 / 7, 1, 1 / 2, 1 / 3], [1 / 3, 1 / 5, 2, 1, 1],
                       [1 / 3, 1 / 5, 3, 1, 1]])
    # 权重对象
    weights_obj = Calculate_weights(matrix)
    if weights_obj.test_consist():
        # 算术平均法求权重
        weight1 = weights_obj.cal_weight_by_arithmetic_method()
        # 几何平均法求权重
        weight2 = weights_obj.cal_weight_by_geometric_method()
        # 特征值法求权重
        weight3 = weights_obj.cal_weight_by_eigenvalue_method()

算术平均法计算得到的权重为:

[0.26228108 0.47439499 0.0544921  0.09853357 0.11029827]

几何平均法计算得到的权重为:

[0.2636328  0.47726387 0.05307416 0.09883999 0.10718918]

特征值法计算得到的权重为:

[0.26360349 0.47583538 0.0538146  0.09806829 0.10867824]

很明显,性能要更重要一些:

因此我们填完了表的第一列:

权重 电脑A 电脑B 电脑C
颜值 0.2636
性能 0.4758
口碑 0.0538
重量 0.0980
保险情况 0.1086

其它列同理。

代码2:

  • AHP类,初始化时把全部判断矩阵都放进去,直接内部计算输出选择方案。

总之要学会变通。

import numpy as np
# 计算权重类
# 首先初始化判断矩阵,检验其CR是否<0.1,如果小于则计算权重,否则提示调整矩阵内数值。
class Calculate_weights:
    # 初始化判断矩阵
    def __init__(self, array):
        self.array = array
        # n为矩阵维度
        self.n = array.shape[0]
        # 矩阵的特征值和特征向量
        self.eig_val, self.eig_vector = np.linalg.eig(self.array)
        # 矩阵的最大特征值
        self.max_eig_val = np.max(self.eig_val)
        # 矩阵最大特征值对应的特征向量
        self.max_eig_vector = self.eig_vector[:, np.argmax(self.eig_val)].real
        # 矩阵的一致性指标CI
        self.CI_value = (self.max_eig_val - self.n) / (self.n - 1)
        # 平均随机一致性指标RI值列表,用于一致性检验。
        self.RI_list = [0, 0, 0.52, 0.89, 1.12, 1.26, 1.36, 1.41, 1.46, 1.49, 1.52, 1.54, 1.56, 1.58,
                        1.59]
        # 矩阵的一致性比例CR
        self.CR_value = self.CI_value / (self.RI_list[self.n - 1])
    # 一致性判断 返回布尔类型
    def test_consist(self):
        # 打印矩阵的一致性指标CI和一致性比例CR
        # 进行一致性检验判断
        if self.n == 2 or self.CR_value < 0.1:  # 二阶矩阵或CR值小于0.1,可以通过一致性检验。
            return True
        else:  # CR值大于0.1, 一致性检验不通过。
            print("判断矩阵的CR值为:" + str(self.CR_value) + ",未通过一致性检验。")
            return False
    # 算术平均法求权重
    def cal_weight_by_arithmetic_method(self):
        # 求矩阵的每列的和
        col_sum = np.sum(self.array, axis=0)
        # 将判断矩阵按照列归一化
        array_normed = self.array / col_sum
        # 计算权重向量
        array_weight = np.sum(array_normed, axis=1) / self.n
        # 打印权重向量
        #print("算术平均法计算得到的权重为:\n", array_weight)
        # 返回权重向量的值
        return array_weight
    # 几何平均法求权重
    def cal_weight_by_geometric_method(self):
        # 求矩阵的每列的积
        col_product = np.product(self.array, axis=1)
        # 将得到的积向量的每个分量进行开n次方
        array_power = np.power(col_product, 1 / self.n)
        # 将列向量归一化
        array_weight = array_power / np.sum(array_power)
        # 打印权重向量
        #print("几何平均法计算得到的权重为:\n", array_weight)
        # 返回权重向量的值
        return array_weight
    # 特征值法求权重
    def cal_weight_by_eigenvalue_method(self):
        # 将矩阵最大特征值对应的特征向量进行归一化处理就得到了权重
        array_weight = self.max_eig_vector / np.sum(self.max_eig_vector)
        # 打印权重向量
        #print("特征值法计算得到的权重为:\n", array_weight)
        # 返回权重向量的值
        return array_weight
class AHP:
    def __init__(self, *args):
        self.col = args[0]
        self.row = args[1]
        self.array = args[2:]
        # 初始化最终矩阵
        self.finally_matrix = np.empty((len(self.row),len(self.col),))
    # 生成全部填好后的最终矩阵
    def f_matrix(self):
        # matrix 为每个判断矩阵,记得注意顺序,如权重在第一列。
        col = 0
        row = 0
        for matrix in self.array:
            weights_obj = Calculate_weights(matrix)
            if weights_obj.test_consist():
                # 特征值法求权重
                weight3 = weights_obj.cal_weight_by_eigenvalue_method()
                if col == 0: # 权重的权重放在列(竖着放在第一列)
                    self.finally_matrix[:, col] = weight3
                    col += 1
                else: # 剩下的都放在行(每行横着放)
                    self.finally_matrix[row, col:] = weight3
                    row += 1
        return self.finally_matrix
    def result(self):
        self.f_matrix()
        res = []
        for i in range(len(self.col)-1):
            tem_res = np.sum(self.finally_matrix[:,0]*self.finally_matrix[:,i+1])
            res.append(tem_res)
        return res
if __name__ == "__main__":
    # 给出判断矩阵
    col = ['权重', '电脑A', '电脑B', '电脑C']
    row = ['颜值', '性能', '口碑', '重量', '保险']
    weighting = np.array(
        [[1, 1 / 2, 4, 3, 3], [2, 1, 7, 5, 5], [1 / 4, 1 / 7, 1, 1 / 2, 1 / 3], [1 / 3, 1 / 5, 2, 1, 1],
         [1 / 3, 1 / 5, 3, 1, 1]])
    appearance = np.array([[1, 2, 5], [1 / 2, 1, 2], [1 / 5, 1 / 2, 1]])
    performance = np.array([[1, 1 / 3, 1 / 8], [3, 1, 1 / 3], [8, 3, 1]])
    public_praise = np.array([[1, 1, 3], [1, 1, 3], [1 / 3, 1 / 3, 1]])
    weight = np.array([[1, 3, 4], [1 / 3, 1, 1], [1 / 4, 1, 1]])
    insurance = np.array([[1, 1, 1 / 4], [1, 1, 1 / 4], [4, 4, 1]])
    score_result = AHP(col, row, weighting, appearance, performance, public_praise, weight, insurance).result()
    print('选择{}'.format(col[np.argmax(score_result)+1]))

选择电脑C。

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