第一章 预备知识
## 一、Python基础 ### 1. 列表推导式与条件赋值
在生成一个数字序列的时候，在Python中可以如下写出：
L = [] def my_func(x): return 2*x for i in range(5): L.append(my_func(i)) L
[0, 2, 4, 6, 8]
事实上可以利用列表推导式进行写法上的简化：[* for i in *]。其中，第一个*为映射函数，其输入为后面i指代的内容，第二个*表示迭代的对象。
[my_func(i) for i in range(5)]
[0, 2, 4, 6, 8]
列表表达式还支持多层嵌套，如下面的例子中第一个for为外层循环，第二个为内层循环：
[m+'_'+n for m in ['a', 'b'] for n in ['c', 'd']]
['a_c', 'a_d', 'b_c', 'b_d']
除了列表推导式，另一个实用的语法糖是带有if选择的条件赋值，其形式为value = a if condition else b：
value = 'cat' if 2>1 else 'dog' value
'cat'
等价于如下的写法：
a, b = 'cat', 'dog' condition = 2 > 1 # 此时为True if condition: value = a else: value = b
下面举一个例子，截断列表中超过5的元素，即超过5的用5代替，小于5的保留原来的值：
L = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] [i if i <= 5 else 5 for i in L]
[1, 2, 3, 4, 5, 5, 5]
2. 匿名函数与map方法
有一些函数的定义具有清晰简单的映射关系，例如上面的my_func函数，这时候可以用匿名函数的方法简洁地表示：
my_func = lambda x: 2*x my_func(3)
6
multi_para_func = lambda a, b: a + b multi_para_func(1, 2)
3
但上面的用法其实违背了“匿名”的含义，事实上它往往在无需多处调用的场合进行使用，例如上面列表推导式中的例子，用户不关心函数的名字，只关心这种映射的关系：
[(lambda x: 2*x)(i) for i in range(5)]
[0, 2, 4, 6, 8]
对于上述的这种列表推导式的匿名函数映射，Python中提供了map函数来完成，它返回的是一个map对象，需要通过list转为列表：
list(map(lambda x: 2*x, range(5)))
[0, 2, 4, 6, 8]
对于多个输入值的函数映射，可以通过追加迭代对象实现：
list(map(lambda x, y: str(x)+'_'+y, range(5), list('abcde')))
['0_a', '1_b', '2_c', '3_d', '4_e']
3. zip对象与enumerate方法
zip函数能够把多个可迭代对象打包成一个元组构成的可迭代对象，它返回了一个zip对象，通过tuple, list可以得到相应的打包结果：
L1, L2, L3 = list('abc'), list('def'), list('hij') list(zip(L1, L2, L3)) 复制代码
[('a', 'd', 'h'), ('b', 'e', 'i'), ('c', 'f', 'j')] 复制代码
tuple(zip(L1, L2, L3)) 复制代码
(('a', 'd', 'h'), ('b', 'e', 'i'), ('c', 'f', 'j')) 复制代码
往往会在循环迭代的时候使用到zip函数：
for i, j, k in zip(L1, L2, L3): print(i, j, k) 复制代码
a d h b e i c f j 复制代码
enumerate是一种特殊的打包，它可以在迭代时绑定迭代元素的遍历序号：
L = list('abcd') for index, value in enumerate(L): print(index, value) 复制代码
0 a 1 b 2 c 3 d 复制代码
用zip对象也能够简单地实现这个功能：
for index, value in zip(range(len(L)), L): print(index, value) 复制代码
0 a 1 b 2 c 3 d 复制代码
当需要对两个列表建立字典映射时，可以利用zip对象：
dict(zip(L1, L2)) 复制代码
{'a': 'd', 'b': 'e', 'c': 'f'} 复制代码
既然有了压缩函数，那么Python也提供了*操作符和zip联合使用来进行解压操作：
zipped = list(zip(L1, L2, L3)) zipped 复制代码
[('a', 'd', 'h'), ('b', 'e', 'i'), ('c', 'f', 'j')] 复制代码
list(zip(*zipped)) # 三个元组分别对应原来的列表 复制代码
[('a', 'b', 'c'), ('d', 'e', 'f'), ('h', 'i', 'j')] 复制代码
二、Numpy基础
1. np数组的构造
最一般的方法是通过array来构造：
import numpy as np np.array([1,2,3]) 复制代码
array([1, 2, 3]) 复制代码
下面讨论一些特殊数组的生成方式：
【a】等差序列：np.linspace, np.arange
np.linspace(1,5,11) # 起始、终止（包含）、样本个数 复制代码
array([1. , 1.4, 1.8, 2.2, 2.6, 3. , 3.4, 3.8, 4.2, 4.6, 5. ]) 复制代码
np.arange(1,5,2) # 起始、终止（不包含）、步长 复制代码
array([1, 3]) 复制代码
【b】特殊矩阵：zeros, eye, full
np.zeros((2,3)) # 传入元组表示各维度大小 复制代码
array([[0., 0., 0.], [0., 0., 0.]]) 复制代码
np.eye(3) # 3*3的单位矩阵 复制代码
array([[1., 0., 0.], [0., 1., 0.], [0., 0., 1.]]) 复制代码
np.eye(3, k=1) # 偏移主对角线1个单位的伪单位矩阵 复制代码
array([[0., 1., 0.], [0., 0., 1.], [0., 0., 0.]]) 复制代码
np.full((2,3), 10) # 元组传入大小，10表示填充数值 复制代码
array([[10, 10, 10], [10, 10, 10]]) 复制代码
np.full((2,3), [1,2,3]) # 每行填入相同的列表 复制代码
array([[1, 2, 3], [1, 2, 3]]) 复制代码
【c】随机矩阵：np.random
最常用的随机生成函数为rand, randn, randint, choice，它们分别表示0-1均匀分布的随机数组、标准正态的随机数组、随机整数组和随机列表抽样：
np.random.rand(3) # 生成服从0-1均匀分布的三个随机数 复制代码
array([0.92340835, 0.20019461, 0.40755472]) 复制代码
np.random.rand(3, 3) # 注意这里传入的不是元组，每个维度大小分开输入 复制代码
array([[0.8012362 , 0.53154881, 0.05858554], [0.13103034, 0.18108091, 0.30253153], [0.00528884, 0.99402007, 0.36348797]]) 复制代码
对于服从区间a到b上的均匀分布可以如下生成：
a, b = 5, 15 (b - a) * np.random.rand(3) + a 复制代码
array([6.59370831, 8.03865138, 9.19172546]) 复制代码
一般的，可以选择已有的库函数：
np.random.uniform(5, 15, 3) 复制代码
array([11.26499636, 13.12311185, 6.00774156]) 复制代码
randn生成了N(0,I)的标准正态分布：
np.random.randn(3) 复制代码
array([ 1.87000209, 1.19885561, -0.58802943]) 复制代码
np.random.randn(2, 2) 复制代码
array([[-1.3642839 , -0.31497567], [-1.9452492 , -3.17272882]]) 复制代码
对于服从方差为σ2\sigma^2σ2均值为μ\muμ的一元正态分布可以如下生成：
sigma, mu = 2.5, 3 mu + np.random.randn(3) * sigma 复制代码
array([1.56024917, 0.22829486, 7.3764211 ]) 复制代码
同样的，也可选择从已有函数生成：
np.random.normal(3, 2.5, 3) 复制代码
array([3.53517851, 5.3441269 , 3.51192744]) 复制代码
randint可以指定生成随机整数的最小值最大值（不包含）和维度大小：
low, high, size = 5, 15, (2,2) # 生成5到14的随机整数 np.random.randint(low, high, size) 复制代码
array([[ 5, 12], [14, 9]]) 复制代码
choice可以从给定的列表中，以一定概率和方式抽取结果，当不指定概率时为均匀采样，默认抽取方式为有放回抽样：
my_list = ['a', 'b', 'c', 'd'] np.random.choice(my_list, 2, replace=False, p=[0.1, 0.7, 0.1 ,0.1]) 复制代码
array(['b', 'a'], dtype='<U1') 复制代码
np.random.choice(my_list, (3,3)) 复制代码
array([['c', 'b', 'd'], ['d', 'a', 'd'], ['a', 'c', 'd']], dtype='<U1') 复制代码
当返回的元素个数与原列表相同时，不放回抽样等价于使用permutation函数，即打散原列表：
np.random.permutation(my_list) 复制代码
array(['c', 'a', 'd', 'b'], dtype='<U1') 复制代码
最后，需要提到的是随机种子，它能够固定随机数的输出结果：
np.random.seed(0) np.random.rand() 复制代码
0.5488135039273248 复制代码
np.random.seed(0) np.random.rand() 复制代码
0.5488135039273248 复制代码
2. np数组的变形与合并
【a】转置：T
np.zeros((2,3)).T 复制代码
array([[0., 0.], [0., 0.], [0., 0.]]) 复制代码
【b】合并操作：r_, c_
对于二维数组而言，r_和c_分别表示上下合并和左右合并：
np.r_[np.zeros((2,3)),np.zeros((2,3))] 复制代码
array([[0., 0., 0.], [0., 0., 0.], [0., 0., 0.], [0., 0., 0.]]) 复制代码
np.c_[np.zeros((2,3)),np.zeros((2,3))] 复制代码
array([[0., 0., 0., 0., 0., 0.], [0., 0., 0., 0., 0., 0.]]) 复制代码
一维数组和二维数组进行合并时，应当把其视作列向量，在长度匹配的情况下只能够使用左右合并的c_操作：
try: np.r_[np.array([0,0]),np.zeros((2,1))] except Exception as e: Err_Msg = e Err_Msg 复制代码
ValueError('all the input arrays must have same number of dimensions, but the array at index 0 has 1 dimension(s) and the array at index 1 has 2 dimension(s)') 复制代码
np.r_[np.array([0,0]),np.zeros(2)] 复制代码
array([0., 0., 0., 0.]) 复制代码
np.c_[np.array([0,0]),np.zeros((2,3))] 复制代码
array([[0., 0., 0., 0.], [0., 0., 0., 0.]]) 复制代码
【c】维度变换：reshape
reshape能够帮助用户把原数组按照新的维度重新排列。在使用时有两种模式，分别为C模式和F模式，分别以逐行和逐列的顺序进行填充读取。
target = np.arange(8).reshape(2,4) target 复制代码
array([[0, 1, 2, 3], [4, 5, 6, 7]]) 复制代码
target.reshape((4,2), order='C') # 按照行读取和填充 复制代码
array([[0, 1], [2, 3], [4, 5], [6, 7]]) 复制代码
target.reshape((4,2), order='F') # 按照列读取和填充 复制代码
array([[0, 2], [4, 6], [1, 3], [5, 7]]) 复制代码
特别地，由于被调用数组的大小是确定的，reshape允许有一个维度存在空缺，此时只需填充-1即可：
target.reshape((4,-1)) 复制代码
array([[0, 1], [2, 3], [4, 5], [6, 7]]) 复制代码
下面将n*1大小的数组转为1维数组的操作是经常使用的：
target = np.ones((3,1)) target 复制代码
array([[1.], [1.], [1.]]) 复制代码
target.reshape(-1) 复制代码
array([1., 1., 1.]) 复制代码
3. np数组的切片与索引
数组的切片模式支持使用slice类型的start:end:step切片，还可以直接传入列表指定某个维度的索引进行切片：
target = np.arange(9).reshape(3,3) target 复制代码
array([[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]]) 复制代码
target[:-1, [0,2]] 复制代码
array([[0, 2], [3, 5]]) 复制代码
此外，还可以利用np.ix_在对应的维度上使用布尔索引，但此时不能使用slice切片：
target[np.ix_([True, False, True], [True, False, True])] 复制代码
array([[0, 2], [6, 8]]) 复制代码
target[np.ix_([1,2], [True, False, True])] 复制代码
array([[3, 5], [6, 8]]) 复制代码
当数组维度为1维时，可以直接进行布尔索引，而无需np.ix_：
new = target.reshape(-1) new[new%2==0] 复制代码
array([0, 2, 4, 6, 8]) 复制代码
4. 常用函数
为了简单起见，这里假设下述函数输入的数组都是一维的。
【a】where
where是一种条件函数，可以指定满足条件与不满足条件位置对应的填充值：
a = np.array([-1,1,-1,0]) np.where(a>0, a, 5) # 对应位置为True时填充a对应元素，否则填充5 复制代码
array([5, 1, 5, 5]) 复制代码
【b】nonzero, argmax, argmin
这三个函数返回的都是索引，nonzero返回非零数的索引，argmax, argmin分别返回最大和最小数的索引：
a = np.array([-2,-5,0,1,3,-1]) np.nonzero(a) 复制代码
(array([0, 1, 3, 4, 5], dtype=int64),) 复制代码
a.argmax() 复制代码
4 复制代码
a.argmin() 复制代码
1 复制代码
【c】any, all
any指当序列至少 存在一个 True或非零元素时返回True，否则返回False
all指当序列元素 全为 True或非零元素时返回True，否则返回False
a = np.array([0,1]) a.any() 复制代码
True 复制代码
a.all() 复制代码
False 复制代码
【d】cumprod, cumsum, diff
cumprod, cumsum分别表示累乘和累加函数，返回同长度的数组，diff表示和前一个元素做差，由于第一个元素为缺失值，因此在默认参数情况下，返回长度是原数组减1
a = np.array([1,2,3]) a.cumprod() 复制代码
array([1, 2, 6], dtype=int32) 复制代码
a.cumsum() 复制代码
array([1, 3, 6], dtype=int32) 复制代码
np.diff(a) 复制代码
array([1, 1]) 复制代码
【e】 统计函数
常用的统计函数包括max, min, mean, median, std, var, sum, quantile，其中分位数计算是全局方法，因此不能通过array.quantile的方法调用：
target = np.arange(5) target 复制代码
array([0, 1, 2, 3, 4]) 复制代码
target.max() 复制代码
4 复制代码
np.quantile(target, 0.5) # 0.5分位数 复制代码
2.0 复制代码
但是对于含有缺失值的数组，它们返回的结果也是缺失值，如果需要略过缺失值，必须使用nan*类型的函数，上述的几个统计函数都有对应的nan*函数。
target = np.array([1, 2, np.nan]) target 复制代码
array([ 1., 2., nan]) 复制代码
target.max() 复制代码
nan 复制代码
np.nanmax(target) 复制代码
2.0 复制代码
np.nanquantile(target, 0.5) 复制代码
1.5 复制代码
对于协方差和相关系数分别可以利用cov, corrcoef如下计算：
target1 = np.array([1,3,5,9]) target2 = np.array([1,5,3,-9]) np.cov(target1, target2) 复制代码
array([[ 11.66666667, -16.66666667], [-16.66666667, 38.66666667]]) 复制代码
np.corrcoef(target1, target2) 复制代码
array([[ 1. , -0.78470603], [-0.78470603, 1. ]]) 复制代码
最后，需要说明二维Numpy数组中统计函数的axis参数，它能够进行某一个维度下的统计特征计算，当axis=0时结果为列的统计指标，当axis=1时结果为行的统计指标：
target = np.arange(1,10).reshape(3,-1) target 复制代码
array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) 复制代码
target.sum(0) 复制代码
array([12, 15, 18]) 复制代码
target.sum(1) 复制代码
array([ 6, 15, 24]) 复制代码
5. 广播机制
广播机制用于处理两个不同维度数组之间的操作，这里只讨论不超过两维的数组广播机制。
【a】标量和数组的操作
当一个标量和数组进行运算时，标量会自动把大小扩充为数组大小，之后进行逐元素操作：
res = 3 * np.ones((2,2)) + 1 res 复制代码
array([[4., 4.], [4., 4.]]) 复制代码
res = 1 / res res 复制代码
array([[0.25, 0.25], [0.25, 0.25]]) 复制代码
【b】二维数组之间的操作
当两个数组维度完全一致时，使用对应元素的操作，否则会报错，除非其中的某个数组的维度是m×1m×1m×1或者1×n1×n1×n，那么会扩充其具有111的维度为另一个数组对应维度的大小。例如，1×21×21×2数组和3×23×23×2数组做逐元素运算时会把第一个数组扩充为3×23×23×2，扩充时的对应数值进行赋值。但是，需要注意的是，如果第一个数组的维度是1×31×31×3，那么由于在第二维上的大小不匹配且不为111，此时报错。
res = np.ones((3,2)) res 复制代码
array([[1., 1.], [1., 1.], [1., 1.]]) 复制代码
res * np.array([[2,3]]) # 第二个数组扩充第一维度为3 复制代码
array([[2., 3.], [2., 3.], [2., 3.]]) 复制代码
res * np.array([[2],[3],[4]]) # 第二个数组扩充第二维度为2 复制代码
array([[2., 2.], [3., 3.], [4., 4.]]) 复制代码
res * np.array([[2]]) # 等价于两次扩充，第二个数组两个维度分别扩充为3和2 复制代码
array([[2., 2.], [2., 2.], [2., 2.]]) 复制代码
【c】一维数组与二维数组的操作
当一维数组AkA_kAk与二维数组Bm,nB_{m,n}Bm,n操作时，等价于把一维数组视作A1,kA_{1,k}A1,k的二维数组，使用的广播法则与【b】中一致，当k!=nk!=nk!=n且k,nk,nk,n都不是111时报错。
np.ones(3) + np.ones((2,3)) 复制代码
array([[2., 2., 2.], [2., 2., 2.]]) 复制代码
np.ones(3) + np.ones((2,1)) 复制代码
array([[2., 2., 2.], [2., 2., 2.]]) 复制代码
np.ones(1) + np.ones((2,3)) 复制代码
array([[2., 2., 2.], [2., 2., 2.]]) 复制代码
6. 向量与矩阵的计算
【a】向量内积：dot
a⋅b=∑iaibi\rm \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \sum_ia_ib_ia⋅b=∑iaibi
a = np.array([1,2,3]) b = np.array([1,3,5]) a.dot(b) 复制代码
22 复制代码
【b】向量范数和矩阵范数：np.linalg.norm
在矩阵范数的计算中，最重要的是ord参数，可选值如下：
| ord | norm for matrices | norm for vectors |
| None | Frobenius norm | 2-norm |
| 'fro' | Frobenius norm | / |
| 'nuc' | nuclear norm | / |
| inf | max(sum(abs(x), axis=1)) | max(abs(x)) |
| -inf | min(sum(abs(x), axis=1)) | min(abs(x)) |
| 0 | / | sum(x != 0) |
| 1 | max(sum(abs(x), axis=0)) | as below |
| -1 | min(sum(abs(x), axis=0)) | as below |
| 2 | 2-norm (largest sing. value) | as below |
| -2 | smallest singular value | as below |
| other | / | sum(abs(x)**ord)**(1./ord) |
matrix_target = np.arange(4).reshape(-1,2) matrix_target 复制代码
array([[0, 1], [2, 3]]) 复制代码
np.linalg.norm(matrix_target, 'fro') 复制代码
3.7416573867739413 复制代码
np.linalg.norm(matrix_target, np.inf) 复制代码
5.0 复制代码
np.linalg.norm(matrix_target, 2) 复制代码
3.702459173643833 复制代码
vector_target = np.arange(4) vector_target 复制代码
array([0, 1, 2, 3]) 复制代码
np.linalg.norm(vector_target, np.inf) 复制代码
3.0 复制代码
np.linalg.norm(vector_target, 2) 复制代码
3.7416573867739413 复制代码
np.linalg.norm(vector_target, 3) 复制代码
3.3019272488946263 复制代码
【c】矩阵乘法：@
[Am×pBp×n]ij=∑k=1pAikBkj\rm [\mathbf{A}_{m\times p}\mathbf{B}_{p\times n}]_{ij} = \sum_{k=1}^p\mathbf{A}_{ik}\mathbf{B}_{kj}[Am×pBp×n]ij=∑k=1pAikBkj
a = np.arange(4).reshape(-1,2) a 复制代码
array([[0, 1], [2, 3]]) 复制代码
b = np.arange(-4,0).reshape(-1,2) b 复制代码
array([[-4, -3], [-2, -1]]) 复制代码
a@b 复制代码
array([[ -2, -1], [-14, -9]]) 复制代码
三、练习
Ex1：利用列表推导式写矩阵乘法
一般的矩阵乘法根据公式，可以由三重循环写出，请将其改写为列表推导式的形式。
M1 = np.random.rand(2,3) M2 = np.random.rand(3,4) res = np.empty((M1.shape[0],M2.shape[1])) for i in range(M1.shape[0]): for j in range(M2.shape[1]): item = 0 for k in range(M1.shape[1]): item += M1[i][k] * M2[k][j] res[i][j] = item (np.abs((M1@M2 - res) < 1e-15)).all() # 排除数值误差 复制代码
True 复制代码
Ex2：更新矩阵
设矩阵 Am×nA_{m×n}Am×n ，现在对 AAA 中的每一个元素进行更新生成矩阵 BBB ，更新方法是 Bij=Aij∑k=1n1AikB_{ij}=A_{ij}\sum_{k=1}^n\frac{1}{A_{ik}}Bij=Aij∑k=1nAik1 ，例如下面的矩阵为 AAA ，则 B2,2=5×(14+15+16)=3712B_{2,2}=5\times(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})=\frac{37}{12}B2,2=5×(41+51+61)=1237 ，请利用 Numpy 高效实现。
\begin{split}A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 &3\\4&5&6\\7&8&9 \end{matrix} \right]\end{split}
Ex3：卡方统计量
设矩阵Am×nA_{m\times n}Am×n，记Bij=(∑i=1mAij)×(∑j=1nAij)∑i=1m∑j=1nAijB_{ij} = \frac{(\sum_{i=1}^mA_{ij})\times (\sum_{j=1}^nA_{ij})}{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nA_{ij}}Bij=∑i=1m∑j=1nAij(∑i=1mAij)×(∑j=1nAij)，定义卡方值如下：χ2=∑i=1m∑j=1n(Aij−Bij)2Bij\chi^2 = \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\frac{(A_{ij}-B_{ij})^2}{B_{ij}}χ2=∑i=1m∑j=1nBij(Aij−Bij)2请利用Numpy对给定的矩阵AAA计算χ2\chi^2χ2
np.random.seed(0) A = np.random.randint(10, 20, (8, 5)) 复制代码
Ex4：改进矩阵计算的性能
设ZZZ为m×nm×nm×n的矩阵，BBB和UUU分别是m×pm×pm×p和p×np×np×n的矩阵，BiB_iBi为BBB的第iii行，UjU_jUj为UUU的第jjj列，下面定义R=∑i=1m∑j=1n∥Bi−Uj∥22Zij\displaystyle R=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\|B_i-U_j\|_2^2Z_{ij}R=i=1∑mj=1∑n∥Bi−Uj∥22Zij，其中∥a∥22\|\mathbf{a}\|_2^2∥a∥22表示向量aaa的分量平方和∑iai2\sum_i a_i^2∑iai2。
现有某人根据如下给定的样例数据计算RRR的值，请充分利用Numpy中的函数，基于此问题改进这段代码的性能。
np.random.seed(0) m, n, p = 100, 80, 50 B = np.random.randint(0, 2, (m, p)) U = np.random.randint(0, 2, (p, n)) Z = np.random.randint(0, 2, (m, n)) def solution(B=B, U=U, Z=Z): L_res = [] for i in range(m): for j in range(n): norm_value = ((B[i]-U[:,j])**2).sum() L_res.append(norm_value*Z[i][j]) return sum(L_res) solution(B, U, Z) 复制代码
100566 复制代码
Ex5：连续整数的最大长度
输入一个整数的Numpy数组，返回其中严格递增连续整数子数组的最大长度，正向是指递增方向。例如，输入[1,2,5,6,7]，[5,6,7]为具有最大长度的连续整数子数组，因此输出3；输入[3,2,1,2,3,4,6]，[1,2,3,4]为具有最大长度的连续整数子数组，因此输出4。请充分利用Numpy的内置函数完成。（提示：考虑使用nonzero, diff函数）
