前言

在上一章中我们正式开启了对数据结构中树的讲解，介绍了树的基础。本章我们将学习二叉树的概念，介绍满二叉树和完全二叉树的定义，并对二叉树的基本性质进行一个简单的介绍。本章附带课后练习。

0x00 概念

📚 定义：二叉树既然叫二叉树，顾名思义即度最大为2的树称为二叉树。 它的度可以为 1 也可以为 0，但是度最大为 2 。

📜 一颗二叉树是节点的一个有限集合，该集合：

    ① 由一个根节点加上两颗被称为左子树和右子树的二叉树组成    

    ② 或者为空

🔺 观察上图我们可以得出如下结论：

    ① 二叉树不存在度大于 2 的节点，换言之二叉树最多也只能有两个孩子。

    ② 二叉树的子树有左右之分，分别为左孩子和右孩子。次序不可颠倒，因此二叉树是有序树。

📌 注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

0x01 满二叉树

📚 定义：一个二叉树，如果每一层的节点数都达到了最大值（均为2），则这个二叉树就可以被称作为 "满二叉树" 。

📜 换言之，如果一个二叉树的层数为 ，且节点总数是  ，则他就是一个满二叉树。

🔺 计算公式：

① 已知层数求总数：

② 已知总数求层数：

❓ 十亿个节点，满二叉树是多少层？

💡   ≈ 10亿多

0x02 完全二叉树

📚 定义：对于深度为  的，有  个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为  的满二叉树中编号从 1 至  的结点一一对应时称之为完全二叉树。

📜 前  层是满的，最后一层不满，但是最后一层从左到右是连续的。

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。所以，满二叉树是一种特殊的完全二叉树（每一层节点均为2）。

📚 常识：

① 完全二叉树中，度为 1 的最多只有 1 个。

② 高度为  的完全二叉树节点范围是    

0x03 二叉树的性质

📚 四点规则：

① 若规定根节点的层数为 1 ，则一颗非空二叉树的第  层上最多有  个节点。

② 若规定根节点的层数为 1 ，则深度为  的二叉树最大节点数是  .

③ 对任何一颗二叉树，如果度为 0 其叶子结点个数为  ，度为 2 的分支节点个数为  ，则有   。换言之，度为 0 的永远比度为 2 的多一个叶子结点。

④ 若规定根节点的层数为 1 ， 具有  个节点的满二叉树的深度     （log是以2为底，n+1的对数）。

📚 对于有  个节点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为  的节点有：

（非完全二叉树，也可以用数组存放，但会浪费很多空间）

假设  是父节点在数组中的下标，此公式仅适用于完全二叉树：

① 求左孩子：

② 求右孩子：

③ 求父亲（假设不关注是左孩子还是右孩子）：

                   

④  判断是否有左孩子：    

                                 

⑤  判断是否由右孩子：    

💭 PS：二叉树不一定要标准，比如这个其实也是二叉树：

课后练习

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）

    A.  不存在这样的二叉树

    B.  200

    C.  198

    D.  199

2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）

    A.  n

    B.  n+1

    C.  n-1

    D.  n/2

3.  一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）

    A.  11

    B.  10

    C.  8

    D.  12

5.  一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

    A.  383

    B.  384

    C.  385

    D.  386