图像梯度与Sobel滤波器---OpenCV-Python开发指南（20）

图像梯度

图像梯度计算的是图像变化的速度。对于图像的边缘部分，其灰度值变化较大，梯度值也较大；相反，对于图像中比较平滑的部分，其灰度值变化较小，相应的梯度值也较小。一般情况下，图像的梯度计算是图像的边缘信息。

其实梯度就是导数，但是图像梯度一般通过计算像素值的差来得到梯度的近似值，也可以说是近似导数。该导数可以用微积分来表示。

在微积分中，一维函数的一阶微分的基本定义是这样的：

而图像是一个二维函数f(x,y)，其微分当然就是偏微分。因此有：

因为图像是一个离散的二维函数，ϵ不能无限小，我们的图像是按照像素来离散的，最小的ϵ就是1像素。因此，上面的图像微分又变成了如下的形式（ϵ=1）：

这分别是图像在(x, y)点处x方向和y方向上的梯度，从上面的表达式可以看出来，图像的梯度相当于2个相邻像素之间的差值。

那么，这个梯度（或者说灰度值的变化率）如何增强图像的清晰度呢？

我们先考虑下x方向，选取某个像素，假设其像素值是100，沿x方向的相邻像素分别是90,90,90，则根据上面的计算其x方向梯度分别是10,0,0。这里只取变化率的绝对值，表明变化的大小即可。

我们看到，100和90之间亮度相差10，并不是很明显，与一大群90的连续灰度值在一起，轮廓必然是模糊的。我们注意到，如果相邻像素灰度值有变化，那么梯度就有值，如果相邻像素灰度值没有变化，那么梯度就为0。如果我们把梯度值与对应的像素相加，那么灰度值没有变化的，像素值不变，而有梯度值的，灰度值变大了。

我们看到，相加后的新图像，原图像像素点100与90亮度只相差10，现在是110与90，亮度相差20了，对比度显然增强了，尤其是图像中物体的轮廓和边缘，与背景大大加强了区别，这就是用梯度来增强图像的原理。

上面只是说了x方向，y方向是一样的。那么能否将x方向和y方向的梯度结合起来呢？当然是可以的。x方向和y方向上的梯度可以用如下式子表示在一起：

这里又是平方，又是开方的，计算量比较大，于是一般用绝对值来近似平方和平方根的操作，来降低计算量：

原理了解后，我们来了解一些OpenCV提供了哪些梯度滤波器？

在OpenCV中，它给我们提供了三种不同的梯度滤波器，或者说高通滤波器：Sobel，Scharr 和Laplacian。什么叫高通呢？其实就是和图像模糊相反。图像模糊是让低频通过，阻挡高频，这样就可以去除噪点，让锐利的边缘变平滑。高通滤波器就是让高频通过，阻挡低频，可以让边缘更加明显，增强图像。

Sobel滤波器

Sobel滤波器是一种离散的微分算子，该算子结合了高斯平滑和微分求导运算。该算子利用局部差分寻找边缘，计算所得的是一个梯度的近似值。

具体的原理如下：

将Sobel滤波器与原始图像进行卷积计算，可以计算水平方向上的像素值变化情况。例如，当Sobel滤波器的大小为3*3时，水平方向偏导数的计算方式如下：

如果需要计算P5水平方向偏导数（梯度），则公式如下：

P5x=(P3-P1)+2*(P6-P4)+(P9-P7)

如果需要计算P5垂直方向偏导数（梯度），则公式如下：

P5y=(P7-P1)+2*(P8-P2)+(P9-P3)

在OpenCV中，它给我们提供cv2.Sobel()函数实现Sobel滤波器，其函数定义如下：

def Sobel(src, ddepth, dx, dy, dst=None, ksize=None, scale=None, delta=None, borderType=None):

src：原始图像

ddepth：输出图像的深度，详细取值如下表：

dx：代表X方向的求导阶数

dy：代表Y方向的求导阶数

ksize：Sobel核的大小，该值为-1时，则会使用Sobel滤波器进行运算

scale：计算导数值所采用的缩放因子，默认值为1，时没有缩放的

delta：加载目标图像上的值，该值可选，默认为0

borderType：边界样式，前面博文有详细介绍，这里不在赘述。

需要注意的是，如果将ddepth参数设置为-1，让处理结果与原图像保持一致，可以会得到错误的结果。实际上，这么做会导致梯度值可能出现负数。如果处理的是8位图像，意味着指定运算的结果也是8位图类型，那么所有的负数会自动截断为0，发生信息丢失。为了避免信息丢失，在计算时先使用更高的数据类型cv2.CV_64F，再通过取绝对值将其映射为cv2.CV_8U类型。所以，我们使用Sobel滤波器常常会将ddepth设置为cv2.CV_64F。

计算X方向梯度语法格式为：

cv2.Sobel(src,ddepth,1,0)

计算Y方向梯度语法格式为：

cv2.Sobel(src,ddepth,0,1)

计算XY方向梯度语法格式为：

cv2.Sobel(src,ddepth,1,1)

计算XY叠加梯度语法格式为：

dx=cv2.Sobel(src,ddepth,1,0)
dy=cv2.Sobel(src,ddepth,0,1)
dst=cv2.addWeighted(src1,alpha,src2,beta,gamma)

因为可能会出现负数，我们还需要使用另一个函数取绝对值，该函数为：cv2.convertScaleAbs()，其完整定义如下：

def convertScaleAbs(src, dst=None, alpha=None, beta=None):

alpha：调节系数，可选值，默认为1

beta：调节亮度值，默认为0

下面，我们来使用Sobel滤波器，获取图像水平方向的边缘信息，代码如下：

import cv2
img = cv2.imread("4.jpg", cv2.IMREAD_UNCHANGED)
sobel_x=cv2.Sobel(img,cv2.CV_64F,1,0)
result=cv2.convertScaleAbs(sobel_x)
cv2.imshow("img", img)
cv2.imshow("result", result)
cv2.waitKey()
cv2.destroyAllWindows()

运行之后，效果如下所示：

接着，我们来使用Sobel滤波器，获取图像垂直方向的边缘信息，代码如下：

import cv2
img = cv2.imread("4.jpg", cv2.IMREAD_UNCHANGED)
sobel_y=cv2.Sobel(img,cv2.CV_64F,0,1)#更改这一行就行
result=cv2.convertScaleAbs(sobel_y)
cv2.imshow("img", img)
cv2.imshow("result", result)
cv2.waitKey()
cv2.destroyAllWindows()

运行之后，效果如下：

接着，我们来计算XY方向梯度，代码如下：

import cv2
img = cv2.imread("4.jpg", cv2.IMREAD_UNCHANGED)
sobel_xy=cv2.Sobel(img,cv2.CV_64F,1,1)#都设置为1
result=cv2.convertScaleAbs(sobel_xy)
cv2.imshow("img", img)
cv2.imshow("result", result)
cv2.waitKey()
cv2.destroyAllWindows()

运行之后，效果如下：

最后，我们来计算其水平垂直两个方向的叠加边缘信息，代码如下：

import cv2
img = cv2.imread("4.jpg", cv2.IMREAD_UNCHANGED)
sobel_x=cv2.Sobel(img,cv2.CV_64F,1,0)
sobel_y=cv2.Sobel(img,cv2.CV_64F,0,1)
abx_x=cv2.convertScaleAbs(sobel_x)
abx_y=cv2.convertScaleAbs(sobel_y)
result=cv2.addWeighted(sobel_x,0.5,sobel_y,0.5,0)
cv2.imshow("img", img)
cv2.imshow("result", result)
cv2.waitKey()
cv2.destroyAllWindows()

运行之后，效果如下：