4.2.1、代码思路
深度优先遍历算法步骤
访问初始结点 v ，并标记结点 v 为已访问。
查找结点 v 的第一个邻接结点 w
如果 w 存在
如果 w 未被访问过，先标记 w 已被访问过，然后把 w 当做下一个 v ，查找 w 的第一个邻接点，继续执行深度遍历（这是个递归的过程）
如果 w 已经被访问过，则跳过此节点
如果 w 不存在，说明 v 真的没有下一个邻接点了，已经到头了，我们回到节点 v ，将从v的下一个结点继续查找
经过如上步骤，图中可能还有其他顶点未被访问，继续从下一个顶点执行如上操作
如何找到当前顶点的下一个邻接点？
假设当前正在遍历的顶点索引为 i ，顶点 i 的边信息存储在 edges[][]数组中第 i 行
假设顶点 i 的当前遍历到的邻接点索引为 j ，即已经遍历到了 第 edges[i][j]处，需要从 edges[i][j]之后去找顶点 i 的下一个邻接点索引
举例说明：
- 访问顶点 A 后输出 A ，A 的第一个邻接点是 B ，B 未被访问过，我们访问顶点 B
- 访问顶点 B 后输出 A–> B
- B 的第一个邻接点 A 已经被访问过了
- B 的第二个邻接点 C 还未被访问过，我们访问节点 C
- 访问节点 C
- C 的第一个邻接点是 A ，然而 A 已经访问过了
- C 的下一个邻接点是 B ，然而 B 也已经访问过了
- 除此之外，C 再也没有其他邻接点
- 我们回到顶点 B ，访问节点 B 的下一个邻接点：顶点 D
访问顶点 D 后输出 A --> B --> C --> D ，D 没有邻接节点，所以又返回到顶点 B ，访问顶点 B 的下一个邻接点：顶点 E
访问顶点 E 后输出 A --> B --> C --> D --> E，E 没有邻接节点，所以又返回到顶点 B
B 的所有邻接点都访问过了，返回到顶点 A
以上所有操作仅是一轮，还需要再对图中其他顶点进行以上操作
总结：
假设初始状态是图中所有顶点均未被访问，则从某个顶点v出发，首先访问该顶点，然后依次从它的各个未被访问的邻接点出发深度优先搜索遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。
若此时尚有其他顶点未被访问到，则另选一个未被访问的顶点作起始点（额，我实在想不到这种特例），重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。
4.2.2、代码实现
- 编写图的深度优先遍历
class Graph { private ArrayList<String> vertexList; //存储顶点集合 private int[][] edges; //存储图对应的邻结矩阵 private int numOfEdges; //表示边的数目 //构造器 public Graph(int n) { //初始化矩阵和vertexList edges = new int[n][n]; vertexList = new ArrayList<String>(n); numOfEdges = 0; } //插入结点 public void insertVertex(String vertex) { vertexList.add(vertex); } //添加边 /** * * @param v1 第二个顶点对应的下标 * @param v2 第二个顶点对应的下标 * @param weight 表示权值，0：不连接；1：连接 */ public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) { edges[v1][v2] = weight; edges[v2][v1] = weight; numOfEdges++; } //图中常用的方法 //返回结点的个数 public int getNumOfVertex() { return vertexList.size(); } // 得到边的数目 public int getNumOfEdges() { return numOfEdges; } // 返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C" public String getValueByIndex(int i) { return vertexList.get(i); } // 返回v1和v2的权值 public int getWeight(int v1, int v2) { return edges[v1][v2]; } // 显示图对应的矩阵 public void showGraph() { for (int[] link : edges) { System.out.println(Arrays.toString(link)); } } //得到第一个邻接结点的下标 w /** * * @param index * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1 */ public int getFirstNeighbor(int index) { for(int j = 0; j < vertexList.size(); j++) { if(edges[index][j] > 0) { return j; } } return -1; } //根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点 public int getNextNeighbor(int v1, int v2) { for(int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) { if(edges[v1][j] > 0) { return j; } } return -1; } //深度优先遍历算法 //i 第一次就是 0 private void dfs(boolean[] isVisited, int i) { //首先我们访问该结点,输出 System.out.print(getValueByIndex(i) + "->"); //将结点设置为已经访问 isVisited[i] = true; //查找结点i的第一个邻接结点w int w = getFirstNeighbor(i); while(w != -1) {//说明有 if(!isVisited[w]) { dfs(isVisited, w); } //如果w结点已经被访问过 w = getNextNeighbor(i, w); } } //对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs public void dfs() { boolean[] isVisited = new boolean[vertexList.size()]; //遍历所有的结点，进行dfs[回溯] for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { if(!isVisited[i]) { dfs(isVisited, i); } } } }
- 测试代码
public static void main(String[] args) { //测试一把图是否创建ok String Vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"}; int n = Vertexs.length; //结点的个数 // String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"}; //创建图对象 Graph graph = new Graph(n); //循环的添加顶点 for(String vertex: Vertexs) { graph.insertVertex(vertex); } //添加边 //A-B A-C B-C B-D B-E graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B graph.insertEdge(0, 2, 1); // A-C graph.insertEdge(1, 2, 1); // B-C graph.insertEdge(1, 3, 1); // B-D graph.insertEdge(1, 4, 1); // B-E //显示一把邻结矩阵 graph.showGraph(); //测试一把，我们的dfs遍历是否ok System.out.println("深度遍历"); graph.dfs(); // A->B->C->D->E }
- 程序运行结果
[0, 1, 1, 0, 0] [1, 0, 1, 1, 1] [1, 1, 0, 0, 0] [0, 1, 0, 0, 0] [0, 1, 0, 0, 0] 深度遍历 A->B->C->D->E->
4.3、图的广度优先遍历
4.3.1、代码思路
- 图的广度优先搜索(Broad First Search) ，类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点
- 广度优先遍历的编码流程：
访问当前顶点 v 并标记结点 v 为已访问，并将顶点 v 入队
将顶点 v 出队，并在同一层搜索顶点 v 的邻接点，将没有访问过的邻接点其加入队列中，说明这些邻接点待访问
以队列头部的顶点作为新的顶点 v ，并进行与之前相同的操作：将顶点 v 出队 …
直至队列为空
- 经过如上步骤，图中可能还有其他顶点未被访问，继续从下一个顶点执行如上操作
- 举例说明：
- 访问顶点 A 后输出 A ，并将顶点 A 压入队列中
- 开始不断循环，循环条件：队列不为空
将顶点 A 出队，找到顶点的的所有邻接点：顶点 B 和顶点 C ，顶点 B 和顶点 C 均没有被访问过，将其入队
队列不为空，将队列头（顶点 B）取出，顶点 B 的邻接点为：顶点 C 、顶点 D 、顶点 E ，顶点 C 已经访问过了，不再添加至队列中，顶点 D 和顶点 E 均没有被访问过，将其入队
队列不为空，将队列头（顶点 C）取出，顶点 C 的邻接点为：顶点 A 和顶点 B ，顶点 A 和顶点 B 均被访问过，不再添加至队列
队列不为空，将队列头（顶点 D）取出，D 没有邻接点，啥也不做
队列不为空，将队列头（顶点 E）取出，E 没有邻接点，啥也不做
队列为空，退出循环
- 以上所有操作仅是一轮，还需要再对图中其他顶点进行以上操作
总结：
从图中某顶点 v 出发，在访问了 v 之后依次访问 v 的各个未曾访问过的邻接点，然后分别从这些邻接点出发依次访问它们的邻接点，并使得“先被访问的顶点的邻接点先于后被访问的顶点的邻接点被访问，直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到。
如果此时图中尚有顶点未被访问，则需要另选一个未曾被访问过的顶点作为新的起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。
我把图重新画了一下，可以更好地理解广度优先遍历，即先把同一层顶点先遍历了，添加至队列中，再去到下一层
4.3.2、代码实现
- 编写图的广度优先遍历
class Graph { private ArrayList<String> vertexList; // 存储顶点集合 private int[][] edges; // 存储图对应的邻结矩阵 private int numOfEdges; // 表示边的数目 // 构造器 public Graph(int n) { // 初始化矩阵和vertexList edges = new int[n][n]; vertexList = new ArrayList<String>(n); numOfEdges = 0; } // 插入结点 public void insertVertex(String vertex) { vertexList.add(vertex); } // 添加边 /** * * @param v1 第二个顶点对应的下标 * @param v2 第二个顶点对应的下标 * @param weight 表示权值，0：不连接；1：连接 */ public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) { edges[v1][v2] = weight; edges[v2][v1] = weight; numOfEdges++; } // 图中常用的方法 // 返回结点的个数 public int getNumOfVertex() { return vertexList.size(); } // 得到边的数目 public int getNumOfEdges() { return numOfEdges; } // 返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C" public String getValueByIndex(int i) { return vertexList.get(i); } // 返回v1和v2的权值 public int getWeight(int v1, int v2) { return edges[v1][v2]; } // 显示图对应的矩阵 public void showGraph() { for (int[] link : edges) { System.out.println(Arrays.toString(link)); } } // 得到第一个邻接结点的下标 w /** * * @param index * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1 */ public int getFirstNeighbor(int index) { for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) { if (edges[index][j] > 0) { return j; } } return -1; } // 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点 public int getNextNeighbor(int v1, int v2) { for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) { if (edges[v1][j] > 0) { return j; } } return -1; } // 对一个结点进行广度优先遍历的方法 private void bfs(boolean[] isVisited, int i) { int u; // 表示队列的头结点对应下标 int w; // 邻接结点w // 队列，记录结点访问的顺序 LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<Integer>(); // 访问结点，输出结点信息 System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>"); // 标记为已访问 isVisited[i] = true; // 将结点加入队列 queue.addLast(i); while (!queue.isEmpty()) {// 体现出我们的广度优先 // 取出队列的头结点下标 u = queue.removeFirst(); // 得到第一个邻接结点的下标 w w = getFirstNeighbor(u); while (w != -1) {// 找到 // 是否访问过 if (!isVisited[w]) { System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>"); // 标记已经访问 isVisited[w] = true; // 入队 queue.addLast(w); } // 以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点 w = getNextNeighbor(u, w); } } } // 遍历所有的结点，都进行广度优先搜索 public void bfs() { boolean[] isVisited = new boolean[vertexList.size()]; for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { if (!isVisited[i]) { bfs(isVisited, i); } } } }
- 测试代码
public static void main(String[] args) { // 测试一把图是否创建ok String Vertexs[] = { "A", "B", "C", "D", "E" }; int n = Vertexs.length; // 结点的个数 // String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"}; // 创建图对象 Graph graph = new Graph(n); // 循环的添加顶点 for (String vertex : Vertexs) { graph.insertVertex(vertex); } // 添加边 // A-B A-C B-C B-D B-E graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B graph.insertEdge(0, 2, 1); // A-C graph.insertEdge(1, 2, 1); // B-C graph.insertEdge(1, 3, 1); // B-D graph.insertEdge(1, 4, 1); // B-E // 显示一把邻结矩阵 graph.showGraph(); // 测试一把，我们的bfs遍历是否ok System.out.println("广度优先"); graph.bfs(); // A->B->C->D->E }
- 程序运行结果
[0, 1, 1, 0, 0] [1, 0, 1, 1, 1] [1, 1, 0, 0, 0] [0, 1, 0, 0, 0] [0, 1, 0, 0, 0] 广度优先 A=>B=>C=>D=>E=>
4.4、深度 VS 广度优先
- 待遍历的图
- 创建图
graph.insertEdge(0, 1, 1); graph.insertEdge(0, 2, 1); graph.insertEdge(1, 3, 1); graph.insertEdge(1, 4, 1); graph.insertEdge(3, 7, 1); graph.insertEdge(4, 7, 1); graph.insertEdge(2, 5, 1); graph.insertEdge(2, 6, 1); graph.insertEdge(5, 6, 1);
- 理论输出顺序：
- 深度优先遍历顺序为 1->2->4->8->5->3->6->7
- 广度优先算法的遍历顺序为：1->2->3->4->5->6->7->8
- 测试代码
public class GraphDemo { public static void main(String[] args) { // 测试一把图是否创建ok String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"}; int n = Vertexs.length; // 结点的个数 // 创建图对象 Graph graph = new Graph(n); // 循环的添加顶点 for (String vertex : Vertexs) { graph.insertVertex(vertex); } //更新边的关系 graph.insertEdge(0, 1, 1); graph.insertEdge(0, 2, 1); graph.insertEdge(1, 3, 1); graph.insertEdge(1, 4, 1); graph.insertEdge(3, 7, 1); graph.insertEdge(4, 7, 1); graph.insertEdge(2, 5, 1); graph.insertEdge(2, 6, 1); graph.insertEdge(5, 6, 1); //显示一把邻结矩阵 graph.showGraph(); //测试一把，我们的dfs遍历是否ok System.out.println("深度遍历"); graph.dfs(); // [1->2->4->8->5->3->6->7] System.out.println(); System.out.println("广度优先!"); graph.bfs(); // [1->2->3->4->5->6->7->8] } }
- 程序运行结果
[0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0] [1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0] [1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0] [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1] [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1] [0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0] [0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0] [0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0] 深度遍历 1->2->4->8->5->3->6->7-> 广度优先! 1=>2=>3=>4=>5=>6=>7=>8=>
5、图遍历的全部代码
public class GraphDemo { public static void main(String[] args) { // 测试一把图是否创建ok String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"}; int n = Vertexs.length; // 结点的个数 // 创建图对象 Graph graph = new Graph(n); // 循环的添加顶点 for (String vertex : Vertexs) { graph.insertVertex(vertex); } //更新边的关系 graph.insertEdge(0, 1, 1); graph.insertEdge(0, 2, 1); graph.insertEdge(1, 3, 1); graph.insertEdge(1, 4, 1); graph.insertEdge(3, 7, 1); graph.insertEdge(4, 7, 1); graph.insertEdge(2, 5, 1); graph.insertEdge(2, 6, 1); graph.insertEdge(5, 6, 1); //显示一把邻结矩阵 graph.showGraph(); //测试一把，我们的dfs遍历是否ok System.out.println("深度遍历"); graph.dfs(); // [1->2->4->8->5->3->6->7] System.out.println(); System.out.println("广度优先!"); graph.bfs(); // [1->2->3->4->5->6->7->8] } } class Graph { private ArrayList<String> vertexList; // 存储顶点集合 private int[][] edges; // 存储图对应的邻结矩阵 private int numOfEdges; // 表示边的数目 // 构造器 public Graph(int n) { // 初始化矩阵和vertexList edges = new int[n][n]; vertexList = new ArrayList<String>(n); numOfEdges = 0; } // 插入结点 public void insertVertex(String vertex) { vertexList.add(vertex); } // 添加边 /** * * @param v1 第二个顶点对应的下标 * @param v2 第二个顶点对应的下标 * @param weight 表示权值，0：不连接；1：连接 */ public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) { edges[v1][v2] = weight; edges[v2][v1] = weight; numOfEdges++; } // 图中常用的方法 // 返回结点的个数 public int getNumOfVertex() { return vertexList.size(); } // 得到边的数目 public int getNumOfEdges() { return numOfEdges; } // 返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C" public String getValueByIndex(int i) { return vertexList.get(i); } // 返回v1和v2的权值 public int getWeight(int v1, int v2) { return edges[v1][v2]; } // 显示图对应的矩阵 public void showGraph() { for (int[] link : edges) { System.out.println(Arrays.toString(link)); } } // 得到第一个邻接结点的下标 w /** * * @param index * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1 */ public int getFirstNeighbor(int index) { for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) { if (edges[index][j] > 0) { return j; } } return -1; } // 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点 public int getNextNeighbor(int v1, int v2) { for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) { if (edges[v1][j] > 0) { return j; } } return -1; } // 深度优先遍历算法 // i 第一次就是 0 private void dfs(boolean[] isVisited, int i) { // 首先我们访问该结点,输出 System.out.print(getValueByIndex(i) + "->"); // 将结点设置为已经访问 isVisited[i] = true; // 查找结点i的第一个邻接结点w int w = getFirstNeighbor(i); while (w != -1) {// 说明有 if (!isVisited[w]) { dfs(isVisited, w); } // 如果w结点已经被访问过 w = getNextNeighbor(i, w); } } // 对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs public void dfs() { boolean[] isVisited = new boolean[vertexList.size()]; // 遍历所有的结点，进行dfs[回溯] for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { if (!isVisited[i]) { dfs(isVisited, i); } } } // 对一个结点进行广度优先遍历的方法 private void bfs(boolean[] isVisited, int i) { int u; // 表示队列的头结点对应下标 int w; // 邻接结点w // 队列，记录结点访问的顺序 LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<Integer>(); // 访问结点，输出结点信息 System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>"); // 标记为已访问 isVisited[i] = true; // 将结点加入队列 queue.addLast(i); while (!queue.isEmpty()) {// 体现出我们的广度优先 // 取出队列的头结点下标 u = queue.removeFirst(); // 得到第一个邻接结点的下标 w w = getFirstNeighbor(u); while (w != -1) {// 找到 // 是否访问过 if (!isVisited[w]) { System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>"); // 标记已经访问 isVisited[w] = true; // 入队 queue.addLast(w); } // 以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点 w = getNextNeighbor(u, w); } } } // 遍历所有的结点，都进行广度优先搜索 public void bfs() { boolean[] isVisited = new boolean[vertexList.size()]; for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { if (!isVisited[i]) { bfs(isVisited, i); } } } }
