1、递归介绍
1.1、递归应用场景
- 看个实际应用场景， 迷宫问题(回溯)， 递归(Recursion)
1.2、递归的概念
- 简单的说: 递归就是方法自己调用自己，每次调用时传入不同的变量，递归有助于编程者解决复杂的问题，同时可以让代码变得简洁。
1.3、递归调用机制
- 打印问题
- 阶乘问题
// 阶乘问题 public static int factorial(int n) { if (n == 1) { return 1; } else { return factorial(n - 1) * n; } }
1.4、递归能解决什么问题
- 各种数学问题如:8 皇后问题，汉诺塔，阶乘问题，迷宫问题，球和篮子的问题(google 编程大赛)
- 各种算法中也会使用到递归， 比如快排， 归并排序， 二分查找， 分治算法等.
- 将用栈解决的问题 --> 递归代码比较简洁
1.5、递归需遵循的规则
- 执行一个方法时， 就创建一个新的受保护的独立空间(一个线程有自己独立的一个栈空间，每个方法调用对应着一个栈帧)
- 方法的局部变量是独立的， 不会相互影响, 比如 n 变量
- 如果方法中使用的是引用类型变量(比如数组)， 就会共享该引用类型的数据
- 递归必须向退出递归的条件逼近， 否则就是无限递归，出现 StackOverflowError， 死龟了 😃
- 当一个方法执行完毕，或者遇到return，就会返回，遵守谁调用，就将结果返回给谁，同时当方法执行完毕或者返回时，该方法也就执行完毕。
2、递归-迷宫问题
2.1、代码思路
- 使用二维数组 map[][] 模拟迷宫
- 约定： 当 map[i][j] 为 0 表示该点没有走过；当为 1 表示墙；2 表示通路可以走 ；3 表示该点已经走过，但是走不通
- setWay() 方法用于找路，true 表示该路可以走通，false 表示该路走不通
- 在走迷宫时，需要确定一个策略(方法) 下->右->上->左 , 一步一步向前试探，如果该点走不通，再回溯
每当走到一个点时，将该点置为 2 ，暂时假设该路能走通，至于到底走不走得通，得看后面有没有找到通路
- 如果后面的路能走通，从最后一个点开始返回，整个 setWay() 递归调用链都返回 true
- 如果后面的路不能走通，那么将当前的点设置为 3 ，表示是死路，走不通，回溯至上一个点，看看其他方向能不能走通
2.2、代码实现
- 迷宫问题递归解法
// 使用递归回溯来给小球找路 // 说明 // 1. map 表示地图 // 2. i,j 表示从地图的哪个位置开始出发 (1,1) // 3. 如果小球能到 map[6][5] 位置，则说明通路找到. // 4. 约定： 当map[i][j] 为 0 表示该点没有走过 当为 1 表示墙 ； 2 表示通路可以走 ； 3 表示该点已经走过，但是走不通 // 5. 在走迷宫时，需要确定一个策略(方法) 下->右->上->左 , 如果该点走不通，再回溯 /** * * @param map 表示地图 * @param i 从哪个位置开始找 * @param j * @return 如果找到通路，就返回true, 否则返回false */ public static boolean setWay(int[][] map, int i, int j) { if (map[6][5] == 2) { // 通路已经找到ok return true; } else { if (map[i][j] == 0) { // 如果当前这个点还没有走过 // 按照策略 下->右->上->左 走 map[i][j] = 2; // 假定该点是可以走通. if (setWay(map, i + 1, j)) {// 向下走 return true; } else if (setWay(map, i, j + 1)) { // 向右走 return true; } else if (setWay(map, i - 1, j)) { // 向上走 return true; } else if (setWay(map, i, j - 1)) { // 向左走 return true; } else { // 说明该点是走不通，是死路 map[i][j] = 3; return false; } } else { // 如果map[i][j] != 0 , 可能是 1， 2， 3 return false; } } } // 修改找路的策略，改成 上->右->下->左 public static boolean setWay2(int[][] map, int i, int j) { if (map[6][5] == 2) { // 通路已经找到ok return true; } else { if (map[i][j] == 0) { // 如果当前这个点还没有走过 // 按照策略 上->右->下->左 map[i][j] = 2; // 假定该点是可以走通. if (setWay2(map, i - 1, j)) {// 向上走 return true; } else if (setWay2(map, i, j + 1)) { // 向右走 return true; } else if (setWay2(map, i + 1, j)) { // 向下走 return true; } else if (setWay2(map, i, j - 1)) { // 向左走 return true; } else { // 说明该点是走不通，是死路 map[i][j] = 3; return false; } } else { // 如果map[i][j] != 0 , 可能是 1（墙体）， 2（已经走过的格子）， 3（已经走过，并且无法走通的格子） return false; } } }
- 测试代码
public static void main(String[] args) { // 先创建一个二维数组，模拟迷宫 // 地图 int[][] map = new int[8][7]; // 使用1 表示墙 // 上下全部置为1 for (int i = 0; i < 7; i++) { map[0][i] = 1; map[7][i] = 1; } // 左右全部置为1 for (int i = 0; i < 8; i++) { map[i][0] = 1; map[i][6] = 1; } // 设置挡板, 1 表示 map[3][1] = 1; map[3][2] = 1; map[4][4] = 1; map[5][4] = 1; map[6][4] = 1; map[4][4] = 1; // 输出地图 System.out.println("地图的情况"); for (int i = 0; i < 8; i++) { for (int j = 0; j < 7; j++) { System.out.print(map[i][j] + " "); } System.out.println(); } // 使用递归回溯给小球找路 setWay(map, 1, 1); // setWay2(map, 1, 1); // 输出新的地图, 小球走过，并标识过的地图 System.out.println("小球走过，并标识过的 地图的情况"); for (int i = 0; i < 8; i++) { for (int j = 0; j < 7; j++) { System.out.print(map[i][j] + " "); } System.out.println(); } }
- 程序运行结果
地图的情况 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 小球走过，并标识过的 地图的情况 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 2 2 2 0 0 1 1 1 1 2 2 2 1 1 3 3 3 1 2 1 1 3 3 3 1 2 1 1 3 3 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1
- 搞不清逻辑的话，可以自己玩一玩
地图的情况 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
程序执行逻辑分析
- 第一阶段：按照 下->右->上->左 的策略，走入了死胡同
1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 2 2 2 0 0 1 1 1 1 2 0 0 1 1 2 2 2 1 0 1 1 2 2 2 1 0 1 1 2 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
- 第二阶段：开始回溯，标记此路不通
1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 2 2 2 0 0 1 1 1 1 2 0 0 1 1 3 3 3 1 0 1 1 3 3 3 1 0 1 1 3 3 3 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
- 寻找到了通往天堂的路径
1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 2 2 2 0 0 1 1 1 1 2 2 2 1 1 3 3 3 1 2 1 1 3 3 3 1 2 1 1 3 3 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1
2.3、思考题
- 求出最短路径（枚举可能的找路策略）
2.4、总结
- 刚开始我还觉得很难理解，想了想，这和递归遍历文件夹不也是有相同之处的吗？
- 如果不进入文件夹看看，我就永远不知道这个文件夹里面是否还有子文件和子文件夹，我们需要遍历到一个文件夹的最深处，然后触底反弹
- 如果我没有到达终点，这条路到底通不通，我并不知道，所以我先试探性地走到终点，然后从终点往前回溯？
- 死路咋办？我也是先试探性地往前走，走不通，我回溯到之前的点，再尝试新的走法
3、递归-八皇后问题(回溯算法 )
3.1、八皇后问题介绍
- 八皇后问题， 是一个古老而著名的问题， 是回溯算法的典型案例。 该问题是国际西洋棋棋手马克斯· 贝瑟尔于1848 年提出： 在 8× 8 格的国际象棋上摆放八个皇后， 使其不能互相攻击， 即： 任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上， 问有多少种摆法(92)。
3.2、代码思路
- 第一个皇后先放第一行第一列
- 第二个皇后放在第二行第一列、 然后判断是否 OK， 如果不 OK， 继续放在第二列、 第三列、 依次把所有列都放完， 找到一个合适
- 继续第三个皇后， 还是第一列、 第二列…… ，直到第 8 个皇后也能放在一个不冲突的位置， 算是找到了一个正确解
- 当得到一个正确解时， 在栈回退到上一个栈时， 就会开始回溯， 即将第一个皇后， 放到第一列的所有正确解，全部得到
- 然后回头继续第一个皇后放第二列， 后面继续循环执行 1, 2, 3, 4 的步骤
3.3、代码实现
关于 array 数组的说明：
- 理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘， 但是实际上可以通过算法， 用一个一维数组即可解决问题： array[8] = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
- array 数组的下标代表皇后所在的行数，array 数组中的值代表皇后所在的列数
- 比如 a[0] = 0 ，则表示第一个皇后在第一行第一列
judge(int n) 方法：
- 参数 n ：表示当前在放置第 n 个皇后
- 判断是否在同一列：array[i] == array[n]
- 判断是否在同一斜线上：Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i]) ，即判断行差绝对值与列差绝对值是否相等
check(int n) 方法：
- 参数 n ：当前要放置第几个皇后（索引从 0 开始，n=8 时表示八皇后放置完毕）
- 当前放置的皇后，需要与之前的皇后位置进行比较，看看冲不冲突，所以需要一个 for 循环：for (int i = 0; i < n; i++){
public class Queue8 { // 定义一个max表示共有多少个皇后 int max = 8; // 定义数组array, 保存皇后放置位置的结果,比如 arr = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3} int[] array = new int[max]; static int count = 0; static int judgeCount = 0; public static void main(String[] args) { // 测试一把 ， 8皇后是否正确 Queue8 queue8 = new Queue8(); queue8.check(0); System.out.printf("一共有%d种解法\n", count); System.out.printf("一共判断冲突的次数%d次", judgeCount); // 1.5w } // 编写一个方法，放置第n个皇后 // 特别注意： check 是 每一次递归时，进入到check中都有 for(int i = 0; i < max; i++)，因此会有回溯 private void check(int n) { if (n == max) { // n = 8 , 其实8个皇后就已经放好，因为索引从 0 开始 print(); return; } // 依次放入皇后，并判断是否冲突 for (int i = 0; i < max; i++) { // 先把当前这个皇后 n , 放到该行的第1列 array[n] = i; // 判断当放置第n个皇后到i列时，是否冲突 if (judge(n)) { // 不冲突 // 接着放n+1个皇后,即开始递归 check(n + 1); } // 如果冲突，就继续执行 array[n] = i; 即将第n个皇后，放置在本行的后移的一个位置 } } // 查看当我们放置第n个皇后, 就去检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突 /** * * @param n 表示第n个皇后 * @return */ private boolean judge(int n) { judgeCount++; for (int i = 0; i < n; i++) { // 说明 // 1. array[i] == array[n] 表示判断 第n个皇后是否和前面的n-1个皇后在同一列 // 2. Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]) 表示判断第n个皇后是否和第i皇后是否在同一斜线 // n = 1 放置第 2列 1 n = 1 array[1] = 1 // Math.abs(1-0) == 1 Math.abs(array[n] - array[i]) = Math.abs(1-0) = 1 // 3. 判断是否在同一行, 没有必要，n 每次都在递增 if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])) { return false; } } return true; } // 写一个方法，可以将皇后摆放的位置输出 private void print() { count++; for (int i = 0; i < array.length; i++) { System.out.print(array[i] + " "); } System.out.println(); } }
- 程序运行结果
public class Queue8 { // 定义一个max表示共有多少个皇后 int max = 8; // 定义数组array, 保存皇后放置位置的结果,比如 arr = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3} int[] array = new int[max]; static int count = 0; static int judgeCount = 0; public static void main(String[] args) { // 测试一把 ， 8皇后是否正确 Queue8 queue8 = new Queue8(); queue8.check(0); System.out.printf("一共有%d种解法\n", count); System.out.printf("一共判断冲突的次数%d次", judgeCount); // 1.5w } // 编写一个方法，放置第n个皇后 // 特别注意： check 是 每一次递归时，进入到check中都有 for(int i = 0; i < max; i++)，因此会有回溯 private void check(int n) { if (n == max) { // n = 8 , 其实8个皇后就已经放好，因为索引从 0 开始 print(); return; } // 依次放入皇后，并判断是否冲突 for (int i = 0; i < max; i++) { // 先把当前这个皇后 n , 放到该行的第1列 array[n] = i; // 判断当放置第n个皇后到i列时，是否冲突 if (judge(n)) { // 不冲突 // 接着放n+1个皇后,即开始递归 check(n + 1); } // 如果冲突，就继续执行 array[n] = i; 即将第n个皇后，放置在本行的后移的一个位置 } } // 查看当我们放置第n个皇后, 就去检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突 /** * * @param n 表示第n个皇后 * @return */ private boolean judge(int n) { judgeCount++; for (int i = 0; i < n; i++) { // 说明 // 1. array[i] == array[n] 表示判断 第n个皇后是否和前面的n-1个皇后在同一列 // 2. Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]) 表示判断第n个皇后是否和第i皇后是否在同一斜线 // n = 1 放置第 2列 1 n = 1 array[1] = 1 // Math.abs(1-0) == 1 Math.abs(array[n] - array[i]) = Math.abs(1-0) = 1 // 3. 判断是否在同一行, 没有必要，n 每次都在递增 if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])) { return false; } } return true; } // 写一个方法，可以将皇后摆放的位置输出 private void print() { count++; for (int i = 0; i < array.length; i++) { System.out.print(array[i] + " "); } System.out.println(); } }
3.4、总结
- 还是和走迷宫一样，当前摆法行不行，需要摆完第八个皇后我才能知道
上面的解法其实是枚举
- 第一个皇后摆在第一行第一列，然后开始试探，第二个皇后摆在哪里，才不会和第一个皇后冲突，第三个皇后摆在哪里，才不会和第二个皇后冲突。。。
- 如果遇到冲突，则把当前正在放置的皇后往后挪一格，如果 8 列都不行，那么就回溯至上一级皇后，让它试着挪一挪
