Logistic回归算法（分类问题）
我们知道有监督学习分为“回归问题”和“分类问题”，前面我们已经认识了什么是“回归问题”，从本节开始我们将讲解“分类问题”的相关算法。在介绍具体的算法前，我们先聊聊到底什么是分类问题。
什么是分类问题？
其实想要理解“分类”问题非常的简单，我们不妨拿最简单的“垃圾分类处理”的过程来认识一下这个词。现在考虑以下场景：
小明拎着两个垃圾袋出门倒垃圾，等走到垃圾回收站的时候，小明发现摆放着两个垃圾桶，上面分别贴着“可回收”与“不可回收”。小明经过自己的判断后，把自己右手的垃圾放进了贴有“不可回收”的垃圾桶内，而左手的垃圾袋放进了“可回收”的垃圾桶内，最终完成了这次倒垃圾的过程。
其实上述“倒垃圾”的案例就说明了“分类问题”的过程。“可回收”与“不可回收”是两种预测分类，而小明是主观判断的个体，他通过自己日常接触的知识对“垃圾种类”做出判断，我们把这个程称作“模型训练”，只有通过“训练”才可以更加准确地判断“垃圾”的种类。小明进行了两次投放动作，每一次投放都要对“垃圾”种类做出预先判断，最终决定投放到哪个垃圾桶内。这就是根据模型训练的结果进行预测的整个过程。
下面对上述过程做简单总结：
类别标签：“可回收”与“不可回收”。
模型训练：以小明为主体，把他所接受的知识、经验做为模型训练的参照。
预测：投放垃圾的结果，预测分类是否正确。并输出预测结果。
分类问题是当前机器学习的研究热点，它被广泛应用到各个领域，比图像识别、垃圾邮件处理、预测天气、疾病诊断等等。“分类问题”的预测结果是离散的，它比线性回归要更加复杂，那么我们应该从何处着手处理“分类问题”呢，这就引出了本节要讲的 Logistic 回归分类算法。
Logistic回归算法
也许乍一看算法名字，你会认为它是用来解决“回归问题”的算法，但其实它是针对“分类问题”的算法。
Logistic 回归算法，又叫做逻辑回归算法，或者 LR 算法（Logistic Regression）。分类问题同样也可以基于“线性模型”构建。“线性模型”最大的特点就是“直来直去”不会打弯，而我们知道，分类问题的预测结果是“离散的”，即对输出数据的类别做判断。比如将类别预设条件分为“0”类和“1”类（或者“是”或者“否”）那么图像只会在 “0”和“1”之间上下起伏，如下图所示：
此时你就可能会有很多疑问，线性回归函数不可能“拟合”上述图像。没错，所以接下来我们要学习另一个线性函数 Logistic 函数。
注意：在机器学习中，Logistic 函数通常用来解决二元分类问题，也就是涉及两个预设类别的问题，而当类别数量超过两个时就需要使用
Softmax 函数来解决。
19 世纪统计学家皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒发明了 Logistic 函数，该函数的叫法有很多，比如在神经网络算法中被称为 Sigmoid 函数，也有人称它为 Logistic 曲线。其函数图像如下所示：
该函数图像的数学表达式如下：
e 称为自然常数，也就是一个固定值的“常量”，e-z 是以 e 为底、z 为变量的指数函数，还可以写为 e-x ，在编写程序代码时，通常将其写为 exp(-x)。至于这个表达式是如何推断出来的，我们没有必要深究，学会站在“巨人”的肩膀上学习也是一种难得的品质。
Logistic 函数也称为 S 型生长曲线，取值范围为 (0,1)，它可以将一个实数映射到 (0,1) 的区间，非常适合做二元分类。当 z=0 时，该函数的取值为 0.5，随着 z 的增大，对应的函数值将逼近于 1；而随着 z 的减小，其函数值将逼近于 0。
对于 Logistic 函数而言，坐标轴 0 是一个有着特殊意义坐标，越靠近 0 和越远离 0 会出现两种截然不同的情况：任何大于 0.5 的数据都会被划分到 “1”类中；而小于 0.5 会被归如到 “0”类。因此你可以把 Logistic 看做解决二分类问题的分类器。如果想要 Logistic 分类器预测准确，那么 x 的取值距离 0 越远越好，这样结果值才能无限逼近于 0 或者 1。
下面通过极限的思想进一步对上述函数展开研究：我们可以考虑两种情况：当 x 轴坐标取值缩小时就会出现以下图像：
由此可见 Logistic 回归算法属于“线性”模型。而当 x 逐渐放大时则会出现以下情况：
由上图可知，当 x 增大到一定程度时，Logistic 函数图像变成了“台阶”式图像，由此可知，该函数能够很好的“拟合”二分类问题函数图像。在数学上，我们把具有如图 4 所示，这种“阶梯式”图像的函数称为“阶跃函数”。
本节我们重点讲解了什么是分类问题，并且还花费了较大的篇幅讲解了 Logistic 函数，该函数解决二元分类问题的关键所在。Logistic 函数至关重要后续还会做相应介绍。
数学解析Logistic回归算法
上文中，我们学习了 Logistic 回归算法，并且重点认识了 Logistic 函数。我们知道分类问题的预测结果是离散型数据，那么我们在程序中要如何表述这些数据呢，再者我们要如何从数学角度理解 Logistic 算法，比如它的损失函数、优化方法等。
分类数据表示形式
1. 向量形式
在机器学习中，向量形式是应用最多的形式，使用向量中的元素按顺序代表“类别”。现在有以下三个类别分别是 a/b/c，此时就可以使用 [1,2,3] 来分别代表上述三类，预测结果为哪一类，向量中的元素就对应哪个元素，比如当预测结果为 c 类的时候，则输出以下数据：
[0,0,3]
2.数字形式
数字形式是一种最简单的分类方式，我们可以用 0 代表“负类”（即 x < 0时的取值），而用“1”代表正类（即 x>0 时的取值），那么当预测结果输出“1”就代表正类，而预测结果输出“0”代表“负类”。当然这里选择的数字只是形式，你可以选择任意其他数字，不过按照约定俗成，我们一般采用 “1”代表正类，而 “-1”或者“0”代表“负类”。 如果用代码的表示数字形式的中心思想，如下所示：
#以 0 为节将其分开 if (logistic函数输出的是连续值>0): return 1 else: return 0
4. 概率形式
在有些实际场景中，我们无法准确的判断某个“样本”属于哪个类别，此时我们就可以使用“概率”的形式来判断“样本”属于哪个类别的几率大，比如对某个“样本”有如下预测结果：
[0.8,0.1,0.1]
从上述输出结果不难看出，该样本属于 a 类的概率最大，因此我们可以认定该样本从属于 a 类。
Logistic函数数学解析
1. 假设函数
经过上一节的学习得知 Logistic 函数能够很好的拟合“离散数据”，因此可以把它看做“假设函数”，但是还需要稍稍的改变一下形式，如下所示：
上述公式和 Logistic 函数基本一致，只不过我们它换成了关于x的表达式，并将幂指数x换成了 “线性函数”表达式。H(x) 的函数图像呈现 S 形分布，从而能够预测出离散的输出结果。
2. 损失函数
LogIstic 回归算法的损失函数有点复杂，也许你会感动莫名其妙，损失函数的表达式如下：
想要理解损失函数，我们需要继续分析假设函数。我们知道假设函数的值域是从 (0,1) 之间的数值，而这个数据区间恰好与概率值区间不谋而合。如果我们把预测结果看做概率，则可以得到另外一种写法的损失函数：
上述函数是根据概率设计出来的，它由 H(xi)yi 和 (1-H(xi))1-yi 两部分组成，由于 y 值的取值只会是 0 或者1，所以每次只有一个部分输出值，因此可以达到分类的目的。
我们知道 y 输出值概率值只能为 0 或者 1，因此上述函数只会有一部分输出数值。即当 y=1 时候，1-y 就等于 0，因此上述表达式的第二部分，也就是 (1-H(xi))1-yi 的值为 1，相乘后并不会对函数值产生影响。当 y = 0 时，同理。
综上所述：当 y=1 时，如果预测正确，预测值则无限接近 1，也即 H(xi)yi 的值为 1，损失值则为 -1；如果预测错误，H(xi)yi 的值为 0，损失值也为 0。预测错误的损失值确实比预测正确的损失值大（0 > -1），满足要求。
虽然上述函数能够表达预测值和实际值之间的偏差，但它有一个缺点就是不能使用梯度下降等优化方法。因此，在机器学习中要通过取对数的方法来解决此问题，这样就得到了最开始的损失函数。如下所示：
3) 优化方法
如果将 Logistic 函数的输出记做 z 可得如下公式：
采用向量的形式可以写为：
它表示将这两个数值向量对应元素相乘然后全部加起来即得到 z 值。其中的 x 是分类器的输入数据，向量 w （最佳参数）会使得分类器尽可能的精确。为了寻找该最佳参数就需要用到优化方法，下面我们简单介绍梯度上升优化方法。
梯度上升优化方法
梯度上升与梯度下降同属于优化方法，它们两者有着异曲同工之妙，梯度下降求的是“最小值”，而梯度上升求的是“最大值”。梯度上升基于的思想是：要找到某函数的最大值，最好的发放是沿着该函数的梯度方向寻找，如果把梯度记为▽，那么关于 f(x,y) 有以下表达式：
上述公式是其实并不难理解，该函数分别对 x 与 y 求的偏导数，其中关于 x 的偏导数表示沿着 x 的方向移动，而关于 y 的偏导数一个表示沿 y 的方向移。其中，函数f(x,y) 必须要在待计算的点上可导。在梯度上升的过程中，梯度总是指向函数值增长最快的方向，我们可以把每移动一次的“步长”记为α 。用向量来表示的话，其公式如下：
在梯度上升的过程中，上述公式将一直被迭代执行，直至达到某个停止条件为止，比如达到某个指定的值或者某个被允许的误差范围之内。
💕Final~
以上就是这篇文章的全部内容了，希望本文的内容对大家的学习或者工作具有一定的参考学习价值，bye~
